材料力学总结公式文档格式.docx
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（此式的适用范围为当应力不超过材料的比例极限时，,,E,
即在比例极限内。
E—弹性模量，其值与材料本身有关，其单位为GPa。
）
'
,,,'
泊松比:
，即,,,,,,,,,,E,,
2）两个塑性指标:
l,l,l1,，100%,，100%,延伸率:
ll
A,A,A1,，100%,，100%,3）断面收缩率:
AA
1
FF,,N,maxN,,,,,,4）强度条件:
，对于等截面杆:
，,,,,,,,,maxmaxAA,,max
u,,其中:
许用应力,，,及[,]其值均与材料本身有关。
un
1说明:
，截面面积越大，构件的抗拉、压能力越强。
其抗拉压能力与截面,,A
形状无关只与截面面积有关。
FlN5）刚度条件:
l,,,,,l，拉压刚度EA越大，则其抵抗变形的能力越强。
EA
（此式的适用范围为当应力不超过材料的比例极限时，即在比例极限内）。
,,拉压刚度。
6）杆件连接部分抗剪强度计算:
在工程计算中，通常均假定剪切面上的切应力均匀分布，于是，连接件的切应
FsFs,,,力为其抗剪强度条件为,,式中As为剪切面的面积，,,,,,,AsAs
等于连接件的抗剪强度极限除以安全因数。
2.扭转构件:
外力偶的作用面与轴线垂直。
1）动力传递与扭力偶矩之间的关系:
P,,,,PkWkW,,,,M,9550M,159.2，N,m,Nm,,,,nnr/minr/s
2）剪应力互等定理与剪切胡克定律
剪应力互等定理:
（在微体的两个互垂截面上，垂直于截面交线的,,,
切应力数值相等，而方向则均指向或均离开该交线。
,G,剪切胡克定律:
（此式的适用范围为当切应力不超过材料的剪切
比例极限时，即在比例极限内，G—切变模量，其值与材料本身有关，其单位
为GPa。
EG,各向同性材料有:
（当已知任意两个弹性常数后，则可确，，21，,
定第三个弹性常数，即各向同性材料只有两个独立的弹性常数。
）3）强度条件:
u,,,许用切应力:
，,及[,]其值均与材料本身有关,un
44,d,D,,dT4,,，，II,1,,,,，极惯性矩:
，，其中,,空pp实I3232Dp
2
,TTmax,,强度条件:
max,,,，对于等截面圆轴有:
,,,,,,,maxmax,,WWpp,,
33,d,Dd4，，,W,1,,抗扭截面系数（模量）:
W，，其中,,p空p实1616D
1,,说明:
，,越大，则轴抗剪能力越强。
即构件的强度与轴的截面形,maxWp
状（空心或实心）有关。
另外，轴类构件采用空心圆比实心圆省材料。
，，,,,,对于塑性材料:
,0.5,0.6,
，，,,,,0.8,1.0,,,对于脆性材料:
t
4）刚度条件:
T,l,,两个横截面之间的相对扭转角:
G,Ip
dT,扭转角的变化率:
dxGIp
00,,TT180180max,,,,，,,刚度条件:
，对于等截面轴有:
,，,,,,GI,GI,pp,,max
，,扭转刚度,
3.弯曲构件:
外力的作用线与轴线垂直，外力偶的作用面与轴线共面。
1）材料性能不同选择截面不同:
塑性材料:
[,]=[,]，采用中性轴对称截面，tc
脆性材料:
[,],[,]，采用中性轴非对称截面，使中性轴靠近受拉一侧。
tc
2）强度条件及如何进行合理强度设计
M,y,,任一点正应力公式:
Iz
强度条件:
,MMmax,,,,,,,,,,,,,,对称截面粱:
，等截面梁:
maxmax,,WWzz,,max
Mymax,,,,,,非对称截面粱:
maxIz
443,,Dbhd4，，,I,1,,,II式中:
惯性矩:
，，z,圆z,矩z空心圆646412
3
梁弯曲时的切应力和梁的切应力强度条件
*FsSz*,,任一点切应力公式:
式中Fs:
横截面上的剪力;
:
距中性轴y的横线以外SzIzb
部分的横截面积对中性轴的静矩;
横截面对中性轴的惯性矩;
b:
截面的宽度。
*QSmax3Fs,max,1）矩形截面梁2）工字型截面梁式中d:
腹板的厚,max,Izd2A
**IzSzmax度;
中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩;
比值可直接由型Szmax
