复数的运算说课稿.docx
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复数的运算说课稿
复数的运算说课稿
林萍萍
2012-10-21
一、说教材
（一）教材的地位与作用：
1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重
点。
2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代
数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。
因此，复数的
概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性
质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算
的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。
。
3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识
的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。
（二）学情分析：
1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。
2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点
的学习方法。
3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合
作探究能力。
4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。
（三）教学目标：
1
1、知识目标：
掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方
运算法则。
2、能力目标：
培养学生运算的能力。
3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新
的精神。
（四）教学重点：
复数的概念，复数的代数运算是重点
（五）教学难点：
复数代数形式的乘、除法法则。
教学方法：
（六）启发式教学法关键：
掌握复数加法、减法的定义和复
数相等定义的运用。
二、说教法：
1、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比
思想体会整式的运算与复数的运算的共性，使学生体会其中
的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问
题的能力。
2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计
算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。
三、说学法：
1、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。
通过对数系学
习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。
2、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主
动实现学习目标。
3、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。
培养
2
学生归纳问题、转化问题的努力。
四、说课过程：
（一）、复习提问：
1、1.虚数单位 i :
（1）它的平方等于-1，即
i 2 = -1 ;
（2）实数
可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算
律仍然成立
2、 i 与－1 的关系:
i 就是－1 的一个平方根，即方程 x2=－1
的一个根，方程 x2=－1 的另一个根是－ i
3、复数的概念：
形如 a+bi （a，b∈R）叫做复数，a，b 分别
叫做它的实部和虚部。
4、复数的分类：
复数 a+bi （a，b∈R），当 b=0 时，就是实
数;当 b≠0 时，叫做虚数; 当 a=0，b≠0 时，叫做纯虚数;
5、复数 Z1=a1+b1i 与 Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 a1=a2，
b1=b2。
⎧实数 （b=0）
复数Z = a + bi ⎨ ⎧一般虚数（b ≠ 0, a ≠ 0）
6、复数的分类：
⎪
⎪虚数 （b ≠ 0） ⎨
⎩ ⎩纯虚数（b ≠ 0, a = 0）
uuruur
虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是 也没有大小。
7、复数的模：
若向量 OZ 表示复数 z，则称 OZ 的模 r 为复数 z
的模，z =| a + bi |= a 2 + b2 ；
积或商的模可利用模的性质（ 1）
z ⋅L z = z ⋅ z ⋅L ⋅ z
1 n 1 2
n
，
（2）
zz
z z
1 = 1
2 2
（ z
2
≠ 0）
3
8、复平面、实轴、虚轴：
点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复
数 z=a+bi（a、b∈R）可用点 Z（a，b）
表示，这个建立了直角坐标系来表示
y
b Z（a，b）
o a x
复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴， y
轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为
（0，0）， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了
原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，
即
复数 z = a + bi ←−−− 复平面内的点 Z （a, b）
（二）类比代数式，引入复数运算：
一、复数代数形式的加减运算
类似根据代数式的加减法，
则复数 z1 与 z2 的和：
z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i.
（a, b, c, d ∈ R ）
复 数 z1 与 z2 的 差：
z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i.
（a, b, c, d ∈ R ）
二、复数的加法运算满足交换律和结合律
1、复数的加法运算满足交换律:
z1+z2=z2+z1.
4
证明：
设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R）.
∵z1+z2=（a1+b1i）+（a2+b2i）=（a1+a2）+（b1+b2）i.
z +z =（a +b i）+（a +b i）=（a +a ）+（b +b ）i.
2122112121
又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.
∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.
2、 复数的加法运算满足结合律:
（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）
证明：
设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i（a1，a2，a3，b1，b2，
b ∈R）.
3
∵（z1+z2）+z3=［（a1+b1i）+（a2+b2i）］+（a3+b3i）
=［（a1+a2）+（b1+b2）i］+（a3+b3）i
=［（a1+a2）+a3］+［（b1+b2）+b3］i
=（a1+a2+a3）+（b1+b2+b3）i.
z +（z +z ）=（a +b i）+［（a +b i）+（a +b i）］
123112233
=（a1+b1i）+［（a2+a3）+（b2+b3）i］
=［a1+（a2+a3）］+［b1+（b2+b3）］i
=（a1+a2+a3）+（b1+b2+b3）i
∵（a1+a2）+a3=a1+（a2+a3），（b1+b2）+b3=b1+（b2+b3）.
