等边三角形性质与判定 解答卷Word文档下载推荐.docx

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（2）在

（1）中，若A、C、E不共线，其他条件不变，如图②，结论还成立吗？

为什么？

11．如图所示，△ABC中，∠ABC=90°

，AD为∠BAC的平分线，∠C=30°

，BE⊥AD于E点，求证：

AC﹣AB=2BE．

12．如图，点O为线段AD上的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC，BD交于点E，AC，BD分别与OB，OC相交于点H，G，连接BC．

△OGH为等边三角形；

（2）求∠AEB的度数．

13．等边三角形ABC中，AD是高，AD=3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连结OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．

14．如图所示，点D为等边△ABC的AC边上的一点，∠1=∠2，BD=CE．求证：

△DAE是等边三角形．

15．如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°

，∠ABD=90°

﹣

∠DBC．求证：

AC=AD．

16．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°

，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．

（1）当α=150°

时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（2）探究：

当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

17．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？

如存在，请求出此时M、N运动的时间．

18．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°

，其两边分别交边AB，AC于点E，F．

△ABD是等边三角形；

（2）求证：

BE=AF．

19．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF．

（1）证明：

（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求

的值．

20．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．

（1）判断△CDE的形状，并说明理由．

（2）若AO=12，求OE的长．

21．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点．延长BC至点F，使CF=CE．

（1）求∠ABC的度数；

BE=FE；

（3）若AB=2，求△CEF的面积．

22．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．

（1）

【特殊情况，探索结论】

如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AE　　DB（填“＞”、“＜”或“=”）．

（2）

【特例启发，解答题目】

如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　　DB（填“＞”、“＜”或“=”）；

理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．

（3）

【拓展结论，设计新题】

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．

23．如图点P是等边△ABC内一点，将△APC绕点C顺时针旋转60°

得到△BDC，连接PD．

（1）求证△DPC是等边三角形；

（2）当∠APC=150°

时，试判断△DPB的形状，并说明理由；

（3）当∠APB=100°

且△DPB是等腰三角形，求∠APC的度数．

24．在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F，EF交CD于点G

（1）如图1，求证：

BE=CG；

（2）如图2，点M在AC上，AM=AD，连接BM交CE于点N，过点G做GH⊥CE于点H，若△EGH的面积为l8，AD=3ED，求EN的长．

25．如图：

已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

DE=DF；

（2）若∠A=60°

，BE=1，求△ABC的周长．

26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°

，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，则△ADC≌△BOC，连接OD．

△COD是等边三角形；

（2）当α=120°

时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由；

（3）探究：

27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=30°

，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：

△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°

，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°

，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

28．如图，两个全等的等边三角形△ABC，△DEF的一边重叠地放在直线l上，AC，DE交于点P，

（1）判断△PCE的形状，并说明理由：

（2）写出图中所有的与线段PA相等的线段；

（3）证明：

AF=BD．

29．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°

，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，连结OD．

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

30．如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒时．解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是　　秒；

（2）在P、Q两点运动过程中，当t取何值时，△APQ也是等边三角形？

并请说明理由；

（3）当0＜t＜2时，∠APQ始终是直角，请画出示意图并说明理由．

31．如图，线段BE上有一点C，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE，连结AE、BD，分别交CD、CA于Q、P．

