日常课堂如何培养归纳思维Word格式文档下载.docx

1、生：（数）一共5根小木棍。（教师在屏幕上打出数字2和5。） 老师紧接着再摆几根小木棍，构成了3个三角形，这时用了几根小木棍呢?（学生纷纷嘟嘟囔囔地小声数）7根。（教师在屏幕上打出数字3和7。老师按照这样的方式连续摆，一下子摆出了10个三角形，这时，用了多少根小木棍呢?请你用自己学具中的牙签（或木棍）亲自摆一摆，看看一共用了多少根小木棍7 ， （学生分组活动，每6人一组，通过实际操作，发现一共用了21根。用了21根。由此，你能发现什么规律吗?（教师将数字1、2、3、10与3、5、7、21分成两层，对应着写出来。学生思考。我发现，小木棍的数量都是奇数。我发现，3是1的两倍加1，5是2的两倍加1，7

2、是3的两倍加1 很好，这个规律是，摆n个三角形需要2n+1根小木棒。案例2 2011年3月28日，吉林省长春市某小学一节“两位数乘两位数的乘法”的课堂上，经过引入两位数乘两位数的乘法的必要性、如何计算的教学环节，再通过10分钟的当堂巩固练习，大部分学生几乎都能比较熟练地进行两位数乘两位数的计算。此时，任课教师又给出了系列习题，作为强化训练（即“比一比，看谁算得快?”） 121118114511 同时，教师提出：“分析这几个式子及其结果，你有什么发现?” 经过学生独立完成每一道题目后，教师引导学生分析结果与乘法算式中的一个因子的关系，发现了“两边一拉，中间一加”的规律，学生纷纷称奇!二、改进案例

3、。上面的两个案例，都与归纳有关，案例2是典型的代数归纳，而案例1是以几何素材为背景的归纳，两种案例都试图体现归纳，但最终达到的效果是，规律是老师“发现”的、给出的，学生采用实际操作进行验证，确认教师给出的规律的合理性、正确性。可惜的是，与让学生亲身经历“通过归纳发现数学真理的过程”的教学良机失之交臂!怎么办呢?经过课后研课、课堂教学录像分析，我们与任课教师合作设计、修改了上面的两个案例，形成了新的案例，并于两天后在平行班进行了第二次授课。修改后的案例1 同学们，（教师用PPT演示摆的过程）老师用3根小木棍摆出了一个三角形。注意，老师又用了一些小木棍摆出了两个三角形（如图2所示），此时，老师添加

4、了几根小木棍呢?一共用了几根小木棍呢?添加了两根，一共五根小木棍。老师紧接着再摆几根小木棍，构成了3个三角形，这时，又添加了几根小木棍呢?又添加了两根，加上前面的两个，一共添加了4根，这时有7根小木棒。（教师在屏幕上打出数字3和7） 按照这样的方式摆下去，你猜一猜，摆4个三角形，一共需要几根小木棍呢?先想一想，猜一猜。谁说一说你的猜想?我猜，应该是9根，理由是，在3个三角形的基础上再摆两根小木棍，就可以构成4个三角形，刚才是7根，加两根就是9根。请大家用自己手中的小棒亲自摆一摆，验证刚才同学的猜想是否正确。（学生分组活动，每6人一小组，通过实际操作，发现的确一共用了9根。教师组织全班同学交流各

5、自的结果，大家一致认为是9根。请大家注意，老师按照这样的方式连续摆，一下子摆出了10个三角形，这时，用了多少根小木棍呢?先在小组内讨论一下，你们小组觉得应该是几根小木棍?说说你们的理由，再用小木棍亲自摆一摆，验证你们小组的发现。（学生分组讨论、验证。在一个小组内，有学生提出来，每添加2根小木棍，可以再搭出一个三角形，应该是3+2+2+2+2+2+2+2+2+2=3+29=21（根）。本组的大部分同学觉得有道理，但仍有几位同学坚持要验证一下，大家亲自摆一摆，发现的确是这样。而在另一个小组内，有学生提出，不用摆就能知道是2l根，理由是先放一根，每添加2根，可以围成一个三角形，一共围成10个三角形，

6、所以，应该是1+2x10=21（根）。教师观察多个小组的讨论，不时指导。5分钟后，教师请两个小组的代表将自己小组的摆法和思考，展示在实物投影仪上。我们小组的看法是，不用摆也能发现是21根。我们是这样想的：刚才老师先放了3根围成一个三角形，以后每添加两根，可以围成一个新的三角形（如图5所示），所以，摆10个三角形，需要在3根的基础上添加9次，所以，应该是3+2我们小组也认为，不用摆也能发现是21根。不过，我们的想法更简单：先放了一根作为预备，每添加两根，可以添加一个三角形，所以，摆10个三角形，应该用了1+210=21（根）。大家认为这种方法好吗?好!（鼓掌。（此时，有一个小组提出还有不同的方法

