第22讲综合行程问题1习题导学案教案奥数实战演练习题.docx

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第22讲综合行程问题1习题导学案教案奥数实战演练习题

学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

六年级

课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

奥数

学科教师

授课主题

第22讲——行程问题

授课类型

T同步课堂

P实战演练

S归纳总结

教学目标

环形路线上的相遇和追及问题；

速度行程问题与比例关系；

钟面上的行程问题。

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

问题回顾

例1、一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小时。

求这条船在静水中的速度。

【解析】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：

顺水

逆水

时间

48千米

16千米

5小时

32千米

24千米

比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。

所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16×2=32（千米），这样船5小时一共顺水航行48+32=80（千米），船顺水速为80÷5=16千米，船逆水速为16÷2=8（千米）。

船静水速为（16+8）÷2=12（千米）。

例2、甲、乙二人分别从、两地同时出发，往返跑步。

甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。

如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求、两点间的距离为多少米？

【解析】（法一）画图分析知甲、乙速度比为：

，第四次相遇甲乙共走：

4×2－1＝7（个全程），甲走了：

3×7＝21（份）在点，第五次相遇甲乙共走：

5×2－1＝9（个全程），甲走了：

3×9＝27（份）在点,已知是150米，所以的长度是150÷6×（3+7）＝250（米）。

（法二）也有不画图又比较快的方法：

第四次相遇：

（2×4－1）×3÷20余数为1则在的位置，第五次相遇：

（2×5－1）×3÷20余数为7则在的位置，表示速度基数，  ，（米），即全程为250米。

考点一：

环型跑道行程问题

例1、如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。

甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。

如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？

【解析】当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有米长。

当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（米）需（分），

此时甲走了（条）边，

所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。

但是甲只要再走条边就可以看到乙了，即甲从出发走条边后可看到乙，共需（分），即分秒。

例2、甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形，其中米，米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（、边上视为静水），两人第一次相遇在边上的点，，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？

（5次）

【解析】设乙的速度为米/秒，则可列得方程：

解得：

。

所以甲的速度为米/秒。

甲游一圈需要秒，乙游一圈需要秒。

5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多秒。

多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈。

所以两人共相遇了5次。

例3、如图，在长为490米的环形跑道上，、两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从、两点出发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25％，乙把速度提高了20％．结果当甲跑到点时，乙恰好跑到了点．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米。

【解析】相遇后乙的速度提高20％，跑回点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为，所以所花时间的比为。

设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回点用了5单位时间。

设甲原来每单位时间的速度，由题意得：

解得：

。

从点到相遇点路程为，所以。

两人速度变化后，甲的速度为，乙的速度为，从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，

∴甲一共跑了490÷（50－40）×50＋240＝2690（米）。

注：

对于环形跑道问题，抓住相遇（或追及的）的路程和（或路程差）恰好都是一圈。

（这是指同地出发的情况，不同地，则注意两地距离在其中的影响）。

另外，本题涉及量化思想，即将比中的每一份看作一个单位，进一步来说，一个时间单位乘以一个速度单位，得到一个路程单位。

考点二：

钟面行程问题

例1、某小组在下午6点多开了一个会，刚开会时小张看了一下手表，发现那时手表的分针和时针垂直。

下午7点之前会就结束了，散会时小张又看了一下手表，发现分针与时针仍然垂直，那么这个小组会共开了分钟。

【解析】分针每分钟转圈，时针每分钟转圈。

分针要比时针多转圈，需要（分）。

例2、某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。

工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工资6元。

如果一个工人照此钟工作小时，那么他实际上应得工资多少元？

【解析】时钟的一圈有60小格，分针每分钟走1格，时针每分钟走格。

时针和分针从一次重合到下一次重合，分针应比时针多走一圈，因此需要时间（分钟）。

于是依题设可知，计时钟的分钟相当于标准时间的69分钟。

从而用此钟计时的8小时，实际上应该是（小时），

那么工人实际上应得的工资为元。

例3、一个挂钟每天慢30秒。

一个人在3月23日12时校正了挂钟，到4月2日14时至15时之间，挂钟的时针与分针重合在一起时，标准时间应该是4月2日______时______分______秒（精确到秒）。

【解析】从3月23日12时到4月2日12时共10天，挂钟慢了30×10÷60=5（分）此时挂钟显示11时55分。

因为时针与分针两次重合时间为（分）；

所以从标准时间4月2日12时到所求时刻，挂钟走的时间为（分）；

相当于标准时间（分）≈2时15分57秒

所求时刻为14时15分57秒。

P（Practice-Oriented）——实战演练

Ø课堂狙击

1、王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？

【解析】设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x分钟

（米）。

2、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。

两人的上山速度都是米/分，下山的速度都是米/分。

甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息分钟后返回，两人在距山顶米处再次相遇。

山道长米。

【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要分钟到达山脚，也就是距离山脚还有（米），所以山顶到山脚的距离为（米）。

