高中数学人教A版必修第一册第四章《任意角》教案Word格式.docx

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（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？

你能举出具体例子吗？

（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？

预设的师生活动：

学生独立阅读教科书，再回答上述问题．

预设答案：

（1）本章将要学习的函数是三角函数；

（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；

（3）研究函数的一般思路是：

先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用．

设计意图：

明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向．

（二）新知探究

1．任意角的概念、运算

引导语：

我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．

图1

问题2：

如图1，

上的点

以

为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点

的位置变化呢？

学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra动画）．

通过角的变化进行刻画．

说明：

“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如Geogebra）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段

用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点

的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系．

通过具体问题引出本节课的研究主题——角（版书）．

问题3：

我们以前所学角都在0°

～360°

的范围内，生活中有超出0°

角的例子吗？

请你举例说明．

学生独立思考，并举手回答问题．

例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）；

如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360°

（如图）．

追问1：

这些角的不同，体现在哪几个方面？

两个方面，一是大小；

二是方向．

一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；

另一方面，学生在用语言描述这些超出0°

角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：

要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定义角．

追问2：

假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？

当时间校准以后，分针转了多少度？

从几个方向描述角？

逆时针旋转；

分针会旋转450°

（链接Geogebra动画）．假如校准前如图

（1），校准后应该为图

（2）．

通过这个具体的例子让学生理解：

要想说清楚一个角，包括两个方面，一是旋转方向；

二是旋转量．

追问3：

以上问题中对角的描述的共性是什么？

预设的答案：

都要说清楚角的大小及旋转方向．

问题4：

请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：

根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？

分别是什么？

这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？

学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负角、零角．这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的．

明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向．

练习1：

你能分别作出210°

、-150°

、750°

、-660°

吗？

学生作图，教师用Geogebra展示动画作图过程．

如图3

（1）

（2）（3）（4）．

熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从数到形的认识．

你知道什么是两角相等？

两角相加又是怎样规定的？

学生回答．

如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等；

规定：

把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．

定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题．

你知道什么是互为相反角？

两角怎样相减？

如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；

类比实数减法，我们有α－β=α+（－β）．

类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算．

练习2：

你能用作图的方式反映出30°

与-30°

；

30°

+120°

与150°

-120°

与-90°

的关系吗？

学生分别作图并说明．

如图5

（1）

（2）（3）．

追问：

对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？

对于一般的α－β，如果α＞β，则α－β＞0°

如果α=β，则α－β=0°

如果α＜β，则α－β＜0°

．从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°

，则顺时针旋转│β│；

若β＜0°

，则逆时针旋转│β│；

若β=0°

，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．

通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解，并能推广到一般情形，这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法．

2．象限角

问题5：

在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？

根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？

在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？

学生互相交流后，再回答．

为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；

根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；

在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．

让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准．在这个统一前提下，才能对象限角进行定义．另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便．这样讨论角的好处就是：

在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示．

练习3：

教材第171页第1、2、3题．

由学生逐题给出答案．

1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；

直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；

钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．

2．三，三，五．

3．

（1）第一象限角；

（2）第四象限角；

（3）第二象限角；

（4）第三象限角．

检验学生对象限角的理解情况．

3．终边相同的角

问题6：

在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°

角终边重合的角还有哪些？

有多少个？

它们与－32°

角有什么关系？

能不能用集合的形式将它们表达出来？

将－32°

推广到一般角

，结论应该是什么？

教师演示（链接Geogebra动画），学生观察并思考后，再举手回答．

还有－392°

、328°

、688°

等等；

有无数个；

相差360°

的整数倍；

{β｜β＝－32°

＋k·

360°

，k∈Z}；

{β｜β＝α＋k·

通过动画演示与回答问题，使学生明确：

（1）终边相同的角不一定相等；

（2）终边相同的角有无数个，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征；

（3）这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360°

的整数倍．

例1在0°

范围内，找出与－950°

12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．

先由学生独立计算，再回答．

与－950°

12′角终边相同的角都有什么共同点？

12′角终边相同的角可以写成{β｜β＝－950°

12′＋k·

，k∈Z}，当k=3时，β＝129°

48′，它是第二象限角．

熟悉终边相同的角的表示，并会在0°

范围内找出与已知角终边相同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．

例2写出终边在y轴上的角的集合．

学生先独立完成，再相互交流．

这些角终边在几条射线上？

终边落在每条射线上的角如何表示？

这两条射线上的角都相差多少度？

能不能用一个集合表示这所有的角？

两条；

y轴正、负半轴上的角的集合分别为{β｜β＝90°

，k∈Z}、{β｜β＝270°

相差180°

{β｜β＝90°

180°

，k∈Z}．

此题是终边在坐标轴上的角的表示．应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释：

“两个集合中的元素相差180°

的整数倍．”

让学生熟悉简化角的集合的表示方法．

例3写出终边在直线

上的角的集合

．

中适合不等式－360°

≤β＜720°

的元素β有哪些？

由学生独立完成后，让学生代表进行展示．

在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？

判断的根据是什么？

六个；

所求角的范围包含了三周；

S={β｜β＝45°

－315°

、－135°

、45°

、225°

、405°

、585°

此题主要是巩固终边相同的角的表示．为了使学生顺利完成相应的集合运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征．

（三）归纳小结

通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容？

其作用是什么？

其基本的研究方法是什么？

本节课关于角的概念出现了几个定义？

分别是怎样规定的？

你能从数与形两个角度进行描述吗？

能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？

学生自主总结，展示交流．

三角函数；

刻画周期现象；

与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用；

角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角，规定：

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=｛β|β=α+k·

，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．从形上看，终边相同的角就是“终边旋转整数周回到原来的位置”．

帮助学生梳理基本知识，提升数学抽象素养．

（四）布置作业

（1）分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合；

（2）预习5.1.2弧度制的内容；

（3）第175页习题5.1复习巩固1、2．

（五）目标检测设计

1．写出终边在

轴与坐标轴上的角的集合．

2．写出与下列各角度终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°

≤β＜360°

的元素β（教科书第171页练习第5题）：

（1）1303°

18′；

（2）－225°

检验学生对任意角、终边相同角和象限角的理解情况．

参考答案：

1．{β｜β＝k·

{β｜β＝k·

90°

终边在

轴上的角相差180°

的整数倍，而终边在坐标轴上的角相差90°

2．

（1）{β｜β＝1303°

18′＋k·

，k∈Z}，－496°

42′，－136°

42′，223°

（2）{β｜β＝－225°

，k∈Z}，－585°

，－225°

，135°