（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外），并说明你的理由．

（2）取AE的中点M、BD的中点N，连结MN，问△CMN是否是等边三角形？

若是请你说明理由；

若不是，请给出你的正确结论，不必证明．

32．已知：

在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．

（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°

，求证：

①AC=BD②∠APB=60°

．

（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为　　，∠APB的大小为　　（直接写出结果，不证明）

33．已知：

如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

AD=BE；

（2）求∠DOE的度数；

（3）求证：

△MNC是等边三角形．

34．为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．

如图，已知AB=AD，∠BAD=60°

，∠BCD=120°

，延长BC，使CE=CD，连接DE，求证：

BC+DC=AC．

思路点拨：

（1）由已知条件AB=AD，∠BAD=60°

，可知：

△ABD是　　三角形；

（2）同理由已知条件∠BCD=120°

得到∠DCE=　　，且CE=CD，可知　　；

（3）要证BC+DC=AC，可将问题转化为两条线段相等，即　　=　　；

（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：

35．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°

角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．

（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：

△ADE是等边三角形；

（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述

（1）的结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由．

36．如图：

在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

①△ADC≌△BEA；

②BP=2PQ．

37．如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．

AE=CD；

（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．

38．如图，已知△ABC与△ACD都是边长为2的等边三角形，如图有一个60°

角的三角板绕着点A旋转分别交BC、CD于点P、Q两点（不与端点重合）．

（1）试说明：

△PAQ是等边三角形；

（2）求四边形APCQ的面积；

（3）填空：

当BP=　　时，S△APQ最小．

39．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，

40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=1．将三角板中30°

角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°

角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．

（1）△BDF是什么三角形？

请说明理由；

（2）设AD=x，CF=y，试求y与x之间的函数关系式；

（不用写出自变量x的取值范围）

（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．

等边三角形性质与判定解答卷参考答案与试题解析

【解答】

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°

，

∵BD=CE，BE=CF，

∴BD=CE，BE=CF，

∴BD=CE=AF，AD=BE=CF，

在△BDE与△CEF中，

∴△BDE≌△CEF（SAS），

∴DE=EF，

同理可得△BDE≌△AFD，

∴DE=FD，

∴DE=FD=EF，

∴△DEF为等边三角形；

（2）解：

∵∠DEC=150°

，∠DEF=60°

∴∠FEC=90°

∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°

∵BD=CE=2，

∴CF=AD=BE=2BD=4，

∴AB=BC=AC=6，

∴等边△ABC的周长为：

6×

3=18．

【解答】证明：

（1）∵AD=CD，∠A=60°

∴△ADC为等边三角形（有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形）；

（2）∵△ADC为等边三角形，

∴∠ADC=60°

∵∠CDE=60°

∴∠BDE=180°

﹣60°

=60°

∴DE∥AC．

如图，延长CE至点F，使EF=CE，连接BF，

在△BEF和△AEC中

∴△BEF≌△AEC（SAS），

∴BF=AC，∠FBE=∠A，

又∵∠ACB=∠ABC，

∴AB=AC，

∴BF=AC=AB=BD，