7、。我们也觉得摆10个这样的三角形应该用21根，我们的想法更新奇：我们觉得，每个三角形都有一个底，摆10个，需要10个底，其他的小木棍作为斜着放的边，一共放了10+1根，所以，应该是10+10+1=210+1=21（根）。（纷纷惊叹）好!我们展示了每个小组的发现，你们能用一句话来表示自己的发现吗?如果我们用字母n表示摆的三角形的个数，即摆了n个三角形，那么，一共用了多少根小木棍呢?（纷纷回答）2n+1根。这就是我们大家共同 的发现。（教师写出如下板书。1 2 310n 3 5 7212n+1 好，大家现在研究用小木棍摆正方形的问题 修改后的案例2 出示系列习题：（1）计算下列3个算式，你有什么发

8、现?12x11131115（2）用你刚才的发现，先猜一猜45xll应该得多少?然后再用竖式实际算一算，看看你的猜测是否正确?需要修改你的发现吗?用11x63再验证一下你修改后的结论。（3）总结你的发现，说一说其中的道理。事实上，学生从1211=132，1311=143，1511=165中，似乎可以得出“乘积是三位数，百位都是1；十位数字似乎与其中的一个乘数有关”，当学生发现4511495后，往往会修改自己的猜测，部分同学会得出“两边一拉，中间一加”的猜测，即“将乘数45的两位数字一拉，中间放上这两个数字之和4+5，即9，得到的数字就是乘积”；同时，学生还可以用11x63（或者自己编一些题目，如

9、1127）验证自己的“发现”，即先猜1163是多少，即693，再用列竖式的方法验证自己的猜想。三、分析。上述两个案例，修改后仅仅是细节的微小变化，但其效果却有很大差别。在修改的案例中，我们不仅可以达到同样的获知目的，而且还可以让学生经历一次归纳的思维过程，获得归纳的实际经验和体验，进而感受一次“数学家式”的思考过程、数学真理的“发现”过程，这个普适性的规律就是：先分析个案1，再分析个案2，尝试着归纳其共性的规律，猜一猜结论；将猜得的结论用在新的个案上，分析理论上的结果，再利用实际的操作验证其实际的结果与猜想的结果是否吻合，如果吻合，确认结论；如果有问题，修正猜想，做出一个更贴切的猜想。这个普适

10、性的规律正是数学家发现的奥秘之一!让学生经历归纳的过程，不仅可以体现在数与代数、空间与图形领域，而且可以体现在数学课程的其他领域。例如，在实践与综合领域“鸡兔同笼”问题的教学中，可以这样设计教学环节：教师出示问题（用PPT出示实际情景）：房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子，一共15个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有56个，那么，有几个椅子、几个凳子呢?（注：这是典型的“鸡兔同笼”问题，但是，椅子和凳子仅仅相差一条腿，而不是兔与鸡相差两条腿，因而，与“鸡兔同笼”的原始问题相比，这更有利于学生进行“尝试”。（1）你计划用什么方法思考?能试着先用一些特殊情形尝试一下吗?（2）能列一个表格，表达你尝试的

11、过程吗?可以参考如下的表格：（3）当你尝试着先给椅子、凳子的数量一些特殊值以计算腿的总数时，计算23次后。你有什么发现?能找到一些规律吗?（4）按照你的规律猜想一下，如果增加凳子数、减少椅子数，大约多少次。腿的总数可以降到56个呢?（5）如果用字母a表示椅子数，那么，能将刚才的过程重新梳理一遍吗?在中小学课堂学习中，让学生亲身经历一个规律的归纳、提炼过程，让他深刻感受到其中的方法魅力，绝对会终生受益。正如一句话所言：如果一个人在18岁之前从来没有独立地思考过一个问题、发现一个新问题，并尝试着分析解决这个问题，那么，这个人长大以后成为创新人才，是绝对不可能的。注释：王瑾、史宁中、史亮、孔凡哲：中小学数学中的归纳推理：教育价值、教材设计与教学实施，课程?教材?教法2011年第2期。史宁中、柳海民：素质教育的根本目的与基本路径，教育研究2007年第8期。这个例子最早出现在史宁中、孔凡哲：“数学教师的素养”对话录，人民教育2008年第21期。（本文为东北师范大学“十二五规划学科教育系列课程教材”首批招标项目小学数学教学模式案例研究（项目编号：2010JC02）研究成果之一。史亮系东北师范大学附属中学党委书记、净月实验学校校长、特级教师；史宁中系国家基础教育实验中心主任、东北师范大学校长、教授。（责任编辑余慧娟）