湖北高考理科数学试卷答案解析.doc
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）
【34】（A，湖北，理1）在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点名称数系的扩充与复数的概念
【34】（A，湖北，理1）D
解析：
，则，其对应点Z（1，－1）位于第四象限.
【1】（A，湖北，理2）已知全集为，集合，，则
A． B．
C． D．
考点名称集合
【1】（A，湖北，理2）C
解析：
∵，，∴.
【2】（A，湖北，理3文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A．∨ B．∨ C．∧ D．∨
考点名称常用逻辑语句
【2】（A，湖北，理3文3）A
解析：
因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙
没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为∨.
【6】（B，湖北，理4文6）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A． B． C． D．
考点名称三角函数及其图象与性质
【6】（B，湖北，理4文6）B
解析：
因为可化为（x∈R），将它向左平移个单位得，其图像关于y轴对称.
【17】（B，湖北，文2理5）已知，则双曲线：
与：
的
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
考点名称圆锥曲线及其标准方程
【17】（B，湖北，文2理5）D
解析：
对于双曲线C1，有，.对于双曲线C2，有，.即这两双曲线的离心率相等.
【7】（B，湖北，理6文7）已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．
考点名称平面向量的概念及其运算
【7】（A，湖北，理6文7）A
解析：
=（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为
.
【31】（C，湖北，理7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：
s，v的单位：
m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：
m）是
A． B． C． D．
考点名称定积分与微积分基本定理
【31】（C，湖北，理7）C
解析：
令=0，解得t＝4或t＝（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为
＝.
【21】（B，湖北，理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有
A． B． C．D．
第9题图
第8题图
考点名称空间几何体与三视图
【21】（B，湖北，理8）C
解析：
显然，所以B不正确.又，，
，，从而.
【26】（B，湖北，理9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体.经过搅
拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值
A． B． C． D．
考点名称统计
【26】（B，湖北，理9）B125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150.
每一个小正方体的一个面涂漆的频率为，则它的涂漆面数为的均值.
【29】（C，湖北，理10）已知为常数，函数有两个极值点，，则
A．， B．，
C．， D．，
考点名称导数及其应用
【29】（C，湖北，理10）D
解析：
，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点.过点（0，－1）作的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率，切线方程为.切点在切线上，则，又切点在曲线上，则，即切点为（1，0），切线方程为.再由直线与曲线有两个交点.，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率2a满足：
0＜2a＜1，解得0＜a＜..则这函数的两个极点满足，所以，而，即，所以.
【26】（A，湖北，理11）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中的值为_________；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为_________.
第11题图
考点名称统计
否
开始
是
结束
是奇数
是
否
输出
【26】（A，湖北，理11）（Ⅰ）0.0044（Ⅱ）70
解析：
（Ⅰ）
＝0.0044；
（Ⅱ）用电量落在区间内的户数为.
第12题图
【24】（A，湖北，理12）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果_________.
考点名称算法初步与框图
【24】（A，湖北，理12）5
解析：
已知初始值，∵，则执行程序，得；因为，则执行程序，得；，则第三次执行程序，得；∵，则第四次执行程序，得；∵，执行输出i，.
【13】（C，湖北，理13）设，且满足：
，，则_________.
考点名称
【13】（C，湖北，理13）
解析：
【39】（湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，，第个三角形数为.记第个边形数为，以下列出了部分k边形数中第个数的表达式：
三角形数，
正方形数，
五边形数，
六边形数，
………………………………………
可以推测的表达式，由此计算_________.
考点名称创新与拓展
【13】（C，湖北，理13）1000
解析：
三角形数，
正方形数=，
五边形数=，
六边形数==，
………………………………………
推测k边形.
所以.
第15题图
【37】（B，湖北，理15）如图，圆上一点在直径上的射影为，点在半径上的射影为．若，则的值为_________．
考点名称选修4-1：
几何证明选讲
【37】（B，湖北，理15）8
解析：
根据题设，易知，
Rt△ODE∽Rt△DCE∽Rt△OCD，∴，即CO=3OD=9OE，
在Rt△ODE中，，
在Rt△CDE中，，即，∴.
【36】（A，湖北，理16）
在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数，）.在
极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴
为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（m为非零常数）
与.若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为_________.
考点名称选修4-4：
坐标系与参数方程
【36】（A，湖北，理16）椭圆C的方程可以化为，圆O的方程可化为，直线l的方程可化为，因为直线l经过椭圆的焦点，且与圆O相切，则，，，所以椭圆的离心率.
【10】（B，湖北，理17）在△中，角，，对应的边分别是，，.已知.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△的面积，，求的值.
考点名称解三角形
【10】（B，湖北，理17）（Ⅰ）由，得,
即，解得或（舍去）.
因为，所以.
（Ⅱ）由得.又，知.
由余弦定理得故.
又由正弦定理得.
【19】（B，湖北，理18）已知等比数列满足：
，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？
若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
考点名称等比数列
【19】（B，湖北，理18）（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则由已知可得
解得或
故，或.
（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，
从而.
若，则，故是首项为，公比为的等比数列，
从而故.
综上，对任何正整数，总有.
第19题图
故不存在正整数，使得成立.
【23】（B，湖北，理19）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点.
（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆的另一个交点为，且点Q满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：
.
考点名称空间向量与立体几何
【23】（B，湖北，理19）（Ⅰ）直线∥平面，证明如下：
连接，因为，分别是，的中点，所以∥.
又平面，且平面，所以∥平面.
而平面，且平面平面，所以∥.
第19题解答图1
因为平面，平面，所以直线∥平面.
（Ⅱ）（综合法）如图1，连接，由（Ⅰ）可知交线即为直线，且∥.
因为是的直径，所以，于是.
已知平面，而平面，所以.
而，所以平面.
连接，，因为平面，所以.
故就是二面角的平面角，即.
由，作∥，且.
连接，，因为是的中点，，所以，
从而四边形是平行四边形，∥.
连接，因为平面，所以是在平面内的射影，
故就是直线与平面所成的角，即.
又平面，有，知为锐角，
故为异面直线与所成的角，即，
于是在△，△，△中，分别可得
，，，
从而，即.
（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作∥，且.
连接，，，，，由（Ⅰ）可知交线即为直线.
以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有
第19题解答图2
.
于是，，，
所以，从而.
又取平面的一个法向量为，可得，
设平面的一个法向量为，
所以由可得取.
于是，从而.
故，即.
【40】（B，湖北，理20）假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.
（Ⅰ）求的值；
（参考数据：
若～，有，，.）
（Ⅱ）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组
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