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精美排版出版打印全国卷《函数》真题汇总答案

2013——2017全国卷《函数》真题汇总

2017年

【全国卷Ⅰ·文科·】C

【全国卷Ⅰ·文科·】C

【全国卷Ⅰ·文科·】

【全国卷Ⅰ·文科·】

（1）函数的定义域为，，

①若，则，在单调递增.

②若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

③若，则由得.

当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增.

（2）①若，则，所以.

②若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.

③若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.

综上，的取值范围为.

【全国卷Ⅱ·文科·】D

【全国卷Ⅱ·文科·】12

【全国卷Ⅱ·文科·】

（1）f’（x）=（1-2x-x2）ex

令f’（x）=0得x=-1-，x=-1+

当x∈（-∞，-1-）时，f’（x）<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’（x）>0；当x∈（-1-，+∞）时，f’（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增

（2）f（x）=（1+x）（1-x）ex

当a≥1时，设函数h（x）=（1-x）ex，h’（x）=-xex＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）单调递减，而h（0）=1，

故h（x）≤1，所以f（x）=（x+1）h（x）≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞）单调递增，而g（0）=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，，，取

则

当

综上，a的取值范围[1，+∞）

【全国卷Ⅲ·文科·】D

【全国卷Ⅲ·文科·】C

【全国卷Ⅲ·文科·】

【全国卷Ⅲ·文科·】

（1）f（x）的定义域为（0，+），.

若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.

若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.

（2）由

（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为

.

所以等价于，即

设g（x）=lnx-x+1，则

当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g

（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0,.从而当a＜0时，，即.

2016年

【全国卷Ⅰ·文科·】B

∵0b>1时,logac>logbc,A项错误;

∵0b>0,

∴logca

∵0

又∵a>b>0,∴ac>bc,C项错误;

∵0

又∵a>b>0,∴ca

【全国卷Ⅰ·文科·】D

当x=2时,y=8-e2∈（0,1）,排除A,B;易知函数y=2x2-e|x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x2-ex,求导得y'=4x-ex,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x0∈（0,2）,使得y'=0,故选D.

【全国卷Ⅰ·文科·】C

f'（x）=1-cos2x+acosx=1-（2cos2x-1）+acosx=-cos2x+acosx+,f（x）在R上单调递增,则f'（x）≥0在R上恒成立,令cosx=t,t∈[-1,1],则-t2+at+≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,

令g（t）=4t2-3at-5,则解得-≤a≤,故选C.

【全国卷Ⅰ·文科·】

（Ⅰ）f'（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

（i）设a≥0,则当x∈（-∞,1）时,f'（x）<0;当x∈（1,+∞）时,f'（x）>0.所以f（x）在（-∞,1）单调递减,在（1,+∞）单调递增.（2分）

（ii）设a<0,由f'（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

①若a=-,则f'（x）=（x-1）（ex-e）,所以f（x）在（-∞,+∞）单调递增.

②若a>-,则ln（-2a）<1,故当x∈（-∞,ln（-2a））∪（1,+∞）时,f'（x）>0;当x∈（ln（-2a）,1）时,f'（x）<0.所以f（x）在（-∞,ln（-2a））,（1,+∞）单调递增,在（ln（-2a）,1）单调递减.（4分）

③若a<-,则ln（-2a）>1,故当x∈（-∞,1）∪（ln（-2a）,+∞）时,f'（x）>0;当x∈（1,ln（-2a））时,f'（x）<0.所以f（x）在（-∞,1）,（ln（-2a）,+∞）单调递增,在（1,ln（-2a））单调递减.（6分）

（Ⅱ）（i）设a>0,则由（Ⅰ）知,f（x）在（-∞,1）单调递减,在（1,+∞）单调递增.

又f

（1）=-e,f

（2）=a,取b满足b<0且b

则f（b）>（b-2）+a（b-1）2=a>0,

所以f（x）有两个零点.（8分）

（ii）设a=0,则f（x）=（x-2）ex,所以f（x）只有一个零点.（9分）

（iii）设a<0,若a≥-,则由（Ⅰ）知,f（x）在（1,+∞）单调递增,又当x≤1时f（x）<0,故f（x）不存在两个零点;（10分）

若a<-,则由（Ⅰ）知,f（x）在（1,ln（-2a））单调递减,在（ln（-2a）,+∞）单调递增,又当x≤1时f（x）<0,故f（x）不存在两个零点.（11分）

综上,a的取值范围为（0,+∞）.（12分）

【全国卷Ⅱ·文科·】D

函数y=10lgx的定义域、值域均为（0,+∞）,而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.

【全国卷Ⅱ·文科·】B

由题意可知f（x）的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|（x-1）2-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以xi=m,故选B.

【全国卷Ⅱ·文科·】

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0,+∞）.当a=4时,

f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）,f'（x）=lnx+-3,f'

（1）=-2,f

（1）=0.

