深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学文科试题含参考答案Word文档格式.docx
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A．a>
b>
c
B．a>
c>
b
C．c>
a>
D．b>
6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：
分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为
A．2和6
B．4和6
C．2和7
D．4和7
7．若双曲线x
2y2
-
=1（a>
0，b>
0）的焦距为2
，且渐近线经过点（1,-2），则此双
a2b2
曲线的方程为
x2
A．-y2=1
4
B．x2-y=1
x2y2
C．-=1416
D．-=1164
5
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为
A．12
B．16
C．24
D．32
9．已知函数f（x）=Asin（x+π）+b（A>
0）的最大值、
最小值分别为3和-1，关于函数f（x）有如下四个结论：
①A=2，b=1；
②函数f（x）的图象C关于直线x
5π对称；
=-
6
③函数f（x）的图象C关于点（2π,0）对称；
④函数f（x）在区间（π,5π）内是减函数．
66
其中，正确的结论个数是
A．1
C．3
D．4
x2+1
10．函数f（x）=cosx⋅ln（
-x）的图象大致为
y
1
ο
-π
πx
-1
A..B.
-ππx
C.D.
11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ABC=90︒，AB=BC=AA1=2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为
A．3
B．
C．
D．15
12．函数f（x）是定义在（0,+∞）上的可导函数，f'
（x）为其导函数，若xf'
（x）+f（x）=（1-x）ex，且f
（2）=0，则f（x）>
0的解集为
A．（0,1）
B．（0,2）
C．（1,2）
D．（1,4）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若sin（α+π）=1，则sin2α=.
43
14．在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinA-sinB）=（a-c）sinC，
b=2，则∆ABC的外接圆面积为.
15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为.
16.设椭圆C:
x+y
=1（a>
0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐
标原点，点P满足OP=2a,点A是椭圆C上的动点，且PA+AF1≤3F1F2
恒成立，
则椭圆C离心率的取值范围是.
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
共60分．
17．（本小题满分12分）
n1n+1n
已知数列{a}，a=4，（n+1）a-na=4（n+1）（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=
a⋅a
，求数列{bn}前n项和为Tn.
nn+1
18．（本小题满分12分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：
万件）与月销售单价x（单位：
元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量yi和月销售单价xi
6）
（i=1,2,3,
数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价x（元/件）
7
8
9
月销售量y（万件）
89
83
82
79
74
67
（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：
yˆ=-4x+105，yˆ=4x+53和yˆ=-3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
（2）若用y=ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为
yˆ=-0.375x2+0.875x+90.25，经计算该模型和
（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2
分别为0.9702
和0.9524
，请用R2
说明哪个回归模型的拟合效果更好；
6547
（3）已知该商品的月销售额为z（单位：
万元），利用
（2）中的结果回答问题：
当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？
（精确到0.01）
参考数据：
≈80.91.
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为长方形，AB=2BC=4，E、F分别为AB、CD的中点，将∆ADF沿AF折到∆AD'
F的位置，将∆BCE沿CE折到∆B'
CE的位置，使得平面AD'
F⊥底面AECF，平面B'
CE⊥底面AECF，连接B'
D'
.
（1）求证：
B'
//平面AECF；
（2）求三棱锥B'
-AD'
F的体积.
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，过点F（2,0）的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径，设点P
的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A（2,4）的任意直线l与曲线C交于点M,B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D,B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？
说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（x-1）lnx+ax2+（1-a）x-1.
（1）当a=-1时，判断函数的单调性；
（2）讨论f（x）零点的个数.
（二）选考题：
共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：
只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
⎪⎧x=-2
在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为⎨
+
tcosα,
（t为参数，α为倾斜
⎪⎩y=tsinα,
角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
ρ=4sinθ．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）直线C1与C2相交于E,F两个不同的点，点P的极坐标为（2
π），若
2EF=PE+PF
，求直线C1的普通方程．
23．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知a,b,c为正数，且满足a+b+c=1.
证明：
（1）
1+1+1≥9；
abc
（2）ac+bc+ab-abc≤8.
27
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1.B
2.A
3.D
4.B
5.D
6.C
7.B
8.B
9.C
10.B
11.B
12.B
13.-714.4π
93
15.4π16.
⎡4
5
，1⎫.
