松江区高考数学二模试卷含答案.doc

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2017年松江区高考数学二模试卷含答案

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．已知，则▲．

2．已知集合则▲．

3．若复数（是虚数单位），且为纯虚数,则实数=▲．

4．直线（为参数）对应的普通方程是▲．

5．若，且，则的值为▲．

6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是▲．

7．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是▲．

8．在约束条件下，目标函数的最大值为▲．

9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是▲．

俯视图

10．已知椭圆的左、右焦点分别为，记．若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为▲．

11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点在大圆上，与小圆相切于点，为小圆上的点，则的取值范围是▲．

12．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和▲．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．设分别是两条异面直线的方向向量，向量夹角的取值范围为，所成角的取值范围为，则“”是“”的

（A）充要条件

（B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

14．将函数图像上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图像上，则

（A），的最小值为 （B），的最小值为

（C），的最小值为 （D），的最小值为

15．某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：

建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则

（A）①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）

（B）①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）

（C）②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）

（D）④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）

16．设函数的定义域是，对于以下四个命题：

（1）若是奇函数，则也是奇函数；

（2）若是周期函数，则也是周期函数；

（3）若是单调递减函数，则也是单调递减函数；

（4）若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．

其中正确的命题共有

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．

（1）若，求的值；

（2）若，求直线与平面所成的角．

18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．

（1）若，求的值；

（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．

19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．

（1）若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？

（2）在

（1）的条件下，建直线通道还需要多少钱？

20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆

相切于点，且为线段中点．

（1）若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；

（2）若，求直线的方程；

（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．

21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

对于数列，定义，．

（1）若，是否存在，使得？

请说明理由；

（2）若，，求数列的通项公式；

（3）令，求证：

“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．

松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）

（参考答案）2017.4

一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分

1．2．3．4．5．6．

7．8．9．10．11．12．

二、选择题（每小题5分，共20分）

13．C14．A15.B16．B

三．解答题（共78分）

17．

（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则,，，……………………2分

，……………………4分

由得，即

解得．……………………6分

（2）解法一：

此时

……………8分

设平面的一个法向量为

由得

所以……………………10分

设直线与平面所成的角为

则……………12分

所以直线与平面所成的角为………………14分

解法二：

联结，则，

，平面…………………8分

平面

所以是直线与平面所成的角；……………………10分

在中，

所以……………………12分

所以

所以直线与平面所成的角为………………14分

18．

（1）由得……………………2分

所以（舍）或，……………………4分

所以……………………6分

（2）由得……………………8分

……………………10分

而，当且仅当时取等号…12分

所以，所以．………………………………14分

19．

（1）设长为米，长为米，依题意得，

即，………………………………2分

…………………………4分

=

当且仅当，即时等号成立，

所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米……6分

（2）在

（1）的条件下，因为．

由…………………………8分

得

…………………………10分

，…………………………12分

元

所以，建水上通道还需要万元．…………………………14分

解法二：

在中，

………8分

在中，

…………………………10分

在中，

=…………12分

元

所以，建水上通道还需要万元．…………………………14分

解法三：

以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，

即，设………8分

由，求得，所以…………10分

所以，……………………12分

元

所以，建水上通道还需要万元．…………………………14分

20．

（1）设的边长为，则的坐标为………2分

所以所以

此三角形的边长为．……………………………4分

（2）设直线

当时，符合题意……………………………6分

当时，…………………8分

，舍去

综上所述，直线的方程为：

……………………………10分

（3）时，共2条；……………………………12分

时，共4条；……………………………14分

时，共1条．……………………………16分

21．：

（1）由，可知数列为递增数列，……………………………2分

计算得，，

所以不存在，使得；………………………4分

（2）由，可以得到当时，

，……………………6分

又因为，

所以，进而得到，

两式相除得，

所以数列，均为公比为6的等比数列，……………………8分

由，得，

所以；……………………10分

（3）证明：

由题意，

当时，，

因此，对任意，都有．…………12分

必要性（）：

若为等差数列，不妨设，其中为常数，

显然，

由于=，

所以对于，为常数，

故为等差数列；…………14分

充分性（）：

由于的前4项为等差数列，不妨设公差为

当时，有成立。

…………15分

假设时为等差数列，

即…………16分

当时，由为等差数列，得，

即：

，

所以…………17分

，

因此，

综上所述：

数列为等差数列．…………18分

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