版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词文档格式.docx
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答案 1
解析 ∵函数y=tanx在
上是增函数,∴ymax=tan
=1.依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.
5.(教材改编)给出下列命题:
①∀x∈N,x3>
x2;
②所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
③∃x0∈R,x
-x0+1≤0;
④存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
则以上命题的否定中,真命题的序号为________.
答案 ①②③
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
(1)已知命题p1:
y=ln[(1-x)·
(1+x)]为偶函数;
命题p2:
y=ln
为奇函数,则下列命题①p1∧p2;
②p1∨(綈p2);
③p1∨p2;
④p1∧(綈p2)中,是假命题的是________.
(2)已知命题p:
若x>
y,则-x<
-y;
y,则x2>
y2.在命题①p∧q;
②p∨q;
③p∧(綈q);
④(綈p)∨q中,真命题是________.
答案
(1)④
(2)②③
解析
(1)对于命题p1:
令f(x)=y=ln[(1-x)(1+x)],由(1-x)(1+x)>
0得-1<
x<
1,∴函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,∵f(-x)=ln[(1+x)·
(1-x)]=f(x),∴f(x)为偶函数,∴命题p1为真命题;
对于命题p2:
令g(x)=y=ln
,易知g(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,g(-x)=ln
=-g(x),∴g(x)为奇函数,命题p2为真命题,故p1∧(綈p2)为假命题.
(2)当x>
y时,-x<
-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.
当x>
y时,x2>
y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.
由真值表知:
①p∧q为假命题;
②p∨q为真命题;
③p∧(綈q)为真命题;
④(綈p)∨q为假命题.
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤:
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p、q的真假;
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
(1)已知命题p:
对任意x∈R,总有2x>
0;
“x>
1”是“x>
2”的充分不必要条件,则下列命题①p∧q;
②(綈p)∧(綈q);
③(綈p)∧q;
④p∧(綈q)中,为真命题的是________.
(2)若命题p:
关于x的不等式ax+b>
0的解集是{x|x>
-
},命题q:
关于x的不等式(x-a)(x-b)<
0的解集是{x|a<
b},则在命题“p∧q”“p∨q”“綈p”“綈q”中,是真命题的有________.
答案
(1)④
(2)綈p、綈q
解析
(1)p为真命题,q为假命题,故綈p为假命题,綈q为真命题.从而p∧q为假,(綈p)∧(綈q)为假,(綈p)∧q为假,p∧(綈q)为真,④正确.
(2)依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p∧q”为假,“p∨q”为假,“綈p”为真,“綈q”为真.
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
例2
(1)下列命题中,为真命题的是________.
①∀x∈R,x2≥0;
②∀x∈R,-1<
sinx<
1;
③∃x0∈R,
④∃x0∈R,tanx0=2.
(2)下列四个命题
p1:
∃x0∈(0,+∞),
p2:
∃x0∈(0,1),log
x0>
log
x0;
p3:
∀x∈(0,+∞),
x>
x;
p4:
∀x∈
,
x.
其中真命题是________.
答案
(1)①④
(2)p2,p4
解析
(1)∀x∈R,x2≥0,故①正确;
∀x∈R,-1≤sinx≤1,故②错;
∀x∈R,2x>
0,故③错,故④正确.
(2)根据幂函数的性质,对∀x∈(0,+∞),
x,故命题p1是假命题;
由于log
x-log
=
,故对∀x∈(0,1),log
x,所以∃x0∈(0,1),log
x0,命题p2是真命题;
当x∈
时,0<
1,log
1,故
x不成立,命题p3是假命题;
,0<
x,命题p4是真命题.
故p2,p4为真命题.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3
(1)命题“存在实数x,使x>
1”的否定是________________________.
(2)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:
∀x∈A,2x∈B,则綈p为______________.
答案
(1)对任意实数x,都有x≤1
(2)∃x∈A,2x∉B
解析
(1)利用存在性命题的否定是全称命题求解,“存在实数x,使x>
1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.
(2)命题p:
∀x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定应为存在性命题.
∴綈p:
∃x∈A,2x∉B.
思维升华
(1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.
(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
(1)写出下列命题的否定,并判断其真假:
①p:
∀x∈R,x2-x+
≥0;
②q:
所有的正方形都是矩形;
③r:
∃x0∈R,
④s:
至少有一个实数x0,使
解 ①綈p:
∃x∈R,x2-x+
<
0,假命题.
②綈q:
至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
③綈r:
∀x∈R,x2+2x+2>
0,真命题.
④綈s:
∀x∈R,x3+1≠0,假命题.
(2)(2015·
课标全国Ⅰ改编)设命题p:
∃n∈N,n2>
2n,则綈p为______________.
答案 ∀n∈N,n2≤2n
解析 将命题p的量词“∃”改为“∀”,“n2>
2n”改为“n2≤2n”.
题型三 由命题的真假求参数的取值范围
例4 已知p:
∃x∈R,mx2+1≤0,q:
∀x∈R,x2+mx+1>
0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为_______________________________________.
