27 二次函数与幂函数学案高考一轮复习Word格式文档下载.docx
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2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x
，y＝x－1的图象分别如下图．
3．幂函数的性质
4.二次函数的图象和性质
解析式
f（x）＝ax2＋bx＋c
（a>
0）
（a<
图象
定义域
（－∞，＋∞）
值域
______________
单调性
在x∈（－∞，－
]上单调递减
在x∈[－
，＋∞）上单调递增
]上单调递增
，＋∞）上单调递减
奇偶性
当________时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数
顶点
（－
，
）
对称性
图象关于直线__________成轴对称图形
5.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：
f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（2）顶点式：
f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）
（3）两根式：
f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）
五．复习前测：
1．下列函数中：
①y＝
；
②y＝3x－2；
③y＝x4＋x2；
④y＝
是幂函数的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
2．函数y＝x
的图象是（ ）
3．函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（－5，－3）上（ ）
A．先减后增B．先增后减
C．单调递减D．单调递增
4．已知函数f（x）＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于__________．
5．（2013·
武汉模拟）若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝__________.
要点点拨：
1．幂函数的图象和性质
（1）在（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
（2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；
幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；
如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2．二次函数的解析式的求法
求二次函数的解析式常用待定系数法．其解题关键是根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把具有某种确定形式的数学问题通过引入一些待定的系数，转化为方程来解决．
3．二次函数的区间最值问题的解法
二次函数的区间最值问题，一般有三种情况：
（1）对称轴、区间都是给定的；
（2）对称轴动，区间固定；
（3）对称轴定，区间变动．
解决这类问题的思路是：
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．对于
（2）、（3）两类，通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进行讨论．
六．复习过程：
题型一：
幂函数的图象与性质
[例1]
（1）幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象如图所示，则m的值为（ ）
A．－1<
m<
3 B．0C．1D．2
[规律总结] 幂函数y＝xα的图象和性质由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
（1）α的正负：
α>
0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升；
α<
0时，图象不过原点，在第一象限图象下降，反之也成立．
（2）曲线在第一象限的凹凸性：
1时，曲线下凸；
0<
1时，曲线上凸；
0时，曲线下凸．
变式训练1
（1）幂函数y＝（m2－2m－2）·
xm－2，当x∈（0，＋∞）时为减函数，则实数m的值为（ ）
A．m＝3B．m＝－1
C．m＝－1或m＝3D．m≠
题型二：
求二次函数的解析式
[例2] 已知函数f（x）＝x2＋mx＋n的图象过点（1,3），且f（－1＋x）＝f（－1－x）对任意实数都成立，函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．求f（x）与g（x）的解析式．
[规律总结] 在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式
（1）已知三个点的坐标，应选择一般形式；
（2）已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；
（3）已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择两根式．
变式训练2
已知二次函数f（x）满足f
（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数．
题型三：
二次函数的图象与性质
[例3] （2013·
盐城模拟）已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4,6]上是单调函数；
（3）当a＝－1时，求f（|x|）的单调区间．
[思路点拨] 解答
（1）和
（2）可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于（3），应先将函数化为分段函数，再求单调区间．
[规律总结]
（1）影响二次函数f（x）在区间[m，n]上最值的要素有三个，即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；
常用数形结合思想求解，但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论．
（2）二次函数单调性的确定与应用，常与二次函数的图象数形结合求解．
变式训练3
已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B．[0,2]
C．[1,2]D．（－∞，2]
创新探究——数形结合思想在二次函数中的应用
[例题] （2012·
福建）对于实数a和b，定义运算“*”：
a*b＝
设f（x）＝（2x－1）*（x－1），且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是__________．
链接高考：
1．（2012·
湖北）方程x2＋6x＋13＝0的一个根是（ ）
A．－3＋2iB．3＋2i
C．－2＋3iD．2＋3i
2．（2012·
山东）设函数f（x）＝
，g（x）＝ax2＋bx（a，b∈R，a≠0），若y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（ ）
A．当a<
0时，x1＋x2<
0，y1＋y2>
B．当a<
0时，x1＋x2>
0，y1＋y2<
C．当a>
D．当a>
3．（2012·
江苏）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）<
c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为__________．
七．反馈练习：
1．设α∈{－1,1，
，3}，则使y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α的值为（ ）
A．1,3B．－1,1
C．－1,3D．－1,1,3
2．（2013·
湛江质检）已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如下表：
x
1
f（x）
则不等式f（|x|）≤2的解集是（ ）
A．[－4,4]B．[0,4]
C．[－
]D．（0，
]
3．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间（2,3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2或a≥3B．2≤a≤3
C．a≤－3或a≥－2D．－3≤a≤－2
4．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的取值范围是（ ）
A．a<
0，b<
0，c<
0B．a<
0，b>
0，c>
C．a<
0D．a<
5．已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋4（0<
a<
3），其图象上两点的横坐标x1，x2满足x1<
x2，且x1＋x2＝1－a，则有（ ）
A．f（x1）>
f（x2）
B．f（x1）＝f（x2）
C．f（x1）<
D．f（x1），f（x2）的大小不确定
6．（2013·
常州模拟）设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝
则f（x）的值域是（ ）
A．[－
，0）∪（1，＋∞）B．[0，＋∞）
，＋∞）D．[－
，0]∪（2，＋∞）
7．二次函数的图象过点（0,1），对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是__________．
8．设二次函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为__________．
9．（2012·
北京）已知f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3），g（x）＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）<
0或g（x）<
0；
②∃x∈（－∞，－4），f（x）g（x）<
0.
则m的取值范围是__________．
10．已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
11．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>
0，b∈R，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（－1）＝0，且c＝1，F（x）＝
求F
（2）＋F（－2）的值；
（2）若a＝1，c＝0，且|f（x）|≤1在区间（0,1]恒成立，试求b的取值范围．
12．（2013·
广东联考）已知二次函数f（x）＝x2＋（2a－1）x＋1－2a.
（1）判断命题：
“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
（2）若y＝f（x）在区间（－1,0）及（0，
）内各有一个零点．求实数a的取值范围．
八．思维总结：
九．自我评价：
1．你对本章的复习的自我评价如何？
A．很好B．一般C．不太好
2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？
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