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1、“一对一”个性化辅导学案授课教师授课对象授课时间2011.4.15授课题目 计数问题 课 型新课使用教具讲义、笔、纸教学目标 1.掌握加法原理和乘法原理2.熟练运用加法原理和乘法原理解题3.掌握其他一些计数问题的解决方法 教学重难点 在运用中加法原理与乘法原理的区别参考教材 教学内容知识纵横 计数问题是数学竞赛中常见的问题。最基本的计数办法是把所有要计数的东西一一列举出来，如数篮子里的鸡蛋一样，计数时只须不重复，也不遗漏就可以了，但是有些问题是不易一一列举的。例如： 1.某城市电话号码从7位升至8位，可以增加多少个电话号码？ 2.法国的邮政编码用5位数字，中国的邮政编码用6位数字，两国的邮政编

2、码各有多少个？ 显然这里靠一一列举是难以数清的，下面我们介绍两种常用的计算办法。1.加法原理 问题1 从甲地到乙地，有火车、汽车、轮船三种交通工具，一天中，有火车5班，汽车4班，轮船3班，问一天中从甲地到乙地乘坐这些交通工具，共有几种不同的走法？解：因为每一种走法都可以从甲地到乙地，我们只要把从甲地到乙地的乘火车、汽车、轮船的每一类中的走法相加，共有（种）不同走法。一般地，有下面加法原理 做一件事情，完成它可以有几类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法。2.乘法原理 问题2 由A村去B村有2条路可走，由B村去

3、C村有4条路可走，问从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 解： 从A村到C村必须经过B村，即必须分2步：先从A村到B村，再从B村到C村，才能满足要求。所以把每一步走法相乘，共有（种）不同的走法。乘法原理 做一件事情，完成它要分n步，做第一步有种不同的方法，做第二步有，做第n步有种不同方法，那么完成这件事情共有例题讲解例1 在所有四位数中，数字和是34的数有多少个？分析 由于四位数的数字和不超过，而34比36小2，所以四位数中至少有二个9，这样可以把符合条件的数枚举出来。举一反三 三个圆A、B、C在同一条直线上，如图所示，一只青蛙在这三个圆之间跳来跳去，它先从A开始，跳了4次以后又回到了A

4、，问：它有多少种不同的跳法。例2 自然数的平方按大小排成： 4 9 16 25 36 49 问：第612个位置的数字是几？分析 把平方数分成一位数、二位数、三位数、四位数等，分别计算他们所占的位置数。举一反三 印刷某一本书的页码时，所用页码的个数是975个（如23也用2个数码，第100页用3个数码），那么这本书应有的页数是多少？例3 分子小于6而分母小于60的不可约真分数有多少个？分析： “不可约真分数”的意义是：分子小于分母且分子与分母互质，由于分子的取值范围是从1到5，因此可以分别对分子是1、2、3、4、5的情形逐一考虑，然后利用加法原理求出总个数。例4 在一次比赛中，每个代表队要从小学、

5、初一、初二年级各两名选手中选派3人。规定小学生至少出1人，初二学生至多派一名。问一个比赛队按年级的组成方式有多少种？举一反三 用0、1、2、3、4、5六个数字可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数。例5 在1、2、3、100这100个数中取出不同的两数，要使取出的两数相加的结果是3的倍数，有多少种不同的取法？ 两数的和是3的倍数，则这两个数除以3的余数或者都是0，或者一个是1、另一个是2.例6 将化成小数等于0.5，是有限小数；化成小数等于0.0909，是纯循环小数，简记为；化成小数等于0.1666，是混循环小数，简记为。现在将2004个分数化成小数，其中纯循环小数有多少个？分析 若是

6、纯循环小数，则p中没有2也没有5作为因子。例7 有6个同学要站成一排，其中甲乙两人必须相邻，共有多少种站法？分析 把甲、乙两人捆在一起，当作一个人站队，再考虑甲、乙互换站位，可以利用乘法原理。例8 小于10且分母为36的最简分数共有多少个？分析 设满足题设条件的数为x，则，其中R取小于36且与36互质的自然数1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，共12个。例9 两条直线相交可得一个交点，在同一平面上6条直线最多可得多少个交点？分析 两条直线最多一个交点，三条直线可以看成两条直线的基础上又增加一条直线，要使交点最多，必须使第三条与前两条直线都相交，且不能有三线共点的情

7、况出现，可用递推法求解。举一反三 一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为四部分，问：五条直线最多分一张平面为多少部分？课后作业设计1.把37分拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？2.1995的数字和是1+9+9+5=24.问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个？3.如图所示，有6个点9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着几条线段爬到F点。行进中，同一点或同一线段只能经过一次，这只甲虫最多有多少种不同的走法？4.从1到10000之间有多少个整数，它们的各位数字之和都等于5？5.在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？6.有三个工厂共订300份报纸，每个工厂订了至少99份，至多101份。一共有多少种不同的订法？7.给一本书编页码，一共用了723个数字，这本书一共有多少页？8.五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况有多少种？