专题01 三角函数与解三角形核心考点 备战高考之数学理解答题高分宝典.docx

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专题01三角函数与解三角形核心考点备战高考之数学理解答题高分宝典

专题01三角函数与解三角形

核心考点一三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考的热点，尤其是三角函数的奇偶性、周期性与单调性及对称性等性质．在考查时经常与诱导公式、三角恒等变换等相结合，解题时要充分利用三角函数的图象及性质，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解.

【经典示例】已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．

答题模板

第一步，化简：

三角函数式的化简，一般化成的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式.

第二步，整体代换：

将看作一个整体，利用的性质确定条件.

第三步，求解：

利用的范围求条件解得函数的性质，写出结果.

第四步，反思：

反思回顾，查看关键点、易错点，对结果进行估算，检查规范性.

【满分答案】

（1）

，

由得

所以的单调递增区间是

（2）由

（1）知，

把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，

所以，

所以．

【解题技巧】此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为的形式，再结合正弦函数的性质研究其相关性质．

（1）已知三角函数解析式求单调区间：

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；

②求形如或（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）函数图象的平移变换解题策略：

①对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为.

②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

模拟训练

1．已知函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值.

【答案】

（1）；

（2）.

∴函数的值域为.

（2），当时，，

∵在区间上是增函数，且，

∴，

即，化简得，

∵，

∴，

∴，解得，

因此，的最大值为.

核心考点二解三角形

解三角形是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，题目常常以文字加式子描述或以三角形图形为背景，结合所给平面图形的几何性质、正弦定理、余弦定理进行命题.解题时要掌握正、余弦定理及其三角恒等变换的灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.

【经典示例】在中，分别是角的对边，.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值.

答题模板

第一步，定条件：

即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向.

第二步，定工具：

即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步，求结果.

第四步，再反思：

在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：

一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.

【满分答案】

（1）因为，

所以，

由正弦定理得，即，

又，

所以，

所以，

在中，，

所以，即，

由得．

（2）由，得.

由余弦定理得：

，

∴，

∴，当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，

∴的面积的最大值为．

【解题技巧】

（1）利用正、余弦定理求边和角的方法：

①根据题目给出的条件（即边和角）作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．

②选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

③在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．

（2）求三角形面积的方法：

①若三角形中已知一个角（角的大小，或该角的正、余弦值），结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

模拟训练

2．在锐角中，角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】

（1）；

（2）.

因为，

所以，

因为，

所以.

（2）由余弦定理，得，

所以，

因为的面积为，

所以，即，

所以，

所以，

所以，

所以，即的周长为．

核心考点三三角函数与解三角形的综合问题

高考中常将解三角形与三角函数的图象与性质两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等，其中常涉及三角恒等变换、向量等，且以此为出发点考查三角函数的图象与性质或解三角形，也是解决三角函数与解三角形问题的基础，必须熟练掌握.

【经典示例】已知向量，，设函数.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.

（1）若，求函数的值域；

（2）已知分别为中角的对边，且满足，，，，求的面积.

答题模板

第一步，化条件：

根据向量运算将向量式转化为三角式.

第二步，化三角式：

三角函数式的化简，一般化成的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式.

第三步，求解：

利用的范围及条件解得函数的性质，写出结果.

第四步，代换：

利用角的关系与三角函数式进行转化代换并化简结果.

第五步，选工具：

根据条件和所求，合理选择正、余弦定理求出最终结果.

第六步，反思：

反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性.

【满分答案】

（1）由题意，得

.

所以.

因为，

所以，

所以，

所以，

所以函数的值域为.

（2）因为，

所以.

因为，

所以.

所以，解得.

所以.

又，且，，

所以.

所以的面积.

【解题技巧】此类问题是将向量、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，由向量转化为三角函数，再转化为解三角形问题，其间只需熟练掌握向量的简单计算，三角函数的图象与性质的求解方法以及解三角形的相关知识即可顺利解决.

模拟训练

3．已知函数．

（1）将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，若，求函数的值域；

（2）已知分别为锐角中角的对边，且满足，求的面积．

【答案】

（1）；

（2）.

∴，

当时，；当时，．

∴函数的值域为．

（2）由已知及正弦定理得：

．

∴，

∵，

∴，

由得，从而，

由正弦定理得：

，

∴．

核心考点四三角函数与解三角形的实际应用

三角函数与解三角形模型在实际中的应用体现在两个方面：

一是已知函数模型，利用三角函数或解三角形的有关知识解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数或解三角形模型，再利用三角函数或解三角形的有关知识解决问题，其关键是建模.

【经典示例】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角，已知山高为千米.

（1）船的航行速度是每小时多少千米？

（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？

答题模板

第一步，分析：

理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；

第二步，建模：

根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；

第三步，求解：

利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；

第四步，检验：

检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．

【满分答案】

（1）在中，，，

在中，，

由正弦定理得：

，解得，

又，

所以船的航行速度是每小时千米.

（2）在中，，

由余弦定理得：

，

在中，由正弦定理得：

所以，即山顶位于处南偏东.

【解题技巧】解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．

模拟训练

4．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段是函数的一部分，后一段是函数（，），时的图象，图象的最高点为，，垂足为.

（1）求函数的解析式；

（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童游乐园PMFE，问点落在曲线上何处时，儿童游乐园的面积最大？

【答案】

（1）；

（2）点的坐标为时，儿童游乐园的面积最大.

所以，

故.

（2）在中，令，得，

从而曲路的方程为，

设点，则儿童游乐园（矩形）的面积，则，

时，，单调递增；时，，单调递减，

所以时儿童游乐园（矩形）的面积最大，此时点的坐标为.