答案 m≥2
解析 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>
0恒成立,则有m≥0;
当q是真命题时,则有Δ=m2-4<
0,-2<
m<
2.
因此由p,q均为假命题得
,即m≥2.
引申探究
1.本例条件不变,若p∧q为真,则实数m的取值范围为________.
答案 (-2,0)
解析 依题意,当p是真命题时,有m<
当q是真命题时,有-2<
2,
由
可得-2<
0.
2.本例条件不变,若p∧q为假,p∨q为真,则实数m的取值范围为________________.
答案 (-∞,-2]∪[0,2)
解析 若p∧q为假,p∨q为真,则p、q一真一假.
当p真q假时
∴m≤-2;
当p假q真时
∴0≤m<
∴m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).
3.本例中的条件q变为q:
∃x∈R,x2+mx+1<
0,其他不变,则实数m的取值范围为________.
答案 [0,2]
解析 依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>
0,
∴m>
2或m<
-2.
得0≤m≤2,
∴m的取值范围是[0,2].
思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:
“∃x∈R,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是______________.
(2)已知命题“∃x0∈R,使2x
+(a-1)x0+
≤0”是假命题,则实数a的取值范围是______________.
答案
(1){a|a≤-2或a=1}
(2)(-1,3)
解析
(1)∵“p且q”为真命题,∴p、q均为真命题,
∴p:
a≤1,q:
a≤-2或a≥1,
∴a≤-2或a=1.
(2)依题意可知“∀x∈R,2x2+(a-1)x+
>
0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4×
2×
0,即(a+1)(a-3)<
0,解得-1<
a<
3.
1.常用逻辑用语及其应用
一、命题的真假判断
典例 已知命题p:
∃x∈R,x2+1<
2x;
若mx2-mx-1<
0恒成立,则-4<
0,那么下列说法判断正确的是________.
①“綈p”是假命题;
②q是假命题;
③“p或q”为假命题;
④“p且q”为真命题.
解析 由于x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即x2+1≥2x,所以p为假命题;
对于命题q,当m=0时,有-1<
0,恒成立,
所以命题q为假命题.
综上可知:
綈p为真命题,
p且q为假命题,p或q为假命题.
答案 ②③
温馨提醒 判断与一元二次不等式有关命题的真假,首先要分清是要求解一元二次不等式,还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解),然后再利用逻辑用语进行判断.
二、求参数的取值范围
“∀x∈[0,1],a≥ex”;
“∃x∈R,使得x2+4x+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析 若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;
由∃x∈R,使x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.
答案 [e,4]
温馨提醒 含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例
(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
(2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:
甲:
中国非第一名,也非第二名;
乙:
中国非第一名,而是第三名;
丙:
中国非第三名,而是第一名.
竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.
解析
(1)由题意可推断:
甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.
(2)由上可知:
甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.
答案
(1)A
(2)一
温馨提醒 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题.
[方法与技巧]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”时,要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是存在性命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题区别;
否定的规律是“改量词,否结论”.
[失误与防范]
1.p∨q为真命题,只需p、q有一个为真即可;
p∧q为真命题,必须p、q同时为真.
2.两种形式命题的否定
p或q的否定:
非p且非q;
p且q的否定:
非p或非q.
3.命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;
“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
A组 专项基础训练
(时间:
30分钟)
1.已知命题p:
所有有理数都是实数;
正数的对数都是负数,则下列命题①(綈p)∨q;
②p∧q;
③(綈p)∧(綈q);
④(綈p)∨(綈q)中,为真命题的是________.
答案 ④
解析 不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题.
2.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的____________条件.
答案 充分不必要
解析 由“綈p为真”可得p为假,故p∧q为假;
反之不成立.
3.已知命题p:
2是x2>
4的充要条件”,命题q:
“若
,则a>
b”,那么下列关于命题的真假判断正确的是________.
①“p或q”为真;
②“p且q”为真;
③p真q假;
④p,q均为假.
解析 由已知得命题p是假命题,命题q是真命题,因此①正确.
4.下列命题中的假命题是________.(填序号).
①∀x∈R,2x-1>
②∀x∈N*,(x-1)2>
③∃x0∈R,lgx0<
④∃x0∈R,tan
=5.
答案 ②
解析 ①中,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>
②中,∵x∈N*,∴当x=1时,(x-1)2=0与(x-1)2>
0矛盾;
③中,当x0=
时,lg
=-1<
④中,当x∈R时,tanx∈R,故∃x0∈R,tan
5.已知命题p:
若a>
1,则ax>
logax恒成立;
在等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*).则下面为真命题的是______(填序号).
①(綈p)∧(綈q);
②(綈p)∨(綈q);
③p∨(綈q);
解析 当a=1.1,x=2时,
ax=1.12=1.21,logax=log1.12>
log1.11.21=2,
此时,ax<
logax,故p为假命题.
命题q,由等差数列的性质,
当m+n=p+q时,an+am=ap+aq成立,
当公差d=0时,由am+an=ap+aq不能推出m+n=p+q成立,故q是真命题.
