计数问题讲义Word下载.docx

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“一对一”个性化辅导学案

授课教师

授课对象

授课时间

2011.4.15

授课题目

计数问题

课型

新课

使用教具

讲义、笔、纸

教学

目标

1.掌握加法原理和乘法原理

2.熟练运用加法原理和乘法原理解题

3.掌握其他一些计数问题的解决方法

教学重难点

在运用中加法原理与乘法原理的区别

参考教材

教学内容

知识纵横

计数问题是数学竞赛中常见的问题。

最基本的计数办法是把所有要计数的东西一一列举出来，如数篮子里的鸡蛋一样，计数时只须不重复，也不遗漏就可以了，但是有些问题是不易一一列举的。

例如：

1.某城市电话号码从7位升至8位，可以增加多少个电话号码？

2.法国的邮政编码用5位数字，中国的邮政编码用6位数字，两国的邮政编码各有多少个？

显然这里靠一一列举是难以数清的，下面我们介绍两种常用的计算办法。

1.加法原理

问题1从甲地到乙地，有火车、汽车、轮船三种交通工具，一天中，有火车5班，汽车4班，轮船3班，问一天中从甲地到乙地乘坐这些交通工具，共有几种不同的走法？

解：

因为每一种走法都可以从甲地到乙地，我们只要把从甲地到乙地的乘火车、汽车、轮船的每一类中的走法相加，共有

（种）不同走法。

一般地，有下面

加法原理做一件事情，完成它可以有几类办法，第一类办法中有

种不同的方法，第二类办法中有

种不同的方法，

，第n类办法中有

种不同的方法，那么完成这件事情共有

种不同的方法。

2.乘法原理

问题2由A村去B村有2条路可走，由B村去C村有4条路可走，问从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

解：

从A村到C村必须经过B村，即必须分2步：

先从A村到B村，再从B村到C村，才能满足要求。

所以把每一步走法相乘，共有

（种）不同的走法。

乘法原理做一件事情，完成它要分n步，做第一步有

种不同的方法，做第二步有

，做第n步有

种不同方法，那么完成这件事情共有

例题讲解

例1在所有四位数中，数字和是34的数有多少个？

分析由于四位数的数字和不超过

，而34比36小2，所以四位数中至少有二个9，这样可以把符合条件的数枚举出来。

举一反三三个圆A、B、C在同一条直线上，如图所示，一只青蛙在这三个圆之间跳来跳去，它先从A开始，跳了4次以后又回到了A，问：

它有多少种不同的跳法。

例2自然数的平方按大小排成：

4916253649

问：

第612个位置的数字是几？

分析把平方数分成一位数、二位数、三位数、四位数等，分别计算他们所占的位置数。

举一反三印刷某一本书的页码时，所用页码的个数是975个（如23也用2个数码，第100页用3个数码），那么这本书应有的页数是多少？

例3分子小于6而分母小于60的不可约真分数有多少个？

分析：

“不可约真分数”的意义是：

分子小于分母且分子与分母互质，由于分子的取值范围是从1到5，因此可以分别对分子是1、2、3、4、5的情形逐一考虑，然后利用加法原理求出总个数。

例4在一次比赛中，每个代表队要从小学、初一、初二年级各两名选手中选派3人。

规定小学生至少出1人，初二学生至多派一名。

问一个比赛队按年级的组成方式有多少种？

举一反三用0、1、2、3、4、5六个数字可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数。

例5在1、2、3、

、100这100个数中取出不同的两数，要使取出的两数相加的结果是3的倍数，有多少种不同的取法？

两数的和是3的倍数，则这两个数除以3的余数或者都是0，或者一个是1、另一个是2.

例6将

化成小数等于0.5，是有限小数；

化成小数等于0.0909

，是纯循环小数，简记为

；

化成小数等于0.1666

，是混循环小数，简记为

。

现在将2004个分数

化成小数，其中纯循环小数有多少个？

分析若

是纯循环小数，则p中没有2也没有5作为因子。

例7有6个同学要站成一排，其中甲乙两人必须相邻，共有多少种站法？

分析把甲、乙两人捆在一起，当作一个人站队，再考虑甲、乙互换站位，可以利用乘法原理。

例8小于10且分母为36的最简分数共有多少个？

分析设满足题设条件的数为x，则

，其中

R取小于36且与36互质的自然数1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，共12个。

例9两条直线相交可得一个交点，在同一平面上6条直线最多可得多少个交点？

分析两条直线最多一个交点，三条直线可以看成两条直线的基础上又增加一条直线，要使交点最多，必须使第三条与前两条直线都相交，且不能有三线共点的情况出现，可用递推法求解。

举一反三一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为四部分，问：

五条直线最多分一张平面为多少部分？

课后作业

设计

1.把37分拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？

2.1995的数字和是1+9+9+5=24.问：

小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个？

3.如图所示，有6个点9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着几条线段爬到F点。

行进中，同一点或同一线段只能经过一次，这只甲虫最多有多少种不同的走法？

4.从1到10000之间有多少个整数，它们的各位数字之和都等于5？

5.在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？

6.有三个工厂共订300份报纸，每个工厂订了至少99份，至多101份。

一共有多少种不同的订法？

7.给一本书编页码，一共用了723个数字，这本书一共有多少页？

8.五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况有多少种？