∠DBC=∠A+∠ACB=∠FBE+∠ACB=∠FBE+∠ABC=∠FBC，CB=CB，

在△CBF和△CBD中，

∴△CBF≌△CBD（SAS），

∴CD=CF=2CE．

【解答】解：

（1）∵在等边三角形ABC中，EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°

∴∠A=60°

∴△AEF是等边三角形；

（2）CE与ED相等．

理由：

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=EF，

又∵AE=BD，

∴EF=DB，

∵∠AFE=∠ABC=60°

∴∠CFE=∠FBD=120°

∵AB=AC，AE=AF，

∴BE=FC，

在△CFE和△EBD中，

∴△CFE≌△EBD（SAS），

∴CE=ED．

延长BD到E，使BE=BA，连接AE，CE．

∵∠ABD=60°

∴△ABE为等边三角形．

∴AE=AB=AC=BE，∠ACE=∠AEC；

∠AEB=60°

；

又∵∠ACD=60°

，则∠AEB=∠ACD；

∴∠DEC=∠DCE，DC=DE．

∴BD+DC=BD+DE=BE=AB，

∴DC=AB﹣BD．

过D作DG∥AC交AB于G，

则∠DAC=∠ADG，∠BGD=∠BAC=60°

∴∠AGD=120°

∵∠B=60°

∴△GDB为等边三角形，

∴BG=BD，

∴∠ACF=120°

，AB=BC，

∴AG=DC，

∵CE平分∠ACE，

∴∠ACE=∠ECF=60°

∴∠DCE=120°

∴∠AGD=∠DCE，

∵∠AMD=∠EMC，

∵∠ADE=60°

=∠ACE，

∴∠DAC=∠DEC=∠ADG，

在△AGD和△DCE中，

∴△AGD≌△DCE（AAS），

∴AD=DE，

∴△ADE是等边三角形．

∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°

∴∠ADE=∠ACE=60°

∴点A、C、D、E四点共圆，

∴∠ACB=∠AED=60°

又∵∠ADE=60°

∴△ADE是等边三角形，

（2）△ADE是等边三角形，理由如下：

：

过P作BC的平行线，分别交AB，AC于点D，E

∴AD=DE=EA＞AP

∵DB+DP＞BP，CE+PE＞PC

二式相加BD+CE+DE＞BP+CP

∴BD+CE+AD＞BP+CP

又∵EA＞AP

∴BD+CE+AD+EA＞AP+BP+CP

即AP+BP+CP＜AB+AC=2a

∴x+y+z＜2a．

∴AB=BC，∠ACB=60°

∵CD⊥AB，

∴∠CDB=90°

，∠ACD=∠BCD=30°

在Rt△BCD和Rt△BAE中，

∴Rt△BCD≌Rt△BAE，

∴BD=BE，∠BCD=∠BAE=30°

∴∠ABE=60°

∴△EBD为等边三角形．

∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，

∴∠ACB=∠ECD=60°

∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，AM=BN；

∴AC=BC，∠CAD=∠CBE，

在△AMC和△BNC中，

∴△AMC≌△BNC（SAS），

∴CM=CN，∠ACM=∠BCN；

又∵∠NCM=∠BCN﹣∠BCM，

∠ACB=∠ACM﹣∠BCM，

∴∠NCM=∠ACB=60°

∴△CMN是等边三角形；

成立．

∴∠CDM=∠CEN，AD=BE，

在△CDM与△CEN中，

∴△CDM≌△CEN（SAS），

∴∠ECN=∠DCM，CM=CN，

∴∠ECN+∠DCN=∠DCM+∠DCN=∠MCN=60°

∴△CMN为等边三角形．

∵△ABC中，∠ABC=90°

，∠C=30°

∴∠BAC=60°

，AC=2AB，

∵AD为∠BAC的平分线，

∴

∵BE⊥AD，

∴∠AEB=90°

∴AB=2BE，

∴AC﹣AB=2AB﹣AB=AB=2BE．

即AC﹣AB=2BE．

∵△DCO和△ABO是等边三角形，

∴OC=OD，AB=OA，∠COD=∠OAB=60°

∵OA=OD，

∴AB∥OC，OC=AB，

∴四边形AOCB是平行四边形，

∴OH=BH，

同理：

OG=CG，

∴OH=OG，

∵∠COB=60°

∴△OGH为等边三角形；

∴OC=OD，OB=OA，∠OBA=∠OAB=60°

，∠COD=∠BOA=60°

∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB，

∴∠DOB=∠COA，

在△DOB和△COA中，

∴△DOB≌△COA（SAS），

∴∠DBO=∠CAO，

∵∠OBA=∠OAB=60°

∴∠AEB=180°

﹣（∠EBO+∠OBA+∠BAO）

=180°

﹣（∠CAO+∠OBA+∠BAO）

﹣（60°

+60°

）=60°

如图：

∵△ABC是等边三角形，AD是高，BH是∠ABC的角平分线，

∴AC=BC，∠AHO=∠EHO=∠BDO=∠FDO，CD=CH，

∴AO=BO．

在△AOH与△BOD中，

∴△AOH≌△BOD（AAS）．

∴OH=OD．

∵△OEF是等边三角形

∴OE=OF．

在Rt△OHE与Rt△ODF中，

∴△OHE≌△ODF（HL）．

∴DF=HE．

又∵CD=CH，

∴CE=CF．

又∵∠C=60°

∴△CEF是等边三角形．

∵三角形ABC为等边三角形

∴AB=AC

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴AE=AD，∠BAD=∠DAE=60°