故綈p是真命题,綈q是假命题,
所以p∧q为假命题,p∨(綈q)为假命题,(綈p)∧(綈q)为假命题,(綈p)∨(綈q)为真命题.
6.命题p:
∀x∈R,sinx<
∃x∈R,cosx≤-1,则下面为真命题的是________.(填序号)
①p∧q;
②(綈p)∧q;
④(綈p)∧(綈q).
解析 p是假命题,q是真命题,所以②正确.
7.命题p:
∃x0>
0,x0+
=2,则綈p为__________________.
答案 ∀x>
0,x+
≠2
解析 “∃”的否定为“∀”,“=”的否定为“≠”.
8.已知命题p:
∃m∈R,m+1≤0,命题q:
0.若“p∧q”为假命题,则实数m的取值范围是______________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)
解析 若“p∧q”为假命题,则p,q中至少有一个是假命题,若命题p为真命题,则m≤-1,若q为真命题,则Δ=m2-4<
0,∴-2<
2,若命题p和命题q都是真命题,则-2<
m≤-1,∴若“p∧q”为假命题,则m≤-2或m>
-1.
9.已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>
0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围是__________.
答案 [9,+∞)
解析 由
≤2,得-2≤x≤10,
A={x|x>
10或x<
-2}.
由x2-2x+1-m2≤0(m>
0),
得1-m≤x≤1+m(m>
∴綈q:
B={x|x>
1+m或x<
1-m,m>
0}.
∵綈p是綈q的必要而不充分条件,
∴BA⇔
且等号不能同时取到,
解得m≥9.
10.若命题“∃x0∈R,x
+(a-1)x0+1<
0”是真命题,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
解析 因为命题“∃x0∈R,x
0”等价于x
+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>
0,即a2-2a-3>
0,解得a<
-1或a>
11.已知命题p:
x2+2x-3>
1,若“(綈q)∧p”为真,则x的取值范围是________.
答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
解析 因为“(綈q)∧p”为真,即q假p真,而q为真命题时,
0,得2<
3,所以q假时有x≥3或x≤2;
p为真命题时,由x2+2x-3>
0,解得x>
1或x<
-3,由
解得x<
-3或1<
x≤2或x≥3,
所以x的取值范围是x<
x≤2或x≥3.
12.下列结论:
①若命题p:
∃x∈R,tanx=1;
∀x∈R,x2-x+1>
0.则命题“p∧(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p∧(綈q)为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确,所以正确结论的序号为①③.
B组 专项能力提升
(时间:
15分钟)
13.若命题p:
∃x∈R,ax2+4x+a<
-2x2+1是假命题,则实数a的取值范围是________.
答案 a≥2
解析 若命题p:
-2x2+1是假命题,则綈p:
∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,即(2+a)x2+4x+a-1≥0恒成立,当a=-2时不成立,舍去,则有
,解得a≥2.
14.四个命题:
①∀x∈R,x2-3x+2>
0恒成立;
②∃x∈Q,x2=2;
③∃x∈R,x2+1=0;
④∀x∈R,4x2>
2x-1+3x2.其中真命题的个数为________.
答案 0
解析 ∵x2-3x+2>
0,Δ=(-3)2-4×
2>
∴当x>
2或x<
1时,x2-3x+2>
0才成立,
∴①为假命题.
当且仅当x=±
时,x2=2,∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题.
对∀x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题.
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,
∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
15.下列结论正确的是________.
①若p:
∃x∈R,x2+x+1<
0,则綈p:
∀x∈R,x2+x+1<
②若p∨q为真命题,则p∧q也为真命题;
③“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件;
④命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题为真命题.
解析 ∵x2+x+1<
0的否定是x2+x+1≥0,∴①错;
若p∨q为真命题,则p、q中至少有一个为真,∴②错;
f(x)为奇函数,但f(0)不一定有意义,∴③错;
命题“若x2-3x+2=0则x=1”的否命题为“若x2-3x-2≠0,则x≠1”,是真命题,④对.
16.已知命题p:
“∀x∈R,∃m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,1]
解析 若綈p是假命题,则p是真命题,
即关于x的方程4x-2·
2x+m=0有实数解,
由于m=-(4x-2·
2x)=-(2x-1)2+1≤1,∴m≤1.
17.设p:
方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;
方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,-2]∪[-1,3)
解析 设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由
得m<
-1,
所以命题p为真时,m<
由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<
0,得-2<
3,所以命题q为真时,-2<
由p∨q为真,p∧q为假,可知命题p,q一真一假,
当p真q假时,
此时m≤-2;
当p假q真时,
此时-1≤m<
3,
所以所求实数m的取值范围是m≤-2或-1≤m<
18.有下列命题:
①在函数y=cos
cos
的图象中,相邻两个对称中心的距离为π;
②函数y=
的图象关于点(-1,1)对称;
③已知命题p:
对任意的x∈R,都有sinx≤1,则綈p:
存在x0∈R,使得sinx0>
④在△ABC中,若3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则角C等于30°
或150°
.
其中的真命题是________.
解析 对于①,y=cos
cos2x,相邻两个对称中心的距离为
,①错;
对于②,函数y=
的图象关于点(1