∴（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）.即复数的加法运算满足结合律
三、复数代数形式的加减运算的几何意义
复数的加（减）法 （a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i.
与多项式加 （减）法是类似的 .就是把复数的实部与实
部，虚部与虚部分别相加（减）.
5
Z （a, b） ←−−− 平面向量 OZ
１．复平面内的点
一一对应→
uuur
2. 复数 z = a + bi ←−一−应−→ 平面向量 OZ
uuur
一对
3.复数加法的几何意义：
设复数 z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所
对应的向量为 OZ1 、 OZ 2 ，即 OZ1 、 OZ 2 的坐标形
式为 OZ1 =（a，b），OZ 2 =（c，d） 以 OZ1 、OZ 2 为邻
边作平行四边形 OZ1ZZ2，则对角线 OZ 对应的向量是 OZ ，
∴ OZ =OZ1 + OZ 2 =（a ， b）+（c ， d）=（a+c ， b+d） ＝
（a+c）+（b+d）i
4. 复数减法的几何意义：
复数减法是加法的逆运算，
设 z=（a－c）+（b－d）i，所以 z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法
几何意义，以 OZ 为一条对角线，OZ1 为一条边画平行四边形，
那么这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向量 OZ 2 就与复
uuuuruuur
数 z－z1 的差（a－c）+（b－d）i 对应 由于 OZ2 = Z1Z ，所以，两个
复数的差 z－z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量
对应.
讲解范例：
例 1 计算：
（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）
解：
（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）＝（5-2-3）+（-6-1-4） i=－11 i
例 2 计算：
（1－2i）+（－2+3i）+（3－4i）+（－4+5i）+…+（－
2002+2003i）+（2003－2004i）
解 法 一 ：
原 式 =（1 － 2+3 － 4+ … － 2002+2003）+（ － 2+3 －
6
4+5+ …+2003 －2004i）=（2003 －1001）+（1001 －2004）i=1002
－1003i.
解法二：
∵（1－2i）+（－2+3i）=－1+i，
（3－4i）+（－4+5i）=－1+i，
……
（2001－2002i）+（－2002+2003）i=－1+i.
相加得（共有 1001 个式子）：
原式=1001（－1+i）+（2003－2004i）
=（2003－1001）+（1001－2004）i=1002－1003i
z
例 3 已知复数 z1=2+i，2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、
B，求 AB 对应的复数 z，z 在平面内所对应的点在第几象限？
解：
z=z2－z1=（1+2i）－（2+i）=－1+i，
∵z 的实部 a=－1＜0，虚部 b=1＞0，
∴复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内.
点评：
任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应
的复数减去始点所对应的复数所得的差 .即 AB 所表示的复
数是 zB－zA. ，而 BA 所表示的复数是 zA－zB，故切不可把被
减数与减数搞错 尽管向量 AB 的位置可以不同，只要它们的终
点与始点所对应的复数的差相同，那么向量 AB 所对应的复数
是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它
只与其方向和长度有关，而与位置无关
7
对 z1,z2,z3∈C 及 m,n∈N*有:
z z =z , （z ） =z,
（z1z2） =z1 z2 .
5、复数的乘除法运算：
复 数 的 乘 法 ：
z1z2= （a+bi）（c+di）=（ac － bd）+（bc+ad）i.
（a, b, c, d ∈ R ）
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即
m nm+nm nmn
nnn
6、共轭复数：
若两个复数的实部相等，而虚部是互为
相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为
0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数；
z = a + bi, z = a - bi （a, b ∈ R ） ，两共轭复数所对应的点或向量关于实
轴对称。
z =| z |= a2 + b2
1212
z ⋅ z = z ⋅ z , ⎛ z1 ⎪= z1
1 2 1 2
2
z
1 =
i
（a, b, c, d ∈ R ），分母实数化是常规方法
复数的运算，典型例题精析：
（1+i）2
例 4．
（1）复数等于（）
A.1 － iB.1+iC. － 1+ i
D.－1－i
8
2i
= i（1+ i） = -1 + i
1－i
--
（2 ）若复数 z 同时满足 z － z ＝2 i ， z ＝ iz （
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