3、小明在1点多钟时开始做奥数题，当他做完题时，发现还没到2：

30，但此时的时针和分针与开始做题时正好交换了位置，你知道小明做题用了多长时间，做完题时是几点吗？

【解析】在不到1.5小时的时间内，时针与分针正好交换了一下位置，说明两针在此时间内共转了一圈，则经分钟。

两针在此时间内共转了一圈，所以时针实际转了圈，所以开始做作业时分针在时针前圈，做完作业时时针在分针前圈，2点的时候，时针在分针前圈，所以还要经过小时，即分，小明所以做完作业时是2点分。

4、有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道（如下图）。

机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒厘米的速度在短跑道上跑动。

如果甲、乙两个机器人同时从点出发，那么当两个机器人在跑道上第迎面相遇时，机器人甲距离出发点点多少厘米?

【解析】第一次在点相遇，甲、乙共跑了400厘米（见左下图）。

第二次在点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米（见右上图）。

同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。

共用时间（400+700+700）÷（6+4）=180（秒），

甲跑了6×180=1080（厘米），距点400×3—1080=120（厘米）。

5、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？

【解析】先让学生用分析间隔的方式来解答：

骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出．骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是（分钟）．

再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：

第一步：

在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示5分钟．

第二步：

因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与P点（注意：

这两点在水平方向上正好有3个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．

第三步：

从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P点引出的粗线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出的平行线．

从图中可以看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了（分钟）．

对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！

Ø课后反击

1、小张和小王早晨点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时千米．小王步行，速度为每小时千米．如果小张到达乙地后停留小时立即沿原路返回，恰好在点整遇到正在前往乙地的小王．那么甲、乙两地之间的距离是千米．

【解析】因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车个小时，小王步行个小时，他们一共所走的路程是：

（千米），所以甲、乙两地之间的距离是：

（千米）．

2、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口．甲在路口南边560米的点，乙在路口．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距的距离恰又相等．问：

甲、乙二人的速度各是多少？

【解析】本题总共有两次距离相等，第一次：

甲到的距离正好就是乙从出发走的路程．那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：

（米/分）。

第二次：

两人距的距离又相等，只能是甲、乙走过了点，且在点以北走的路程乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了（分钟），两人的速度差：

（米/分），甲速乙速，显然甲速要比乙速要快；甲速乙速，解这个和差问题，甲速（米/分），乙速（米/分）．

3、如图，、两地位于圆形公路一条直径的两个端点。

一天上午8点甲从出发，沿顺时针方向步行，同时乙从出发，骑自行车沿逆时针方向行进。

8点40分时乙将自行车放在路边，自己改为步行。

当甲走到自行车停放地点时，就骑上自行车继续前进。

结果在点的时候两人同时到达地。

已知两人步行速度相同，都是每小时5千米，而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的3.5倍，求乙骑车的速度。

【解析】根据题意，可知乙骑了小时，步行了小时。

由于甲乙步行速度相同，所以甲应步行小时后骑上自行车，骑了小时后到达地。

因为甲的路程是乙的路程的2倍，所以乙骑小时，步行小时等于甲骑小时，步行小时。

而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的3.5倍，所以甲骑小时相当于乙骑小时。

5×（-）÷（-）=（千米/小时），所以乙骑车的速度是千米/小时。

4、一个圆周长厘米，个点把这个圆周分成三等分，只爬虫，，分别在这个点上。

它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是厘米/秒、厘米/秒、厘米/秒，只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？

【解析】先来详细讨论一下：

⑴先考虑与这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。

开始时,他们相差厘米,每秒钟能追上的路程为5-3=2（厘米）；（秒）

因此，秒后与到达同一位置.以后再要到达同一位置，要追上一圈，也就是追上厘米,需要（秒）。

与到达同一位置,出发后的秒数是，，，，，

⑵再看看与什么时候到达同一位置。

第一次是出发后（秒），以后再要到达同一位置是追上一圈,需要（秒）。

与到达同一位置,出发后的秒数是，，，，，……

对照两行列出的秒数，就知道出发后秒3只爬虫到达同一位置。

5、如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为．他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

【解析】长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上。

所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况。

将长方形的宽等分，长等分后，将长方形的周长分割成段，设甲走段所用的时间为个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走段、段，由于、、两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有个人走了整数段。

所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况。

对于甲的运动进行讨论：

时间（单位时间）

……

地点

对于乙的运动进行讨论：

时间（单位时间）

……

地点

对于丙的运动进行讨论：

时间（单位时间）

……

地点

需要检验的时间点有、、、、……

个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件。

个单位时间的时候甲在上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于分钟。

个单位时间的时候甲、乙、丙分别在、、的位置第二次构成最大三角形。

所以再过分钟。

三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形。

6、如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?

