本定理及坐标.docx
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本定理及坐标
平面向量的基本定理及坐标表示(A)(重点)
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长(分钟)
60
知识点
1.平面向量基本定理2.平面向量坐标运算
3.平面向量共线的坐标表示
教学目标
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算,以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件.
教学重点
平面向量基本定理,向量的坐标表示
教学难点
平面向量基本定理的理解与应用,能用坐标表示坐标平面上的向量。
教学过程
一.课程导入:
在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.
从上面我们可以看出我们要学这节课的一个大致的方向,便于我们记忆
二、复习预习
本讲复习时,应理解基本定理,重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算.
三、知识讲解
考点1、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.
如果作为基底的两个基向量互相垂直,则称其为正交基底,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
考点2、平面向量的直角坐标运算
(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1),|
|=
.
(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).a∥bx1y2-x2y1=0.
四、例题精析
考点一向量的坐标运算
【例题1】
【题干】在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若
=(2,4),
=(1,3),则
=________.
【答案】(-3,-5)
【解析】由题意,得
=
-
=
-
=(
-
)-
=
-2
=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).
考点二向量共线的条件
【例题2】
【题干】已知向量a=(6,2),b=(-3,k),若a∥b,求实数k的值.
【答案】见解析
【解析】(解法1)∵a∥b,
∴存在实数λ,使b=λa,
∴(-3,k)=(6λ,2λ),∴
∴k=-1.
(解法2)∵a∥b,∴
=
,∴k=-1.
考点三平面向量基本定理
【例题3】
【题干】
如图所示,在△ABC中,H为BC上异于B、C的任一点,M为AH的中点,若
=λ
+μ
,则λ+μ=________.
【答案】
【解析】由B、H、C三点共线,可令
=x
+(1-x)
,又M是AH的中点,所以
=
=
x
+
(1-x)
.
又
=λ
+μ
,所以λ+μ=
x+
(1-x)=
.
课后评价