学年新设计高中数学人教A版必修三讲义第二章 章末复习课Word版含答案.docx
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学年新设计高中数学人教A版必修三讲义第二章章末复习课Word版含答案
章末复习课
网络构建
核心归纳
1.关于抽样方法
（1）用随机数法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数.
（2）两种抽样方法的异同点
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随
机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
分层
抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
各层抽样时采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
2.关于用样本估计总体
（1）用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤.
（2）茎叶图刻画数据有两个优点：
一是所有信息都可以从图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便于记录和表示.
（3）平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据的波动程度.
3.变量间的相关关系
（1）除了函数关系这种确定性的关系外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系，对于一元线性相关关系，通过建立回归方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解，主要是作出散点图，写出回归方程.
（2）求回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出，，，iyi；
②计算回归系数，.公式为
③写出回归方程＝x＋.
要点一 抽样方法的应用
1.抽样方法有：
简单随机抽样、分层抽样.
2.两种抽样方法比较
【例1】 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A.12,24,15,9 B.9,12,12,7
C.8,15,12,5 D.8,16,10,6
解析 因为＝，故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6.
答案 D
【训练1】 问题：
①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会.方法：
（1）简单随机抽样；
（2）分层抽样.则问题与方法配对正确的是（ ）
A.①
（1），②
（2） B.①
（2），②
（1）
C.①
（1），②
（1） D.①
（2），②
（2）
解析 问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样.故匹配正确的是B.
答案 B
要点二 用样本的频率分布估计总体分布
与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略
（1）已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据.
（2）已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解.
【例2】 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料（单位：
cm）：
区间界限
[122，126）
[126，130）
[130，134）
[134，138）
[138，142）
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142，146）
[146，150）
[150，154）
[154，158]
人数
20
11
6
5
（1）列出样本的频率分布表（频率保留两位小数）.
（2）画出频率分布直方图.
（3）估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比.
解
（1）列出样本频率分布表：
分组
频数
频率
[122,126）
5
0.04
[126,130）
8
0.07
[130,134）
10
0.08
[134,138）
22
0.18
[138,142）
33
0.28
[142,146）
20
0.17
[146,150）
11
0.09
[150,154）
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1.00
（2）画出频率分布直方图，如图所示.
（3）因为样本中身高低于134cm的人数的频率为＝≈0.19.
所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的19%.
【训练2】 如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为（ ）
A.20 B.30
C.40 D.50
解析 前3组的频率之和等于1－（0.0125＋0.0375）×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×＝0.25，设样本容量为n，则＝0.25，则n＝40.故选C.
答案 C
要点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，中位数为处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中位数为中间两个数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式是
s＝.有时也用标准差的平方（s2－方差）来代替标准差.
【例3】 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩（单位：
环）如图所示：
（1）填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上次数
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
（2）请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.
解
（1）乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以乙＝（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
（2）①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大.
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好.
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上（包含9环）的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好.
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力.
【训练3】 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（单位：
分）（ ）
A.91.5和91.5 B.91.5和92
C.91和91.5 D.92和92
解析 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96（单位：
分）.故平均数＝×（87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96）＝91.5（分），中位数为＝91.5（分）.故选A.
答案 A
要点四 变量间的相关关系
除了函数关系这种确定性的关系外，还有大量因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系.分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据的散点图给出判断.若是线性相关，还可以利用最小二乘法求出回归方程.求回归方程的步骤：
（1）由已知数据计算出，，，iyi；
（2）计算回归方程的系数，，公式为
（3）写出回归方程＝x＋.
【例4】 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：
千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）已知两变量线性相关，求y关于t的回归方程；
（2）利用
（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
解
（1）由所给数据计算得＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，
＝（2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9）＝4.3，
（ti－）2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
（ti－）（yi－）＝（－3）×（－1.4）＋（－2）×（－1）＋（－1）×（－0.7）＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
故所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
（2）由
（1）知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t＝9代入
（1）中的回归方程，得
＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
【训练4】 理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份202x（年）
0
1
2
3
4
人口数y（十万）
5
7
8
11
19
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）指出x与y是否线性相关；
（3）若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝x＋；
（4）据此估计2025年该城市人口总数.
（参数数据：
0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30）
解
（1）数据的散点图如图：
（2）由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关.
（3）由表知＝×（0＋1＋2＋3＋4）＝2，＝×（5＋7＋8＋11＋19）＝10.
∴＝＝3.2，
＝－＝3.6，
∴回归方程为＝3.2x＋3.6.
（4）当x＝5时，＝19.6（十万）＝196万.
故2025年该城市人口总数约为196万.
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