4Q钢表查出。
3）圆形截面梁的最大切应力式中A:
圆形截面的面积,max,3A
切应力强度条件为
*smaxzmaxFS,,,,,,maxzIb
332,D,bhd4，，,W,1,,,WW抗弯截面系数:
，，z,圆矩z,空心圆z63232
，,越大，则梁抗弯能力越强。
即构件的强度与梁的截面形zmaxWz
状有关。
另外，构件采用空心圆比实心圆省材料。
M,yMmaxmaxmax,,,梁的合理强度设计:
maxIWzz
）梁的合理截面形状,使用较小的截面面积,，却获得较大抗弯截面系数,的截面。
,,即,,,。
竖横
）塑性材料:
ct
;
）变截面梁与等强度梁
）梁的合理受力，即梁支承的合理安排与载荷的合理布置。
3）刚度条件及如何提高梁的刚度
刚度条件:
挠度:
，转角:
,,,,,,,,,maxmax
n载荷l,,y合理刚度设计:
max系数EI
）合理选择截面形状:
使用较小的截面面积,，却获得较大惯性矩，的截,面，即增大惯性矩。
，,，即,,,竖横
）合理选用材料,使用弹性模量,大的材料，对于钢材，其,值差别不大。
）梁的合理加强,对于梁的危险区采用局部加强的措施，以提高,，值。
）梁跨度的选取,尽量减小跨度或增加中间约束。
4
）合理安排梁的约束与加载方式
简单静不定梁的计算:
4.应力状态分析及复杂应力状态强度问题:
1）解析法求任一点在任意方向的应力计算
,,,，,xyxy,cos2,-,sin2,,，,x22
,,xy,sin2,-,cos2,,,x2
2）图解法求任一点在任意方向的应力—应力圆
2,,，,,,,,,,xyxy2,,,,其圆心坐标为，半径为0R，,，,x,,,,22,,,,
自圆心与x面应力值的连线为始边逆时针旋转2,角，对应于应力圆上的点的应力值即为所求的,截面处的应力值。
3）极值应力与主应力
2,,,,，,,,,,,xyxymax2,,OCCA,,,,，,,,x,,22,,,min,,
,,2xxx,,，,,,,,,tantan200,,,,,,,,,xyxminmaxy最大与最小主应力所在截面相互垂直，均位于应力圆中同一直径的两端，此两截面处的切应力为零。
2,,,,,,,,xymax2,,CK,,,,，,,,x,,2,,min,,,
0最大与最小切应力所在截面相互垂直，并与正应力极值截面成45夹角。
应力状态:
构件受力后，通过其内一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态。
,,主应力:
主平面上的正应力称为主应力，通常按其代数值，依次用，与321
,,,,表示，即。
123
根据主应力的数值情况，可将应力状态分为三类。
单向受力状态:
三个主应力中，仅一个不为零的应力状态，即前述单向应力或单向受力状态;
二向应力状态:
三个主应力中，两个主应力不为零的应力状态，称为二向应力状态。
三向应力状态:
三个主应力中，三个主应力均不为零的应力状态，称为三向应力状态。
二向与三向应力状态统称为复杂应力状态。
纯剪切状态的最大应力:
5
,,,,，，,,,,,t,maxCc,maxD
,并分别位于与的截面上。
,,45,,45
纯剪切状态在微体的纵、横截面上，切应力取极值，其绝对值均等于，即
,,,,,maxmin
4）广义胡克定律
1,,,,,,，，,,xxy,,,,E二向应力状态下:
,1,,，，,,,,,,yyx,,E,,
三向应力状态下:
1,,,,,,,,,，，，,,xxyz,,E,,1,,,,,,,,,，,,，，,,yyzxE,,
1,,，，,,,,,,,,,，zzxy,,E,,
5）强度理论:
最大拉应力理论—第一强度理论:
认为引起材料断裂的主要因素是最大拉应力。
,,,,强度条件:
，适用于脆性材料，其最大压应力值不超过最大拉应力值1
或超过不多。
最大拉应变理论—第二强度理论:
认为引起材料断裂的主要因素是最大拉应变。
，，,,,,,,，,,,,,强度条件:
，适用于某些脆性材料在双向拉伸-r2123
压缩应力状态下，且最大压应力值超过最大拉应力值时。
最大切应力理论—第三强度理论:
认为引起材料屈服的主要因素是最大切应
,,13力。
,max2
,,,,,,,,强度条件:
，适用于塑性材料r313
畸变能理论—第四强度理论:
认为引起材料屈服的主要因素是畸变能。
1,，，，222,,，，，，，，畸变能密度:
