高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合教师用书Word下载.docx

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3,5分（理）

[重点关注]

综合近5年浙江卷高考试题，我们发现单独考查集合的运算的可能性较大，命题及其关系与充要条件是高考的必考内容，复习时应加以重视．

第一节　集　合

1．元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、Venn图法．

2．集合间的基本关系

（1）子集：

若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

（2）真子集：

若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AB或BA.

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

并集

交集

补集

图形表示

符号表示

A∪B

A∩B

∁UA

意义

{x|x∈A或x∈B}

{x|x∈A且x∈B}

{x|x∈U且x∉A}

4.集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．

（2）子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）任何集合都有两个子集．（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

[解析]　

（1）错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．

（2）错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；

集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；

集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．

（3）错误．当x＝1时，不满足互异性．

（4）错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

2．（教材改编）若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是

（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

D　[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2

，知a∉A.]

3．设集合A＝{x|x2－4x＋3<

0}，B＝{x|2x－3>

0}，则A∩B＝（　　）

A.

B.

C.

D.

D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．

∵2x－3＞0，∴x＞

，∴B＝

.

∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩

＝

故选D.]

4．（2017·

金华十校第一学期调研）已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，N＝{y|y＝－x2＋1}，则M∩（∁UN）＝（　　）

A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－1≤x<

1}

C．{x|1≤x≤3}D．{x|1<

x≤3}

D　[依题意，M＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，N＝{y|y≤1}，故∁UN＝{y|y>

1}，故M∩（∁UN）＝{x|1<

x≤3}，故选D.]

5．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．

2　[集合A表示圆心在原点的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．]

集合的基本概念

（1）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1　　　　B．3　　　　

C．5　　　　D．9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

B.

C．0D．0或

（1）C　

（2）D　[

（1）当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；

当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；

当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0得a＝

，

所以a的取值为0或

.]

[规律方法]　1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；

特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题

（1）．

2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题

（2）．

[变式训练1]　已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.【导学号：

51062000】

　[∵A＝∅，∴方程ax2＋3x－2＝0无实根，

不合题意；

当a≠0时，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－

集合间的基本关系

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A．ABB．BA

C．A⊆BD．B＝A

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

（1）B　

（2）（－∞，4]　[

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，

因此BA.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

解得2＜m≤4.

综上，m的取值范围为m≤4.]

[规律方法]　1.B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解．

[变式训练2]　

（1）（2017·

安吉质检）若集合A＝{x|x＞0}，且B⊆A，则集合B可能是（　　）

A．{1,2}B．{x|x≤1}

C．{－1,0,1}D．R

（2）（2017·

宁波一中）已知集合A＝{x|

，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为（　　）

A．2B．－1

C．－1或2D．2或

（1）A　

（2）A　　[

（1）因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．

（2）由

，得x＝2，则A＝{2}．

因为B＝{1，m}，且A⊆B，

所以m＝2.]

角度1　求集合的交集或并集

（1）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A．5B．4

C．3D．2

嘉兴调研）设集合M＝{x|x2＝x}，

N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（　　）【导学号：

51062001】

A．[0,1]B．（0,1]

C．[0,1）D．（－∞，1]

（1）D　

（2）A　[

（1）集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．

（2）M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0<

x≤1}，M∪N＝[0,1]．]

角度2　集合的交、并、补的混合运算

（1）（2016·

浙江高考）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3），Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2,3]

B．（－2,3]

C．[1,2）

D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

嘉兴期末测试）已知全集U＝R，集合A＝

，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

图111

A．{x|x≤0}

B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0<

x≤2或x≥4}

D．{x|0≤x<

2或x>

4}

（1）B　

（2）D　[

（1）

（1）∵Q＝{x∈R|x2≥4}，

∴∁RQ＝{x∈R|x2<

4}＝{x|－2<

x<

2}．

∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，

∴P∪（∁RQ）＝{x|－2<

x≤3}＝（－2,3]．

（2）因为A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，则阴影部分表示的集合∁A（A∩B）＝{x|0≤x<

4}，故选D.]

[规律方法]　1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．

2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；

集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

易错警示：

在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．

[思想与方法]

1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；

另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．

2．求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意的是：

首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；

其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．

3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．

（1）对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；

对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．

（2）对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．

[易错与防范]

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．

3．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；

二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

课时分层训练

（一）　集　合

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）＜0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}　　　　B．{1,2}

C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}

C　[B＝{x|（x＋1）（x－2）＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]

2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则（　　）【导学号：

51062002】

A．A＝B　　　　　　　B．A∩B＝∅

C．ABD．BA

D　[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B，∴BA.]

3．（2017·

湖州模拟）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　

C．3　　　　D．4

D　[由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，

∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]

4．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<

0}，则A∪B＝（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

C　[由已知得A＝{y|y>

0}，B＝{x|－1<

1}，则A∪B＝{x|x>

－1}．]

5．（2017·

杭州第一次质检）设集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1<

x≤2}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．{x|－1≤x≤0}B．{x|0<

2}

C．{x|－1<

0}D．{x|－1<

x≤0}

B　[因为A＝{x|x≥2或x≤0}，所以∁RA＝{x|0<

2}，（∁RA）∩B＝{x|0<

2}，故选B.]

6．若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）【导学号：

51062004】

A．1B．3

C．7D．31

B　[具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

7．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则集合（∁RS）∪T＝（　　）

A．（－2,1]B．（－∞，－4]

C．（－∞，1]D．[1，＋∞）

C　[∵S＝{x|x＞－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}，

又T＝{x|－4≤x≤1}，

∴（∁RS）∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]

二、填空题

8．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.

【导学号：

51062005】

（－∞，1]　[∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.]

9．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________.

{1,4}　[因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；

当x＝2时，y＝3×

2－2＝4；

当x＝3时，y＝3×

3－2＝7；

当x＝4时，y＝3×

4－2＝10.

即B＝{1,4,7,10}．

又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．]

10．集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.【导学号：

51062006】

[－1,0）　[由x（x＋1）＞0，得x＜－1或x＞0，

∴B＝（－∞，－1）∪（0，＋∞），

∴A－B＝[－1,0）．]

B组　能力提升

15分钟）

1．设集合A＝

，B＝

，则（∁RA）∩B＝

A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－1＜x＜1}

C．{－1,1}D．{1}

C　[集合A＝

＝{x|－1＜x＜1}，B＝

＝{x|－1≤x≤1}，

∴∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}．

因此（∁RA）∩B＝{－1,1}．]

2．（2017·

诸暨调研）设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是（　　）

图112

A．[0,1]

B．（－∞，－1]∪[2，＋∞）

C．[－1,2]

D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

D　[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cosx，x∈R}＝[－1,1]．

图中阴影部分表示∁U（A∪B）＝（－∞，－1）∪（2，＋∞）．]

3．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．

（－∞，－2]　[由4≤2x≤16，得2≤x≤4，则A＝[2,4]，又B＝[a，b]，且A⊆B.

∴a≤2，b≥4，故a－b≤2－4＝－2.

因此a－b的取值范围是（－∞，－2]．]

4．设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x－a≥0}．若存在实数a，使得A∩B＝{x|0≤x＜3}，则A∪B＝________.

{x|x＞－2}　[A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x≥a}．

如图，由A∩B＝{x|0≤x＜3}，得a＝0，A∪B＝{x|x＞－2}．]