届高考数学一轮复习 第7章 第34课 等差数列及其前n项和.docx

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届高考数学一轮复习第7章第34课等差数列及其前n项和

第34课等差数列及其前n项和

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

等差数列

√

1．等差数列的有关概念

（1）定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d（n∈N＋，d为常数）．

（2）等差中项：

数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

（1）通项公式：

an＝a1＋（n－1）d.

（2）前n项和公式：

Sn＝na1＋＝.

3．等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N＋）．

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则ak＋al＝am＋an.

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N＋）是公差为md的等差数列．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（　　）

（2）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　　）

（3）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．（　　）

（4）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d＝____________.

－2　[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2.]

3．（2017·南京模拟）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝____________时，{an}的前n项和最大．

8　[由等差数列的性质可知，

a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，

故a8>0，a8＋a9<0，

∴a9<0，即当n＝8时，{an}的前n项和最大．]

4．（2016·江苏高考）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

20　[法一：

设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.

法二：

设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.

所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.

公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]

5．（教材改编）在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数．

16　[由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，

则a1＝6，d＝6，得an＝6＋（n－1）6＝6n.

由an＝6n≤100，即n≤16＝16，

则在100以内有16个能被6整除的数．]

等差数列的基本运算

（1）（2017·苏州模拟）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝____________.【导学号：

62172185】

（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝____________.

（1）　

（2）10　[

（1）∵公差为1，

∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.

∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4（4a1＋6），解得a1＝，

∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.

（2）设等差数列{an}的公差为d，依题意解得

∴am＝a1＋（m－1）d＝7m－40＝30，∴m＝10.]

[规律方法]　1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．

2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．

[变式训练1]　

（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是____________．

（2）设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.

（1）2　

（2）－72　[

（1）∵Sn＝，∴＝，又－＝1，

得－＝1，即a3－a2＝2，

∴数列{an}的公差为2.

（2）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由已知，得解得

∴S16＝16×3＋×（－1）＝－72.]

等差数列的判定与证明

　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－（n≥2，n∈N＋），数列{bn}满足bn＝（n∈N＋）．

（1）求证：

数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的通项公式an.【导学号：

62172186】

[解]　

（1）证明：

因为an＝2－（n≥2，n∈N＋），

bn＝.

所以n≥2时，bn－bn－1＝－

＝－＝－＝1.

又b1＝＝－，

所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

（2）由

（1）知，bn＝n－，

则an＝1＋＝1＋.

[规律方法]　1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于客观题中的简单判断．

2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，an无意义．

[变式训练2]　

（1）若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是____________．（填序号）

①公差为3的等差数列；

②公差为4的等差数列；

③公差为6的等差数列；

④公差为9的等差数列．

③　[∵a2n－1＋2a2n－（a2n－3＋2a2n－2）

＝（a2n－1－a2n－3）＋2（a2n－a2n－2）

＝2＋2×2＝6，

∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．]

（2）在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋（n∈N＋），则该数列的通项为____________．

an＝　[由已知＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]

等差数列的性质与最值

（1）如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝____________.

（2）等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．

（1）7　[法一：

第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7.

法二：

由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a52＝7.]

（2）法一：

由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，

即d＝－a1.

从而Sn＝n2＋n＝－（n－7）2＋a1，

因为a1>0，所以－<0.

故当n＝7时，Sn最大．

法二：

由法一可知，d＝－a1.

要使Sn最大，则有

即

解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．

法三：

由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，

即（a1＋6d）＋（a1＋7d）＝0，

故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，

所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大．

[规律方法]　1.等差数列的性质

（1）项的性质：

在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．

（2）和的性质：

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；

②S2n－1＝（2n－1）an.

2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

（1）函数法：

利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

（2）邻项变号法：

①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

[变式训练3]　

（1）在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝____________.

99　[因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝（a1＋a11）＝11a6＝99.]

（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S15＝____________.

60　[因为数列{an}为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列，设S15＝x，则10,20，x－30成等差数列，所以2×20＝10＋（x－30），所以x＝60，即S15＝60.]

[思想与方法]

1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.

（1）若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….

（2）若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….

2．等差数列{an}中，an＝an＋b（a，b为常数），Sn＝An2＋Bn（A，B为常数），均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．

3．等差数列的四种判断方法：

（1）定义法：

an＋1－an＝d（d是常数）⇔{an}是等差数列．

（2）等差中项法：

2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）⇔{an}是等差数列．

（3）通项公式：

an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列．

（4）前n项和公式：

Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）⇔{an}是等差数列．

[易错与防范]

1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．

3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．

课时分层训练（三十四）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝____________.

5　[法一：

由题意得解得

∴a4＝a1＋3d＝5.

法二：

由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5.]

2．已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝____________.

【导学号：

62172187】

4　[法一：

由题意得a3＝2，a7－2a4＝