【解析】根据题意可知，甲、乙只可能在右侧的半跑道上相遇．

易知小跑道上左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上的左、右两侧的路程均是200米．

我们将甲、乙的行程状况分析清楚．

当甲第一次到达点时,乙还没有到达点,所以第一次相遇一定在逆时针的某处．

而当乙第一次到达点时，所需时间为秒,此时甲跑了米,在离点米处．

乙跑出小跑道到达点需要秒,则甲又跑了米,在点左边米处．

所以当甲再次到达处时,乙还未到处,那么甲必定能在点右边某处与乙第二次相遇．

从乙再次到达处开始计算,还需秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了秒．

所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米．

1、（奥数网杯）电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发，相向而行。

已知比的速度快，根据推算，第次相遇点与第次相遇点相距58厘米，这条轨道长_厘米。

【解析】、两车速度比为；第次相遇点的位置在：

；

第次相遇点的位置在：

所以这条轨道长（厘米）。

2、（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同时从点出发，甲沿长方形逆时针爬行，乙沿逆时针爬行．若，，，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少?

【解析】很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端，那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况：

情况一；甲在点，乙在点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条长边，设乙走了圈，甲已走了圈.则可以列出不定方程：

。

化简为，由于等式右边是24的倍数，所以x至少应该取12，此时，两只蜗牛共走了816。

情况二：

甲在点，乙在点，这种情况下乙走了若干圈又20，甲走了若干圈又10，设两只蜗牛分别行走了圈和圈，则可以列出不定方程：

化简为，是方程的最小解，此时，两只蜗牛一共行走了788.

显然情况二最先发生，所以当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为788。

事实上两只蜗牛在走过情况二之后各走了14，就变成了情况一的情形，如果在讨论两种情况之前就想到这一点，就可以少讨论一种情况了。

3、（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人．小李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人．小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙地，速度是小李的1.25倍．当他追上骑车人后，速度提高了20％．结果小王、小李、小张三人一同于9点整到达乙地．小王、小李、骑车人的速度始终不变．骑车人从甲地出发时是几点几分，小张从甲地出发时是8点几分几秒？

【解析】不妨设从甲地到乙地的距离为单位“1”，小王从甲地到乙地一共用了1小时，所以小王的速度为1，小李从甲地到乙地一共用了45分钟（即小时），所以小李的速度为，小王追上骑车人时，走了总路程的，而小李追上骑车人时，走了总路程的，可见骑车人在两次被追上之间走了总路程的，所以骑车人的速度为，因为骑车人8点15被小王追上时已经走了总路程的四分之一，所以骑车人的出发时间是小时以前，即7点30分。

4、（第九届中环杯）如图，、是一条道路的两端点，亮亮在点，明明在点，两人同时出发，相向而行．他们在离点米的点第一次相遇．亮亮到达点后返回点，明明到达点后返回点，两人在离点米的点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求、间的距离．要求写出关键的推理过程．

【解析】第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了米，从开始到第二次相遇，两人共走了三个全程，则亮亮走了（米）．亮亮共走的路程为一个全程多米，所以道路长（米）．

S（Summary-Embedded）——归纳总结

几个基本量之间的运算关系

1、基本关系：

路程＝速度*时间；

2、相遇问题（相向而行）：

相遇时两种运动物体的行程和等于总路程（相遇时间相等）；

关系式：

甲走的路程+乙走的路程=总路程；     

3、追击问题：

同时不同地：

前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：

前者所用时间-多用时间=追这所用时间；

追及路程÷速度差=追及时间

追及路程÷追及时间=速度差

速度差×追及时间=追及路程

追及路程÷速度差=追及时间

追及路程÷追及时间=速度差

速度差×追及时间=追及路程

4、环形跑道

同向追及：

前者走的路程-后者走的路程=环形周长；

反向相遇：

甲走的路程+乙走的路程=环形周长。

解题方法:

1，审题：

看题目有几个人或物参与；

看题目时间：

“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时看地点是指是同地还是两地甚至更多。

看方向是同向、背向还是相向

看事件指的是结果是相遇还是追及相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。

追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。

比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差。

这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差。

2，简单题利用公式

3，复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。

相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差

Ø本节课我学到

Ø我需要努力的地方是