中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用专题精练.docx

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中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用专题精练

2019年中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用专题精练

一、夯实基础

1．下列判断正确的是（）

A.不全等的三角形一定不是相似三角形

B.不相似的三角形一定不是全等三角形

C.相似三角形一定不是全等三角形

D.全等三角形不一定是相似三角形

2．△ABC中，∠ABC为直角，BD⊥AC，则下列结论正确的是（）

A.＝　　B.＝

C.＝　　D.＝

3．一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（）

A.44cmB.40cm

C.36cmD.24cm

4．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）

A.3∶4　　B.9∶16

C.9∶1　　D.3∶1

（第4题图）

（第5题图）

5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）

二、能力提升

6．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为____m.

（第6题图）

（第7题图）

7．如图，已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．

8．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连结CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD：

（只填一个即可）．

三、课外拓展

9．如图，在Rt△ABC中（∠C＝90°），放置边长分别为3，x，4的三个正方形，则x的值为（）

A.5　　B.6

C.7　　D.12

（第9题图）

（第10题图）

10．已知：

在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连结DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）

（第11题图）

11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为（）

A.2.5　B.1.6

C.1.5　D.1

12．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为_m.

（第12题图）

四、中考链接

13．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连结MF，NF.

（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论．

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

14．课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问：

加工成的正方形零件的边长是多少毫米？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t（s）．

（1）求线段CD的长．

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？

若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

参考答案

一、夯实基础

1、B

2、B

3、D

4、B

5、B

二、能力提升

6、9

7、

8、∠ACD＝∠ABC（答案不唯一）

三、课外拓展

9、C

10、D

11、B

12、2.3

四、中考链接

13、解：

（1）△BMN是等腰直角三角形．

证明：

∵AB＝AC，点M是BC的中点，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.

∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝（∠BAE＋∠ABE）＝45°.

∴△BMN是等腰直角三角形．

（2）△MFN∽△BDC.

证明：

∵点F，M分别是AB，BC的中点，

∴FM∥AC，FM＝AC.

∵AC＝BD，

∴FM＝BD，即＝.

∵△BMN是等腰直角三角形，

∴NM＝BM＝BC，即＝，

∴＝＝.

∵AM⊥BC，

∴∠NMF＋∠FMB＝90°.

∵FM∥AC，

∴∠ACB＝∠FMB.

∵∠CEB＝90°，

∴∠ACB＋∠CBD＝90°.

∴∠CBD＋∠FMB＝90°.

∴∠NMF＝∠CBD.

在△MFN与△BDC中，

∵

∴△MFN∽△BDC.

14、解：

（1）设矩形的边长PN＝2ymm，则PQ＝ymm，由PN∥BC可得△APN∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得y＝，∴PN＝×2＝（mm），

答：

这个矩形零件的两条边长分别为mm，

mm.

（2）设PN＝xmm，同

（1）可得△APN∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得PQ＝80－x.

∴矩形PQMN的面积S＝PN·PQ＝x＝－x2＋80x＝－（x－60）2＋2400，

∴S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80－×60＝40（mm）．

15、解：

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10.

∵CD⊥AB，

∴S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，

∴CD＝＝4.8，

∴线段CD的长为4.8.

（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如解图①所示，

由题可知DP＝t，CQ＝t，则CP＝4.8－t，

∵∠ACB＝∠CDB＝90°，

∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B.

∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°，

∴∠CHP＝∠ACB，

∴△CHP∽△BCA，

∴＝，即＝，得PH＝－t，

∴S△CPQ＝CQ·PH＝t（－t）＝－t2＋t.

②存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，

∵S△ABC＝×6×8＝24，

且S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，

∴（－t2＋t）∶24＝9∶100，

整理，得5t2－24t＋27＝0，即（5t－9）（t－3）＝0，

解得t＝或t＝3.

∵0≤t≤4.8，

∴当t＝s或t＝3s时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶100.

（3）①若CQ＝CP，

则t＝4.8－t，解得t＝2.4.

②若PQ＝PC，如解图①所示，

∵PQ＝PC，PH⊥QC，

∴QH＝CH＝QC＝.

∵△CHP∽△BCA，

∴＝，∴＝，

解得t＝.

③若QC＝QP，

过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如解图②所示．

∵QC＝QP，QE⊥CP，

∴CE＝PE＝PC＝.

∵∠QEC＝∠ACB＝90°，∠QCE＝∠ABC，

∴△QCE∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

解得t＝.

综上所述：

当t为2.4s或s或s时，△CPQ为等腰三角形．