全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版Word文件下载.docx
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U2，则叽』必收敛.
（D）若：
：
U2，则沁鳥必发散.
（6）设曲线L:
f（x,y）=1（f（x,y）具有一阶连续偏导数），过第n象限内的点M和第W
象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是
（A）tf（x,y）dx.（B）Tf（x，y）dy
（C）Tf（x,y）ds.（D）Lfx"
（x,y）dx+fy"
（x,y）dy.[]
（7）
设向量组九宀，：
/线性无关，则下列向量组线性相关的是
（10）
fx（x）,fY（y）分别表示
设随机变量X,Y服从二维正态分布，且X与Y不相关,
X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fx|Y（x|y）为
（A）fx（x）.（B）fY（y）.
[]
二、填空题：
11〜16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上
z
（12）设f（u,v）是二元可微函数，Z=f（xy,yx），则二=
dx
（13）二阶常系数非齐次微分方程y"
-4y"
+3y=2e2x的通解为y=
（14）设曲面龙:
|x|+|y|+|z|=1，则出（x+|y|）dS=
‘010
（15）设矩阵a=
0、
0m3，贝VA的秩为
1
0」
（16）在区间0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于寸的概率
为.
三、解答题：
17〜24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•
（17）（本题满分11分）
求函数f（x,y）二f2弋仝『在区域D「；
〔x,y|x2•y2岂4,y_0?
上的最大值
和最小值.
（18）（本题满分10分）
计算曲面积分I=xzdydz2yzdzdx3xydxdy,
Z
2
其中为曲面z=1-x2-丿（0乞z乞1）的上侧.
（19）（本题满分11分）
设函数f（x）,g（x）在la,b1上连续，在（a,b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f（a）=g（a）,f（b）二g（b），证明：
存在（a,b），使得f（Hg（）.
（20）（本题满分10分）
设幕级数7anxn在内收敛，其和函数y（x）满足
n=e
y-2xy-4y=0,y（0）=0,y（0）=1.
（I）证明：
an2an,n=1,2111;
n+1
（II）求y（x）的表达式.
（21）（本题满分11分）
为+X2+X3=0
设线性方程组x-i2x2•ax3=0与方程x12x2x3二a-1有公共解，求a的值及
2小
刍+4x2+ax3=0
所有公共解.
（22）（本题满分11分）
设三阶对称矩阵A的特征向量值「=1,，2=2,，3=-2，:
「=（1,一1,1）丁是A的属于
■1的一个特征向量，记B=A5-4A3E，其中E为3阶单位矩阵•
（I）验证：
1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（II）求矩阵B.
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
「2—x—y,0cxc1,0cy<
f（x，y）］0,其他.
（I）求P〈X2Y?
（II）求Z=XY的概率密度.
（24）（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
（X1,X2,…，Xn）为来自总体X的简单随机样本，X是样本均值•
A
（I）求参数V的矩估计量-;
（II）判断4X2是否为护的无偏估计量，并说明理由•
2007年考研数学试题答案解析（数学一）
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（B）
（1）当x>
0•时，与X等价的无穷小量是
A.1_exB.ln__C.+仮-1D.1—cosVX
⑵曲线y=1ln（1•ex）,渐近线的条数为（D）
A.0B.1C.2D.3
⑶如图，连续函数y=f（x）在区间［-3，-2］，［2，3］上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,
在区间［-2，0］,［0,2］的图形分别是直径为
2的上、下半圆周，设F（x）=pf（t）dt.则下列结
论正确的是（C）
3535
A.F（3）=F（—2）B.F（3）=F
（2）C.F（3）=F
（2）D.F（3）=F（-2）
4444
⑷设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是（C）
A.若lim丄凶存在，则f（0）=0B.若limf（x）f「X）存在，则f（0）=0
x0xx10x
⑸设函数f（乂）在（0,+吆）上具有二阶导数，且f"
（x）〉o,令un=f（n）=1,2,…..n,则下列结
论正确的是（D）
A.若U1U2，则｛Un｝必收敛B.若U1U2，则｛Un｝必发散
⑹设曲线L：
f（x,y）=1（f（x,y）具有一阶连续偏导数），过第n象限内的点M和第"
象限内的
点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是（B）
A.r（x,y）dxB.rf（x,y）dyC.rf（x,y）dsD.rf'
X（x,y）dxf'
y（x,y）dy
（7）设向量组：
1,:
2,:
3线形无关，则下列向量组线形相关的是：
（A）
（A）>
1-一，>
2一、>
3一：
1（B）>
1*2*2*3=3*1
^dx=J2.
2xx3x2x
（13）二阶常系数非齐次线性方程y”-4y_3y=2e的通解为y=GeC2e-2e.
（14）设曲面迟：
|x|+|y|+|z|=1，则也（x+|y|）ds=巫
主3
'
<
（16）在区间（0,
中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为一.