,,,,，,,,，,,,d1223316E
1222，，，，，，,,,,,,,，,,,，,,,,,强度条件:
，适应于r41223312
6
塑性材料。
单向与纯剪切组合应力状态的强度条件:
,,1122，,,0，，,,,,，4,,,22,3,,
22按第三强度理论:
,,，4,,,,,r3
22按第四强度理论:
,,,,，3,,,r4
6）弯拉（压）组合、弯扭组合与弯拉（压）扭组合的强度计算
弯拉（压）组合（包括偏心压缩）的强度条件（单向受力）:
FMNmax,,,,，,,maxAWz
2222M，TM，0.75T,,,,,,,,,,,,弯扭组合的强度条件:
，r4r3WW
22，，,,,,,，,，4,,,弯拉（压）扭组合的强度条件:
r3MN
22，，,,,,,，,，3,,,r4MN
5.偏心拉伸（压缩）与截面核心
作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或压缩，
eyezyz1，，,0中性轴的位置也将发生改变，经计算推导可得到中性轴的方程为，分22iziy
22iziy,,a,,yaz别令y0,0，;
于是得，即可得到中性轴和z轴y轴的交z0,0eyez
，,maxFMzMy点坐标。
,,,,,AWzWy,max
7
斜弯曲
MMMMyzyzmaxmaxmaxmaxzy,,,,，,，,,maxmaxmaxIyIzWyWz
矩形截面和圆形截面截面核心的位置
6.压杆稳定（A—不需考虑被削弱的面积）:
根据柔度将杆分为三大类，杆类型不同则
其所采用的临界应力公式不同:
临界应力总图:
压杆的分类:
2,E,,,,,a）细长压杆（即大柔度杆，），用欧拉公式crP2,
,,,,b）中长杆（即中柔度杆，），采用经验公式PS
8
,a-b,直线公式，式中系数a、b为与材料性能有关的常数。
cr
2,,a-b,抛物线公式，（）系数a、b为与材料性能有关的常数。
,,,0,,cr11P
,,c）短粗杆（即小柔度杆，），用压缩强度公式（按强度问题S
,,处理）crS
2,EIF,,,A杆的临界压力:
，对于大柔度杆:
F,crcrcr2，，,,l
Ii,惯性半径:
，A
,l柔度:
，柔度越大对杆的稳定越不利，柔度越小对杆的稳定越有利。
,i
—长度系数，与杆端约束有关。
如何提高压杆的稳定性:
）合理选择材料,使用弹性模量,大的材料，对于钢材，其,值差别不大，对提高细长压杆的稳定性作用不大，但高强度钢材，其屈服极限明显增大，故对于短粗杆采用高强度钢材可大大提高其强度。
）合理选择截面,对于细长杆及中长杆，其柔度越大临界力越小，对杆的稳
,lA,,,,,l,定越不利，柔度越小临界力越大，对杆的稳定越有利，而，iI对于一定长度与支承方式的压杆，在横截面面积保持一定的情况下，应选择惯性矩较大的截面形状。
在选择截面形状与尺寸的同时，还应考虑失稳的方向性。
如果压杆两端为球形铰或固定端，宜选择主形心惯性矩，,，的截面，若不然，yx
9
l，，,,l,，，,l，，,，，l,,yyzz应使得，即。
理想的设计是使压杆在上述两,,IIIIzyzy
AA
个方向的柔度相等。
）合理安排压杆的约束与选择杆长—减少长度系数、减少支承长度，可提高
压杆的临界力。
7.以下哪些量与材料的物性关系有关:
摩擦系数、热膨胀系数、载荷、内力、内力偶矩、比例极限、屈服极限、名义屈服极限、强度极限、许用应力、极限应力、纵向变形系数、横向变形系数、泊松比、延伸率、断面收缩率、中性轴、惯性矩、极惯性矩、抗扭截面系数、抗弯截面系数、弹性模量E、剪切弹性模量G、临界力、惯性半径、柔度、材料的强度、材料的刚度、长度系数,。
8.为工程技术解决实际问题:
1.用静力平衡方程求外力（理论力学范畴）
2.用截面法求内力
3.根据内力求应力、应变
4.为工程技术解决实际问题:
a）强度校核（刚度校核）
b）选择截面
c）确定许用载荷
9.实验结论分析:
根据物性关系分析破坏截面位置。
10.压杆的稳定校核
稳定因数法
,,,,st,在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力写做材料的强度许用应力乘以一个随压杆
，，,,,,,,,,,st,,cr/nst,,柔度λ而改变的稳定因数，即=。
安全系数法
