日常课堂如何培养归纳思维Word格式文档下载.docx
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生:
(数)一共5根小木棍。
(教师在屏幕上打出数字2和5。
)
老师紧接着再摆几根小木棍,构成了3个三角形,这时用了几根小木棍呢?
(学生纷纷嘟嘟囔囔地小声数)7根。
(教师在屏幕上打出数字3和7。
老师按照这样的方式连续摆,一下子摆出了10个三角形,这时,用了多少根小木棍呢?
请你用自己学具中的牙签(或木棍)亲自摆一摆,看看一共用了多少根小木棍7
,
(学生分组活动,每6人一组,通过实际操作,发现一共用了21根。
用了21根。
由此,你能发现什么规律吗?
(教师将数字1、2、3、10与3、5、7、21分成两层,对应着写出来。
学生思考。
我发现,小木棍的数量都是奇数。
我发现,3是1的两倍加1,5是2的两倍加1,7是3的两倍加1……
很好,这个规律是,摆n个三角形需要2n+1根小木棒。
案例22011年3月28日,吉林省长春市某小学一节“两位数乘两位数的乘法”的课堂上,经过引入两位数乘两位数的乘法的必要性、如何计算的教学环节,再通过10分钟的当堂巩固练习,大部分学生几乎都能比较熟练地进行两位数乘两位数的计算。
此时,任课教师又给出了系列习题,作为强化训练(即“比一比,看谁算得快?
”)
12×
11 18×
11 45×
11
同时,教师提出:
“分析这几个式子及其结果,你有什么发现?
”
经过学生独立完成每一道题目后,教师引导学生分析结果与乘法算式中的一个因子的关系,发现了“两边一拉,中间一加”的规律,学生纷纷称奇!
二、改进案例。
上面的两个案例,都与归纳有关,案例2是典型的代数归纳,而案例1是以几何素材为背景的归纳,两种案例都试图体现归纳,但最终达到的效果是,规律是老师“发现”的、给出的,学生采用实际操作进行验证,确认教师给出的规律的合理性、正确性。
可惜的是,与让学生亲身经历“通过归纳发现数学真理的过程”的教学良机失之交臂!
怎么办呢?
经过课后研课、课堂教学录像分析,我们与任课教师合作设计、修改了上面的两个案例,形成了新的案例,并于两天后在平行班进行了第二次授课。
修改后的案例1
同学们,(教师用PPT演示摆的过程)老师用3根小木棍摆出了一个三角形。
注意,老师又用了一些小木棍摆出了两个三角形(如图2所示),此时,老师添加了几根小木棍呢?
一共用了几根小木棍呢?
添加了两根,一共五根小木棍。
老师紧接着再摆几根小木棍,构成了3个三角形,这时,又添加了几根小木棍呢?
又添加了两根,加上前面的两个,一共添加了4根,这时有7根小木棒。
(教师在屏幕上打出数字3和7)
按照这样的方式摆下去,你猜一猜,摆4个三角形,一共需要几根小木棍呢?
先想一想,猜一猜。
谁说一说你的猜想?
我猜,应该是9根,理由是,在3个三角形的基础上再摆两根小木棍,就可以构成4个三角形,刚才是7根,加两根就是9根。
请大家用自己手中的小棒亲自摆一摆,验证刚才同学的猜想是否正确。
(学生分组活动,每6人一小组,通过实际操作,发现的确一共用了9根。
教师组织全班同学交流各自的结果,大家一致认为是9根。
请大家注意,老师按照这样的方式连续摆,一下子摆出了10个三角形,这时,用了多少根小木棍呢?
先在小组内讨论一下,你们小组觉得应该是几根小木棍?
说说你们的理由,再用小木棍亲自摆一摆,验证你们小组的发现。
(学生分组讨论、验证。
在一个小组内,有学生提出来,每添加2根小木棍,可以再搭出一个三角形,应该是3+2+2+2+2+2+2+2+2+2=3+2×
9=21(根)。
本组的大部分同学觉得有道理,但仍有几位同学坚持要验证一下,大家亲自摆一摆,发现的确是这样。
而在另一个小组内,有学生提出,不用摆就能知道是2l根,理由是先放一根,每添加2根,可以围成一个三角形,一共围成10个三角形,所以,应该是1+2x10=21(根)。
教师观察多个小组的讨论,不时指导。
5分钟后,教师请两个小组的代表将自己小组的摆法和思考,展示在实物投影仪上。
我们小组的看法是,不用摆也能发现是21根。
我们是这样想的:
刚才老师先放了3根围成一个三角形,以后每添加两根,可以围成一个新的三角形(如图5所示),所以,摆10个三角形,需要在3根的基础上添加9次,所以,应该是3+2×
我们小组也认为,不用摆也能发现是21根。
不过,我们的想法更简单:
先放了一根作为预备,每添加两根,可以添加一个三角形,所以,摆10个三角形,应该用了1+2×
10=21(根)。
大家认为这种方法好吗?