⎪
⎭
12.【解析】设F（x）=x⋅f（x），则F'
（x）=xf'
（x）+f（x）=（1-x）ex，
因此，x∈（0,1），F'
（x）>
0，F（x）递增；
x∈（1,+∞），F'
（x）<
0，F（x）递减．因为当x→0时，F（0）→0，且有F
（2）=0．
所以由F（x）=x⋅f（x）图象可知，当x∈（0,2）时，F（x）=xf（x）>
0，此时f（x）>
0．
16.解析：
为使PA+AF1≤3F1F2
恒成立，只需3F1F2
≥（PA+AF1）max，
由椭圆的定义可得，AF1+AF2
=2a，
所以PA+AF1=PA-AF2+2a≤PF2+2a，当且仅当P,F2,A三点共线时取等号（F2
在线段PA上），
又点P的轨迹是以O为圆心，半径为2a的圆，所以圆上点P到圆内点F2的最大距离为
半径与OF2的和，即PF2≤2a+c，
所以PA+AF1≤PF2+2a≤2a+c+2a=4a+c，
所以6c≥4a+c，5c≥4a，e=c≥4，
a5
⎡4⎫
又e<
1，所以C的离心率的取值范围为⎢5，1⎪．
⎣⎭
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
（2）若bn=
，求数列{bn}前n项和为Tn．
n+1n
解：
（1）由（n+1）a-na=4（n+1）（n∈N*）可得，
2a2-a1=8，………………………………1分
3a3-2a2=12，
4a4-3a3=16，
……，
nan-（n-1）an-1=4n，（n≥2）
…………………………2分
累加得nan-a1=8+12+…+4n，……………………3分
（4+4n）n
所以nan
=4+8+12+…+4n=
，…………………4分
1n
得an=2n+2（n≥2），……………………5分由于a=4，所以a=2n+2（n∈N*）．……………………6分
11
（2）bn==
=1（1
-1）
，……………………9分
an⋅an+1
（2n+2）（2n+4）22n+22n+4
+（1
2n+2
T=1[（1-1）+（1-1）+-1）]=1（1-1）
n24668
2n+4242n+4
=n
8n+16
．………………………………………12分
【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，另外考查裂项相消法求数列的前n项和．重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量yi和月销售单价xi
（i=1,2,3,
yˆ=-4x+105，yˆ=4x+53和yˆ=-3x+104，其中有且仅有一位实习
员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
（2）若用y=ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为
yˆ=-0.375x2+0.875x+90.25，经计算该模型和
（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2
分别为0.9702和
0.9524，请用R2
≈80.91.
（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故乙不对，
因为x=4+5+6+7+8+9=6.5，y=89+83+82+79+74+67=79
66
代入甲和丙的回归方程验证甲正确．……………………4分
（2）因为0.9702>
0.9524且R2越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好，所以选用yˆ=-0.375x2+0.875x+90.25更好．（言之有理即可得分）……………7分
（3）由题意可知，z=xyˆ=-0.375x3+0.875x2+90.25x，……………………8分
即z=-3x3+7x2+361x，则z'
=-9x2+7x+361，……………………9分
884844
令z'
=0，则x=-
6547+7（舍去）或x=
6547+7，……………………10分
令x=
，当x∈（0,x）时，z单调递增，当x∈（x
+∞）时z单调递减，
6547+7
0900
所以当x=x0时，商品的月销售额预报值最大，……………………11分
因为≈80.91，所以x≈9.77，
所以当x≈9.77时，商品的月销售额预报值最大．……………………12分
如图，四边形ABCD为长方形，AB=2BC=4，E、F分别为AB、CD的中点，将∆ADF
沿AF折到∆AD'
F⊥底面
AECF，平面B'
，
//平面AECF；
F的体积．
（1）证明：
作D'
M⊥AF于点M，作B'
N⊥EC于点N，………………1分
AD'
=D'
F=2，B'
C=B'
E=2，∠AD'
F=∠CB'
E=90︒，
∴M，N为AF，CE中点，且D'
M=B'
N=．……………………2分
平面AD'
F⊥底面AECF，平面AD'
F
M⊥AF，D'
M⊂平面AD'
底面AECF=AF，
∴D'
M⊥底面AECF，……………………3分同理：
N⊥底面AECF，……………4分
M//B'
N，
∴四边形D'
B'
NM为平行四边形,
∴B'
//MN…………………5分
⊄平面AECF，MN⊂平面AECF，
//平面AECF．…………………6分
（2）设点B'
到平面AD'
F的距离为h，连接NF．………………………………7分
N，D'
F，B'
N⊄平面AD'
N//平面AD'
F，………………………………8分
故点B'
F的距离与点N到平面AD'
F的距离相等．………………………8分
上统一测试数学（文科）参考答案第4页（共11页）
N为CE中点，EF=CE=2，
∴NF⊥CE，
深圳市2020年普通高中高三年级线
AF//CE，
∴NF⊥AF，…………………9分
F⊥底面AECF，
F底面AECF=AF，NF⊂底面AECF，
∴NF⊥平面AD'
F，………………………10分
∴点N到平面AD'
F的距离为NF=，
∴点B'
F的距离h=．……………………………11分
S∆AD'
=1⨯2⨯2=2，
∴三棱锥B'
F的体积VB'
-AD'
=1S
∆AD'
⨯h=1⨯2⨯=22．………………12分
33
在平面直角坐标系xOy中，过点F（2,0）的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径，设点P
的轨迹为曲线C．
说明理由．
【解析】
（1）如图，过P作y轴的垂线，交y轴于点H，交直线x=-2于点P1，
--------------------1分
设动圆圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质得，PH=2r-2，----------------------2分
所以PP1=2r-2+2=2r，又PF=2r，所以PF=PP1，--------------------3分
由抛物线的定义知，点P是以F（2,0）为焦点，直线x=-2为
准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2=8x．4
分
（2）由A（2,4）得，A在曲线C上，
（i）当l的斜率存在时，设M（x1,y1）（x1≠2），则y1=8x1，
AM的中点B（x1+2,y1+4），即B（x1+1,y1+2），------------------5分
2222
在方程y2=8x中令y=y1+2得x=1（y1+2）2，
282
所以D（1（y1+2）2,y1+2）．----------------------------6分
822
1y1
2x1+2
设N（x2,y2），由中点坐标公式x2=（
42
+2）-，
又y1
=8x1，代入化简得x2=
y1，
所以N（y1,y1+2），--------------------------------7分
22
y-（y1+2）
12
y1-2
=
24
直线
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