曲线y=f（x）在（1,f

（1））处的切线方程为2x+y-2=0.（3分）

（Ⅱ）当x∈（1,+∞）时,f（x）>0等价于lnx->0.（4分）

设g（x）=lnx-,则g'（x）=-=,g

（1）=0.（6分）

（i）当a≤2,x∈（1,+∞）时,x2+2（1-a）x+1≥x2-2x+1>0,故g'（x）>0,g（x）在（1,+∞）单调递增,因此g（x）>0;（8分）

（ii）当a>2时,令g'（x）=0得

x1=a-1-,x2=a-1+.（10分）

由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈（1,x2）时,g'（x）<0,g（x）在（1,x2）单调递减,因此g（x）<0.（11分）

综上,a的取值范围是（-∞,2].（12分）

【全国卷Ⅲ·文科·】A

a==,c=2=,而函数y=在（0,+∞）上单调递增,所以<<,即b

【全国卷Ⅲ·文科·】y=2x

当x>0时,-x<0,f（-x）=ex-1+x,而f（-x）=f（x）,所以f（x）=ex-1+x（x>0）,点（1,2）在曲线y=f（x）上,易知f'

（1）=2,故曲线y=f（x）在点（1,2）处的切线方程是y-2=f'

（1）·（x-1）,即y=2x.

【全国卷Ⅲ·文科·】

（Ⅰ）由题设知,f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=-1,令f'（x）=0,解得x=1.

当00,f（x）单调递增;当x>1时,f'（x）<0,f（x）单调递减.（4分）

（Ⅱ）证明:

由（Ⅰ）知f（x）在x=1处取得最大值,最大值为f

（1）=0.

所以当x≠1时,lnx

（Ⅲ）证明:

由题设c>1,设g（x）=1+（c-1）x-cx,

则g'（x）=c-1-cxlnc,令g'（x）=0,解得x0=.

当x0,g（x）单调递增;当x>x0时,g'（x）<0,g（x）单调递减.（9分）

由（Ⅱ）知1<

又g（0）=g

（1）=0,故当00.

所以当x∈（0,1）时,1+（c-1）x>cx.（12分）

2015年

【全国卷Ⅰ·文科·】A

当a≤1时,f（a）=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;

当a>1时,f（a）=-log2（a+1）=-3,即log2（a+1）=3,得a+1=23=8,∴a=7,此时f（6-a）=f（-1）=2-2-2=-.故选A.

【全国卷Ⅰ·文科·】C

在y=f（x）的图象上任取一点P（x0,y0）,则P（x0,y0）关于直线y=-x对称的点为P'（-y0,-x0）,所以P'必在y=2x+a的图象上,即-x0=,所以-y0+a=log2（-x0）,所以y0=a-log2（-x0）,所以f（x）=a-log2（-x）,又f（-2）+f（-4）=1,所以2a-log22-log24=1,所以2a-1-2=1,解得a=2,故选C.

【全国卷Ⅰ·文科·】1

由题意可得f'（x）=3ax2+1,∴f'

（1）=3a+1,又f

（1）=a+2,∴f（x）=ax3+x+1的图象在点（1,f

（1））处的切线方程为y-（a+2）=（3a+1）（x-1）,又此切线过点（2,7）,∴7-（a+2）=（3a+1）（2-1）,解得a=1.

【全国卷Ⅰ·文科·】

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=2e2x-（x>0）.

当a≤0时,f'（x）>0,f'（x）没有零点;

当a>0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以f'（x）在（0,+∞）上单调递增.

又f'（a）>0,当b满足00时,f'（x）存在唯一零点.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）,可设f'（x）在（0,+∞）上的唯一零点为x0,当x∈（0,x0）时,f'（x）<0;当x∈（x0,+∞）时,f'（x）>0.故f（x）在（0,x0）上单调递减,在（x0,+∞）上单调递增,所以当x=x0时,f（x）取得最小值,最小值为f（x0）.由于2-=0,所以f（x0）=+2ax0+aln≥2a+aln.故当a>0时,f（x）≥2a+aln.（12分）

评析　本题主要考查利用导数求函数零点及利用导数研究不等式,考查分类讨论思想,是综合性较强的题,属难题!

【全国卷Ⅱ·文科·】B

当点P与C、D重合时,易求得PA+PB=1+;当点P为DC中点时,PA+PB=2PA=2.显然,1+>2,故当x=时,f（x）不取最大值,故C、D选项错误.当x∈时,f（x）=tanx+,不是一次函数,排除A.故选B.

评析　做选择题可以取特殊位置进行研究.

【全国卷Ⅱ·文科·】A

当x>0时,f（x）=ln（1+x）-,∴f'（x）=+>0,∴f（x）在（0,+∞）上为增函数,

∵f（-x）=f（x）,∴f（x）为偶函数,

由f（x）>f（2x-1）得f（|x|）>f（|2x-1|）,∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得

【全国卷Ⅱ·文科·】-2

因为函数f（x）=ax3-2x的图象过点（-1,4）,所以4=a×（-1）3-2×（