好!
(鼓掌。
(此时,有一个小组提出还有不同的方法。
我们也觉得摆10个这样的三角形应该用21根,我们的想法更新奇:
我们觉得,每个三角形都有一个底,摆10个,需要10个底,其他的小木棍作为斜着放的边,一共放了10+1根,所以,应该是10+10+1=2×
10+1=21(根)。
(纷纷惊叹)好!
我们展示了每个小组的发现,你们能用一句话来表示自己的发现吗?
如果我们用字母n表示摆的三角形的个数,即摆了n个三角形,那么,一共用了多少根小木棍呢?
(纷纷回答)2n+1根。
这就是我们大家共同的发现。
(教师写出如下板书。
123…10…n
357…21…2n+1
好,大家现在研究用小木棍摆正方形的问题……
修改后的案例2
出示系列习题:
(1)计算下列3个算式,你有什么发现?
12x11 13×
11 15×
(2)用你刚才的发现,先猜一猜45xll应该得多少?
然后再用竖式实际算一算,看看你的猜测是否正确?
需要修改你的发现吗?
用11x63再验证一下你修改后的结论。
(3)总结你的发现,说一说其中的道理。
事实上,学生从12×
11=132,13×
11=143,15×
11=165中,似乎可以得出“乘积是三位数,百位都是1;
十位数字似乎与其中的一个乘数有关”,当学生发现45×
11=495后,往往会修改自己的猜测,部分同学会得出“两边一拉,中间一加”的猜测,即“将乘数45的两位数字一拉,中间放上这两个数字之和4+5,即9,得到的数字就是乘积”;
同时,学生还可以用11x63(或者自己编一些题目,如11×
27)验证自己的“发现”,即先猜11×
63是多少,即693,再用列竖式的方法验证自己的猜想。
三、分析。
上述两个案例,修改后仅仅是细节的微小变化,但其效果却有很大差别。
在修改的案例中,我们不仅可以达到同样的获知目的,而且还可以让学生经历一次归纳的思维过程,获得归纳的实际经验和体验,进而感受一次“数学家式”的思考过程、数学真理的“发现”过程,这个普适性的规律就是:
先分析个案1,再分析个案2,尝试着归纳其共性的规律,猜一猜结论;
将猜得的结论用在新的个案上,分析理论上的结果,再利用实际的操作验证其实际的结果与猜想的结果是否吻合,如果吻合,确认结论;
如果有问题,修正猜想,做出一个更贴切的猜想。
这个普适性的规律正是数学家发现的奥秘之一!
让学生经历归纳的过程,不仅可以体现在数与代数、空间与图形领域,而且可以体现在数学课程的其他领域。
例如,在实践与综合领域“鸡兔同笼”问题的教学中,可以这样设计教学环节:
教师出示问题(用PPT出示实际情景):
房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子,一共15个,如果椅子腿与凳子腿加起来共有56个,那么,有几个椅子、几个凳子呢?
(注:
这是典型的“鸡兔同笼”问题,但是,椅子和凳子仅仅相差一条腿,而不是兔与鸡相差两条腿,因而,与“鸡兔同笼”的原始问题相比,这更有利于学生进行“尝试”。
(1)你计划用什么方法思考?
能试着先用一些特殊情形尝试一下吗?
(2)能列一个表格,表达你尝试的过程吗?
可以参考如下的表格:
(3)当你尝试着先给椅子、凳子的数量一些特殊值以计算腿的总数时,计算2~3次后。
你有什么发现?
能找到一些规律吗?
(4)按照你的规律猜想一下,如果增加凳子数、减少椅子数,大约多少次。
腿的总数可以降到56个呢?
(5)如果用字母a表示椅子数,那么,能将刚才的过程重新梳理一遍吗?
在中小学课堂学习中,让学生亲身经历一个规律的归纳、提炼过程,让他深刻感受到其中的方法魅力,绝对会终生受益。
正如一句话所言:
如果一个人在18岁之前从来没有独立地思考过一个问题、发现一个新问题,并尝试着分析解决这个问题,那么,这个人长大以后成为创新人才,是绝对不可能的。
注释:
①王瑾、史宁中、史亮、孔凡哲:
《中小学数学中的归纳推理:
教育价值、教材设计与教学实施》,《课程?
教材?
教法》2011年第2期。
②史宁中、柳海民:
《素质教育的根本目的与基本路径》,《教育研究》2007年第8期。
③这个例子最早出现在史宁中、孔凡哲:
《“数学教师的素养”对话录》,《人民教育》2008年第21期。
(本文为东北师范大学“‘十二五’规划学科教育系列课程教材”首批招标项目《小学数学教学模式案例研究》(项目编号:
2010JC02)研究成果之一。
史亮系东北师范大学附属中学党委书记、净月实验学校校长、特级教师;
史宁中系国家基础教育实验中心主任、东北师范大学校长、教授。
(责任编辑余慧娟)