24
17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
（17）
y-4,y_0}
（本题满分11分）求函数f（x,y）=x2•2y2「x2y2在区域D二｛（x,y）x2上的最大值和最小值。
【详解】:
|fx=2xy—2xy=0
（1求驻点二（x,y）=（0,0）（f=0）
fy=4xy—2xy=0
或（x,y）^_,2,_1）（f=2）;
⑵考察边界y二0,此时最大值为4,最小值为0
（3）考察边界x2y^4,y0
F（x,y）=x22y2-x2y2-，（x2y2-4）
F干；
F
—=—=—=0
.x：
2
2x-2xy—2Xx=0
x2
4y_2xy_2，y=0=
x2十y2=4
此时数值为-
X2=0,y2=4,此时数值为8
x2=4,y2=0,此时数值为4
综上所述x=0,y=_2时，取得为8最小值x=0,y=0取得为0
（18）（本题满分10分）
计算曲面积分
I二xzdydz2xydzdx3xydxdy,
其中v为曲面z=1-X2-普（0辽z乞1）的上侧
【详解】
取a为xoy平面上被椭圆x2丫1所围部分的下侧,
记门为由与1围成的空间闭区域，贝U
I=xzdydz2zydzdx3xydxdy
11xzdydz2zydzdx3xydxdy
1
Gauss公式IIxzdydz2zydzdx3xydxdy二（z3z）dxdydz
—「
=3zdxdydz二3°
dz!
izdxdy=二
■■X亠；
丄-z
而！
Ixzdydz2zydzdx3xydxdy=—!
i3xydxdy=0,1-：
.
Ux2^1
（19）（本题是11分）
设函数f（x）,g（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内二阶导数且存在相等的最大值,f（a）=g（a）,f（b）二g（b）证明：
存在（a,b），使得f"
（）=g"
「）
证明：
设f（x）,g（x）在（a,b）内某点c・（a,b）同时取得最大值，则f（c）二g（c），此时的c
就是所求点使得f（）=g（）•若两个函数取得最大值的点不同则有设
f（c）二maxf（x）,g（d）二maxg（x）故有f（c）-g（c）0,g（d）-f（d）：
0，由介值定理,
在（c,d）内肯定存在使得f（）=g（）由罗尔定理在区间（a,）,（,b）内分别存在一点
1,2,使得f'
（1）=f'
（2）=0在区间（1,2）内再用罗尔定理，即
存在：
（a,b），使得f"
「）二g"
设幕级数7anxn在（-〜*：
）内收敛，其和函数y（x）满足
n£
y-2xy-4y=0,y（0）=0,y（0）=1
、2
（1）证明an2an,n=1,2,|11；
⑵求y（x）的表达式
oo
（1）将已知条件中幕级数7anxn代入到微分方程中，整理即可得到:
n=0
an2an,n=1,2,丨I（;
y（0）=0=a0=0
y（0）=y=a-1
=a<
|=1
=12xI2n1x2
xx=xen!
捲+x2+x3=0
设线性方程组必+2x2+ax3=0
（1）
0+4x2+ax3=0
与方程x-!
2x2x3=a-1
（2）
有公共解，求a的值及所有公共解
【详解】：
因为方程组
（1）、
（2）有公共解，即由方程组
（1）、
（2）组成的方程组
X1+X2+X3=
=0
Xt+2x2+ax
3=0
（3）
的解
x^j+4x2十a
X3=0
“+2x2+x3
=a-1
11
10'
02
a0
a—1
即距阵
T
方程组（3）有解的充要条件为
14
a20
_1
J2
1a—1丿
1°
a2+3a+4
0丿
a=1,a=2.
当a=1时，方程组⑶等价于方程组
（1）即此时的公共解为方程组
（1）的解.解方程组
（1）的基
础解系为£
=（1,0,—1）T此时的公共解为：
x=k'
k=12lil
的解为Xi=0,x2=1,x3=-1，即公共解为:
k（0,1,-1）T
（22）设3阶对称矩阵A的特征向量值為=1,九2=2,嘉=—2,%=（1,—1,1）是A的属于鮎的
53
一个特征向量，记B=A-4A-E其中E为3阶单位矩阵
（I）验证冷是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；
（I）可以很容易验证斗二n=1,2,3...），于是
B%=（A—4A+申“=偽5—4J+1记=-21
于是-：
是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即
（B）「（A）5-4"
）31,
所以B的全部特征值为—2,1,1.
前面已经求得冷为B的属于一2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征
向量正交，设B的属于1的特征向量为（X1,X2,X3）T，所以有方程如下：
%-x2x3=0
于是求得B的属于1的特征向量为—=（一1,0,1）丁「3=（1,1,0）T
_1T11
（n）令矩阵p=匕耳耳】=-101，则P，BP=diag（—2,1,1）,所以
110一
-11
（23）设二维变量（x,y）的概率密度为
（I）求P{X2Y}；
（II）求z=XY的概率密度.
P「X2Y：
=（2-x-y）dxdy，
其中D为0：
x:
1,0：
y：
1中x2y的那部分
区域;
求此二重积分可得P「X2Ydx尸（2一X-y）dy
*0「0
152
0（气5
FZ（z）=P「Z二P〈XYEzl
当z^0时，FZ（z）=0；
当z_2时，Fz（z）-1；
当0z:
1时，FZ（z）=
当1：
z：
2时,
zz-x132
0dx0（2-x-y）dy「-§
zz
111325
FZ（z）=1-dx（2-x-y）dyz-2z4z-
33
z4z-x
f2
2z-z,0czcl
于是fZ⑵二z-4z4,1：
z2
0,其他
（24）设总体X的概率密度为
0.：
v
0其他
X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值（I）求参数V的矩估计量;
22
（II）判断4X是否为的无偏估计量，并说明理由
（I）记EX=：
.二，贝U
1—1
，因此参数二的矩估计量为v-2X-
（n）只须验证E（4X）是否为'
即可，而
2212
，而
E（4X）=4E（X）=4（DX（EX）2）=4（DX（EX）2）n
EX=]■1寸,EX2=1（1：
•汀:
N，）,
426
因此4X不是为二2的无偏估计量•
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