【例3】已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )
A、9 B、12 C、15 D、12或15
【例4】已知三角形三边长为a,b,c,且丨a+b-c丨+丨a-b-c丨=10,求b的值
练习
1、长为10、7、5、3的四跟木条,选其中三根组成三角形有____________种选法
2、已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数,以3,5,x为边能组成____________个三角形
3、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是______________
4、已知a,b,c为△ABC的三边,则化简|a+b–c|+|b–c–a|-丨c-a-b丨的结果是_____________
5、已知三角形的两边长分别为9和2
(1)求三角形的周长范围;
(2)若周长是偶数,求第三边的长。
6、P是△ABC内一点,说明PA+PB+PC>(AB+BC+AC)
(三)三角形的内角、外角
【例1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果∠α=43°,求∠β的度数
【例2】如图所示,AE∥BD,∠1=95°,∠2=28°,求∠C的度数
【例3】三角形的三个内角之比为2∶2∶3,则此三角形为()
A、锐角三角形B、钝角三角形
C、直角三角形D、等边三角形
练习
1、把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角_______度.
第1题第2题
2、如图,∠1、∠2、∠3的大小关系为( )
A、∠2>∠1>∠3B、∠1>∠3>∠2
C、∠3>∠2>∠1D、∠1>∠2>∠3
3、在△ABC中,6∠A=3∠B=2∠C,则此三角形是()
A、锐角三角形B、直角三角形
C、钝角三角形D、等腰三角形
4、如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数
(四)与三角形有关的线
1、高
【例1】如图,△ABC的高AD、BE交于点O,则△AOB中,BO边上的高为_______;
△ADC中,AD边上的高为________;
若AD=4cm,BC=8cm,AC=6cm,则BE=______cm
练习
1、如图,AB⊥BD于B,AC⊥CD于C,AC与BD交于E,那么
(1)△ADE的边DE上的高是______;AE上的高是______;
(2)若AE=5,DE=2,CD=,求AB的长。
2、中线、等分线
【例】如图所示,AD是△ABC的中线,E为BC边上的三等分点,若用表示△ABD的面积,
用表示△ACD的面积,表示△ACE的面积,则、与的大小关系是()
A、>B、=2
C、2=3D、以上三种情况都可能
练习
1、如图,AD、AE分别是△ABC的中线、高,且AB=5,AC=3,则
(1)△ABD与△ACD的周长的差是_______;
(2)△ACD与△ABD的面积关系为________;
(3)若在BC边上有一点F,使得△ABF=2△ACF,
且△ABF的周长比△ACF大4,则BC=_______
3、角平分线
【例】如图,若上∠1=∠2、∠3=∠4,下列结论中错误的是( )
A、AD是△ABC的角平分线 B、CE是△ACD的角平分线
C、∠3=∠ACB D、CE是△ABD的角平分线
练习
1、如图,在△ABC中,D为BC边上一点,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H.下面判断:
①AD是△ABE的角平分线;
②BE是△ABD的边AD上的中线;
③CH是△ACD的边AD上的高;
④AH是△ACF的角平分线和高.其中正确的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图,点O是△ABC的两条角平分线的交点,若∠BOC=118°,
则∠A的大小是_________
4、三角形的中位线
【例1】如图所示,DE是△ABC的中位线,BC=8,则DE=_______.
【例2】如图所示,在□ABCD中,点O为对角线AC,BD的中点,OE∥BC交CD于E,
若OE=3cm,则AD的长为().
A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm
【例3】如图,在△ABC中,E为AB的中点,CD平分∠ACB,AD⊥CD于点D.试说明:
(1)DE∥BC.
(2)DE=(BC-AC).
练习
1、如图所示,在直角△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求△DEF的面积.
(五)多边形及其内角和
知识点总结:
1、n边形的内角和等于180°(n-2);边数每增加1,内角和增加180°;
2、多边形的外角和等于360°,多边形的外角和与边数无关;
3、正n边形的每个外角等于;
4、n边形的每个顶点有n-3条对角线,对角线总条数为
【例1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形有_______条边
【例2】一个多边形的边数每增加一条,这个多边形的()
A.内角和增加360°B.外角和增加360°
C.对角线增加一条D.内角和增加180°
【例3】一个多边形的外角中,最多有______个钝角
练习
1、如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以单位1为半径画圆,
则图中阴影部分的面积之和为平方单位.
2、小明求一个多边形的内角和时,误将一个外角加进来,最后的结果是2017°,求这个外角的度数。
3、已知m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,k边形有k条对角线,
求式子的值
二、全等三角形的判定(基础篇)
(一)全等三角形的性质:
面积、周长相等,对应边、角、线段相等
(二)全等三角形的判定方法:
(1)一般三角形:
边边边(SSS)、边角边(SAS)、角角边(AAS)、角边角(ASA)、
(2)直角三角形:
斜边、直角边(HL)
【例】如图,给出下列四组条件:
①;②;
③;④.
其中,能使的条件共有()
A.1组B.2组C.3组D.4组
1、边边边(SSS)
【例1】如图,已知AB=AD,CB=CD,那么∠B=∠D吗?
请说明理由?
【例2】如图所示,AC=BD,AB=DC,求证:
∠B=∠C
练习
1、如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.
(1)求证:
△ABC≌△DCB
2、边角边(SAS)
【例】已知:
如图所示,AB=AC,∠1=∠2,AD=AE,求证:
△ABD≌△ACE.
练习
1、如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
2、如图,AC与DB交于点M且AC=DB,△MBC为等腰三角形.
(1)求证:
∠ABC=∠DCB;
3、角角边(AAS)、角边角(ASA)
【例】如图所示,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE与CD相交于点O,且∠1=∠2,
求证:
BD=CE。
练习
1、如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:
BE=CF.
2、如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.
(1)求证:
AM=DM;
(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.
(3)若连接MN,试判断MN和BC的关系,说明你的理由
4、斜边、直角边(HL)
【例】1、如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
练习
1、如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF。
(1)求证:
Rt△ABE≌△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数。
【例5】如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
练习
1、某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②③去
2、如图,在ΔABC中,∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,DC=6厘米,则点D到直线AB的距离是__________厘米。
3、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=90°,则∠C的度数为()
A.30°B.40°
C.50°D.60°
4、如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是()
A、∠B=∠E,BC=EFB、BC=EF,AC=DF
C、∠A=∠D,∠B=∠ED、∠A=∠D,BC=EF
5、如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________
6、如图,以△ABC的AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,BE与CD相交于点F.
(1)求证:
BE=DC;
(2)求∠BFC的度数.
(3)连接AF,试证明AF平分∠DFE。
7、如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
8、如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证: