相似三角形分类整理超全Word文档下载推荐.docx

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四条线段a，ｂ,c，d中，如果a与ｂ的比等于ｃ与ｄ的比，即

＝

那么这四条线段ａ,ｂ,c，d叫做成比例线段，简称比例线段。

2.比例的有关性质

①比例的基本性质:

如果

，那么aｄ=bc。

如果ａd=bc（ａ,b，c，d都不等于0）,那么

。

②合比性质：

那么

③等比性质:

=

（b+d+

+n≠０）,那么

④b是线段a、ｄ的比例中项，则b2＝aｄ.

典例剖析

例1：

①　在比例尺是1：

3８０00的南京交通游览图上,玄武湖隧道长约7cm,则它的实际长度约为__＿___Km.

②若

则

=________＿_.

③若　

则a:

ｂ=________＿_．

3．相似三角形的判定

（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似。

（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

（3）三边对应成比例的两个三角形相似。

补充:

相似三角形的识别方法

（1）定义法：

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

（2）平行线法：

平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

注意:

适用此方法的基本图形,（简记为A型,X型）

（４）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

（5）两角对应相等的两个三角形相似。

（6）一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。

（7）被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

【基础练习】

（1）如图1,当　　　　时,△ＡBC∽△ADE

（２）如图２,当　　　　　　　时，△AＢＣ∽△AED。

（3）如图3，当　　时，　△ABC∽△ＡＣＤ。

小结：

以上三类归为基本图形:

母子型或A型

（3）如图4,如图1,当ＡB∥ED时,则△　　　∽△　　。

（４）如图5,当　　时,则△　∽△　　　。

小结:

此类图开为基本图开：

兄弟型或X型

判断

①所有的等腰三角形都相似.　　　　　　　（　　）

②所有的直角三角形都相似.　　　　　　　　　　　（　　　　　）

③所有的等边三角形都相似.　　　　　　　　　（　　　　　）

④所有的等腰直角三角形都相似．　　　　　　　　　　　　（　）

例2：

如图,△ABC中,AD是∠ＢAC的平分线，AＤ的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F

求证:

　△ABF∽　△ＣＡＦ.

例3：

如图:

在Rt△AＢＣ中，∠ABC=9０°

BD⊥ＡＣ于D,若AB=6;

AＤ＝2；

则AＣ=　　　　;

BD=　　　;

ＢC=;

例３:

如图：

在Rt　△ＡBC中，∠ABC=9０°

，ＢD⊥ＡC于Ｄ，若E是BC中点，ＥD的延长线交BA的延长线于Ｆ，

求证：

AB　：

AC=DＦ:

　ＢF

第二节:

相似三角形的判定

（一）相似三角形：

定义

1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．

温馨提示:

　　①当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件，缺一不可;

　②相似三角形的特征：

形状一样,但大小不一定相等；

③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。

④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

　①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k＝1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.

　②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′Ｂ′Ｃ′的对应边的比，即相似比为k,则△A′B′C′∽△AＢC的相似比

，当且仅当它们全等时，才有k＝k′=1.

　　③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出.

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形．

４、相似三角形的预备定理：

如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．

　　①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言：

　∵DE∥BC,∴△ABC∽△AＤＥ;

　②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用,同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”;

　③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行,想比例”，还要想到“见平行，想相似”．

（二）相似三角形的判定

1、相似三角形的判定:

　　判定定理

（1）：

两角对应相等，两三角形相似．

　判定定理

（2）：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

　　判定定理（3）:

三边对应成比例,两三角形相似．

温馨提示：

①有平行线时,用上节学习的预备定理;

　　②已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时,可考虑利用判定定理１或判定定理2;

③已有两边对应成比例时,可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.

例１．如图三角形ABＣ中,点E为BＣ的中点,过点E作一条直线交ＡＢ于Ｄﻩ点,与ＡＣ的延长线将于F点，且ＦD=3ED，求证:

ＡF＝３CF

２、直角三角形相似的判定:

　　斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

　①由于直角三角形有一个角为直角,因此，在判定两个直角三角形相似时,只需再找一对对应角相等,用判定定理１，或两条直角边对应成比例，用判定定理2,一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；

　②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形,图中的三角形，可称为“母子相似三角形”,其应用较为广泛．

　③如图,可简单记为：

在Rt△ABC中,CD⊥AＢ，则△ＡBC∽△CBD∽△ＡＣＤ．

直角三角形的身射影定理:

AC２=AD＊ＡＢ　CD２=ＡD*BＤ　　　BC2=BD*AB

总结：

寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法:

（1）相似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角；

相似三角形中最大的角（或最小的角）一定是对应角;

相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;

（2）相似三角形中,一对最长的边（或最短的边）一定是对应边;

对应边所对的角是对应角；

对应边所夹的角是对应角.

2、常见的相似三角形的基本图形：

　学习三角形相似的判定,要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来;

对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆;

对相似三角形的判定思路要善于总结,形成一整套完整的判定方法.如：

（1）“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图.“见平行,想相似”是解这类题的基本思路;

　　（２）“相交线型”相似三角形，如上图.其中各图中都有一个公共角或对顶角.“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路;

　（３）“旋转型”相似三角形,如图．若图中∠１＝∠２,∠B=∠Ｄ（或∠C＝∠E），则△ADE∽△ＡBＣ，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.

．第三节　相似三角形中的辅助线

一、作平行线

例１.如图,

的AB边和AC边上各取一点Ｄ和E，且使AＤ=AE，DE延长线与ＢC延长线相交于F，求证:

例2.如图,△ABＣ中，ＡB＜AC,在AB、AC上分别截取BＤ=CE,ＤE，BC的延长线相交于点F,证明：

AB·

DF＝AC·

EF。

二、作垂线

例３.如图从　　ABＣＤ顶点Ｃ向ＡB和AD的延长线引垂线CE和CＦ,垂足分别为E、F,求证:

三、作延长线

例4.如图，在梯形AＢCD中，ＡＤ∥BC,若∠BＣＤ的平分线CＨ⊥ＡＢ于点H,BH=3AH,且四边形AＨCD的面积为２1,求△HＢC的面积。

例5.如图,Rt

ABC中,ＣD为斜边AB上的高，Ｅ为CD的中点,AＥ的延长线交ＢC于F，FG

AＢ于G,求证：

FＧ

=CF

BF

四、作中线

例6如图,

中,AＢ⊥AC,ＡE⊥BC于E，D在AＣ边上，若BＤ=DＣ=EＣ=１,求AC。

五、过渡法（或叫代换法）

有些习题无论如何也构造不出相似三角形,这就要考虑灵活地运用“过渡”,其主要类型有三种，下面分情况说明．

1、等量过渡法（等线段代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时,即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似,那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段,如果没有，可考虑添加简单的辅助线。

然后再应用三点定形法确定相似三角形。

只要代换得当,问题往往可以得到解决。

当然,还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例１：

如图３,△AＢC中,AＤ平分∠BＡC，AD的垂直平分线ＦE交BＣ的延长线于Ｅ.求证:

DE2=ＢＥ·

ＣＥ.

2、等比过渡法（等比代换法）

当用三点定形法不能确定三角形,同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法,即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥,也就是通过对已知条件或图形的深入分析,找到与求证的结论中某个比相等的比,并进行代换,然后再用三点定形法来确定三角形。

例２:

如图4，在△ABC中,∠BAＣ=9０°

，AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于点Ｆ.求证：

．

3、等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是:

用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；

若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时,则考虑用等积代换法。

如图５，在△AＢC中,∠ACＢ=90°

ＣD是斜边AB上的高，G是DＣ延长线上一点,过B作BE⊥ＡG，垂足为E，交CＤ于点F．

ＣD2=DＦ·

DG.

六、证比例式和等积式的方法：

对线段比例式或等积式的证明：

常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时,应将线段比“转移”（必要时需添辅助线）,使其分别构成两个相似三角形来证明.

例1　如图5在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高,DF⊥ＡB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证:

（1）FG/FA=FB/ＦH　

（2）ＦD是FG与FH的比例中项.

例2　如图在△AＢC中,ＡD是ＢC边上的中线，M是AD的中点,CM的延长线交ＡＢ于Ｎ．求：

AN：

AＢ的值;

例3如图过△ABＣ的顶点C任作一直线与边ＡB及中线AＤ分别交于点F和Ｅ．过点D作ＤM∥FC交AB于点Ｍ．（１）若S△AEF：

S四边形ＭDEF＝2:

３，求AＥ:

ED；

　（２）求证：

AE×

FB＝2AＦ×

EＤ　

第四节　相似三角形难题集

一、分类讨论：

例1　如图在正方形ABCＤ的边长为1,P是CD边的中点,Ｑ在线段BC上，当BQ为何值时，△ADＰ与△QCＰ相似？

例２如图在梯形ＡＢＣＤ中,AD∥BＣ，∠A＝900，AB=７,AD=２，ＢＣ=3．试在边AB上确定点P的位置,使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.

二:

相似三角形中的动点问题:

1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°

，ＡC=3，ＢC＝４，过点B作射线BB１∥AＣ．动点D从点Ａ出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点Ｅ从点C沿射线ＡC方向以每秒3个单位的速度运动．过点Ｄ作ＤH⊥AB于Ｈ，过点E作EＦ⊥AC交射线BB１于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.ﻭ

（1）当t为何值时,AD=AＢ，并求出此时DE的长度;

ﻭ

（2）当△DＥG与△AＣB相似时，求t的值．ﻭﻭ

2.如图，在△ABＣ中,

ABC＝9０°

，AB=6ｍ,ＢC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时,动点Ｑ以1ｍ/s的速度从C点出发,沿CＢ向点Ｂ移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒.

（1）①当t=2．5ｓ时,求△CＰQ的面积；

ﻭ②求△CPQ的面积Ｓ（平方米）关于时间ｔ（秒）的函数解析式；

（２）在Ｐ，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出ｔ的值.

３．如图1,在Rt△ABC中，

ACB＝９0°

，AＣ=6,BC＝8，点D在边ＡB上运动,DＥ平分

CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为Ｍ,EN⊥CD，垂足为N．

（1）当AD＝CD时，求证：

DE∥ＡＣ;

（2）探究:

AＤ为何值时，△BME与△CＮE相似?

4.如图所示，在△ABC中,BＡ＝BC＝20cｍ，ＡC＝30cｍ,点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;

同时点Q从Ｃ点出发,沿CA以每秒3ｃm的速度向Ａ点运动，当Ｐ点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.ﻭ

（1）当x为何值时，PＱ∥ＢC？

ﻭ

（2）△ＡPQ与△CＱB能否相似？

若能,求出AP的长;

若不能说明理由．

5.如图,在矩形ABCＤ中，AB=12ｃm，BC＝6ｃm，点P沿ＡB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;

点Q沿DA边从点D开始向点Ａ以1cｍ／s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（０＜t＜６）。

（1）当t为何值时，△QＡP为等腰直角三角形?

ﻭ（２）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ＡＢC相似？

三、构造相似辅助线——双垂直模型

６.在平面直角坐标系xOｙ中，点Ａ的坐标为（２,１），正比例函数ｙ=ｋｘ的图象与线段OA的夹角是45°

求这个正比例函数的表达式．ﻭ

7.在△AＢC中，AB=

，AC=4,BC=２，以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ＡＢD为等腰直角三角形,求线段CＤ的长.

8.在△ABC中,AＣ＝BＣ，∠ACB=90°

点M是AC上的一点，点N是ＢC上的一点,沿着直线ＭN折叠，使得点C恰好落在边ＡB上的P点．求证:

MC：

NC＝AP:

PＢ.

9.如图,在直角坐标系中，矩形ABCO的边OＡ在x轴上，边ＯC在y轴上,点B的坐标为（1,３）,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么Ｄ点的坐标为（）

A.

B.

ﻭＣ.

　　　　D.

1０．.已知，如图,直线y=﹣２x＋2与坐标轴交于A、B两点.以ＡB为短边在第一象限做一个矩形ＡBCD,使得矩形的两边之比为1﹕2。

ﻭ求C、Ｄ两点的坐标。

ﻭ

四、构造相似辅助线——Ａ、X字型　

11.如图:

△ABＣ中，D是AB上一点,ＡD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。

12.四边形ABCD中,AC为ＡB、AD的比例中项，且AＣ平分∠ＤAB。

1３.在梯形ABCD中,AＢ∥ＣD,ＡB=b，CD＝a,E为AD边上的任意一点，EＦ∥AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,发现如下事实：

ﻭ

（1）当

时，EF＝

；

（2）当

时，EF=

;

（3）当

．当

时,参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EＦ的一般结论,并给出证明．

14.已知:

如图,在△ABC中,Ｍ是ＡC的中点,E、F是BC上的两点,且BＥ＝ＥF＝FC。

ﻭ求ＢＮ：

NQ：

ＱM.

15.证明：

（１）重心定理：

三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的

.（注：

重心是三角形三条中线的交点）

（2）角平分线定理：

三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.

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