对于工程中的压杆，为保证其能安全正常工作而不丧失稳定，应使压杆实际承受的轴向压力
FcrF小于相应的临界压力，而且应具有一定的安全储备。
故稳定条件为nw,,nstF
nw其中F是压杆的工作压力压杆的工作安全因数
nst压杆的临界压力规定的稳定安全因数Fcr
11.在运用欧拉公式计算压杆临界压力或压应力时，必须判断杆的柔度λ和的关系是,p
2,E,,p否满足。
（λp是与比例极限对应的柔度）由可求得,,,p,p2,p
p,
Q235p,，其中钢制成的压杆=101。
九.能量法的总结
nFi,i,W功能定理为广义的力为广义的位移W,V,Fi,i,2i,1
10
lFN应变能1.对于轴向拉压杆F等于杆的轴力，Δ等于杆的轴向变形所以,L,FNEA
2NFl,,V应变能为2.对于扭转变形的圆轴F等于横截面上的扭矩T，Δ等于轴两端的2EA
2TlTlV,,相对扭转角,，所以圆轴扭转的应变能为3.对于纯弯曲的梁F等于横,2GIPGIP
Ml截面上的弯矩M，Δ等于梁两端截面的相对转角，所以梁在纯弯曲时的应变能为,,EI
2Ml,,V2EI
2,,,,,,应变能密度1.单向应力状态下能量密度,22E
2,,,,,,2.纯切应力状态下能量密度,22G由应变能密度求解应变能V,,,,dV,V
FVc,Wc,,df余能功和余功之和W，Wc,F,,0
,c,,d,余能密度可以通过求余能密度来求解余能大小。
0
V,卡式第一定理k应该认识到是与相对应的位移。
F,,kFkk,,
Vc,,k余能定理对于线弹性体，弹性体的余能数值等于应变能，进一步得到,Fk
V,,,称为卡式第二定理。
为便于计算线弹性体杆件或杆系结构的位移，经推导可k,Fk
得到下列具体公式
NNFxFx，，，，,,对于拉压杆或桁架结构，有kdx,l,kEAF
，，xx，，MM,,对于梁或平面钢架，有kdx,l,kEFI
，，xx，，TT,,kdx对于圆轴有,lp,kFGI
单位载荷法
，，，，FNxFNx,k,dx，有对于拉压杆或桁架结构，有,lEA
11
，，，，MxMx,k,dx对于梁或平面钢架，有,lEI
，，，，TxTx,,dxk对于圆轴有,lGIp
，，，，，，值得注意的是FNxTxMx是在没有添加单位载荷前的计算结果。
十.动载荷
aKd,1，对于作等加速度直线运动的构件，动载荷系数为，g
2HKd,1，1，杆件受冲击时动载荷系数为，代表将冲击物体自重视为,st,st
静载荷作用在被冲击的弹性体上时相应的静位移。
;
Fd,KdFs,d,Kd,st
d,Kd,st
十一.附录A平面图形的几何性质
bn
SySy静矩和形心形心坐标公式x,y,Sy,xdASx,ydA,,AAAA
由上式可以看出，若截面对于其一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心;
反之，截面
对于通过其形心的轴的静矩恒等于零。
对于组合图形的静矩等于每个图形的静矩之和，即nn
iiSy,AixiSx,Ay,,ii,1,1
nn
AyiiAxii,,i,1i,1,,xy组合图形截面形心坐标公式nn
iAiA,,i,1i,1
222222,,x，y极惯性矩惯性矩由于，所Ip,,dAIy,xdAIx,ydA,,,AAA
yI222y,i以=，，=惯性积惯性半径Ip,,dAx，ydAIx，IyIxy,xydA,,,AAAA
xIx,iA
22Iy,Iyc，bAIxy,Ixcyc，abA平行移轴公式Ix,Ixc，aA
nnn
xxiyixyiI,II,II,Iyxy组合截面的惯性矩即惯性积,,,iii,1,1,1
12
惯性矩和惯性积的转轴公式
Ix，IyIx,IyIx，IyIx,IyIx1,，cos2,,Ixysin2,Iy1,,cos2,，Ixysin2,2222
Ix,IyIx1y1,sin2,，Ixycos2,2
2Ixy,0tan2,,0主惯性轴位置的确定设角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则Ix,Iy
Ix，Iy122主惯性矩的计算公式，，Ix,，Ix,Iy，4Ixy022
Ix，Iy122，，Iy,,Ix,Iy，4Ixy022
十二.叠加法求挠度常用公式
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