数一真题标准答案及解析.docx

1、数一真题标准答案及解析2002年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析(1)【答】dxe x In2 xIn x|e0 1 1.（2 ）已知函数由方程& 6xy x21 0确定，则y 0【答】-2.、填空题dx2x In x1.【详解】【详解】将方程两边对X求导，y为x的函数，得再对-2.(3& y 6xy6 y 2x 0,(1X求导,x的函数，得ey y ey y6xy 12y 2(2)0时，由原方程知0,再以x 0 , y0代入（1）式中得y 0 ，再代入（2）式中得y 0微分方程yy y20满足初始条件y|11,y| -的特解是x 0 2【答】y2 x 1【详解】 令y P，

2、则dy dpdp dy dpP -,dx dx dy dx dy原方程可化为yp竺dpyp dydp前者显然不满足初始条件y|x因此必有yp里p0 ,积分得dppy由初始条件y|x 0dyy -dx1,y|x1ydy积分得G.再由初始条件y|(4）已知实二次型4x xdyy_dx1得C2 1得C2 1故所求特解为4x x 4x x经正文变换x Py，可化标准形f6%2,则 a【答】 2.【详解1】二次型f X , X2 , X32x?4x x4x1 x34X2%所对应矩阵为A标准形f6y12所对应矩阵为根据题设知A, B为相似矩阵,所以A, B的特征值相同，可见 A的三个特征值为 6， 0,0

3、.可见a6, a 2 0,故有a【详解2】由A, B为相似矩阵知,对应特征多项式相同,于是有a 2 26 0 02 a 20 02 2a0 03aa2 4比较同次幕的系数知(5 设随机变量X服从正态分布N2且二次方程y4y X 0无实根的概率为【答】【详解】二次方程y20无实根的充要条件是0 .故由条件知有41 4于是2o 4.二、选择题1 考虑二元函数fx, y的下面4条性质：fx, y在点xo, yo处连续；fx, y在点xo, yo处的两个偏导数连续;fx, y在点xo, yo处可微；fx, y在点xo, yo处的两个偏导数存在若用“P推出Q，则有”表示可由性质1 x dt1 c(A)(

4、C)【答】应选(A)【详解】若f x, y在点xo, yo处的两个偏导数连续,f x, y在点而可微又必联系,因此有xo, yo处可微2 设 Un 0n 1,2,3,l,n且limn u故应选(A).1,则级数(A)发散(C)条件收敛发散(B )绝对收敛(D )收敛性根据所给条件不能判定【答】 应选(C)n【详解】 lim 1知n Un ，limnlim un n un0,又原级数的前n项部分和为Sn1n11u21可见有lim Snnu11un 1 ?u1因此原级数收敛,排除（A),(D),再考虑因为limnlimn1,un1 lim un 1 nn 1 unun设函数y1 unUnlimnu

5、n 11,1-，均1条件收敛，应选在0,(C)A当limxf x0时，必有limxi fx0B(limxB)fx存在时，必有limx1 fx0(C当limx0f x0时，必有limx 01 fx0D(limD x 0)fx0存在时，必有lim |x 0f x0内有界且可导，则3【答】 应选（B）【详解1】发散，故级数un. 2设 f x s,则 lim f x 0，所以 f x 在 0,x X 0内有界，由于2 2.2 22x cosx sin x 小 2 sin2x2- 2cos x x2x可见f在0,内可导，但lim f x柿在Timx0，排除（A）, （ D）又设fsinx ,则f X在

6、0,内有界且可导,lim fx 0limx 0lim cos x 1x 0进一步排除（C),故应选（B）.【详解2】直接证明（B）正确，用反正法，由题设lim f x存在设limx0,不妨设A 0，则对于A 0,存在X20，当x X时，有可见A 2，在区间A ，2x ,x上应用拉格朗日中值定理，有，与题设f x在0,设有三张不同平面的方程系数矩阵与增广矩阵的秩都是内有界矛盾,aM ai 2 ylim fxai3 zb ,i1,2, 3它们所组成的线性方程组的2，则这三张平面可能的位置关系为(A) (B)【答】 应选（B）【详解】 由题设，线性方程组aiix ai2 y ai3z bia x a

7、 y a z b21 22 23 2a x a y a z b31 32 33 3系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为2,由非齐次线性方程组解的判定定理知，此方程有无穷多组解，即三平面有无穷多个交点，对照四个选项，（ A ）只有一个交点；（C），（ D）无交点，因此只有（B ）复合要求5 设Xi和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 fi x 和f2 x ，分布函数分别为Fi X和F2 x，则（A） fi x f2 x必为某一随机变量的概率密度（B） fi x f2 x必为某一随机变量的概率密度（C） Fi x F2 x必为某一随机变量的分布函数（D） Fi x F2 x必为

8、某一随机变量的分布函数【答】 应选（D）【详解】 由于fi x f2 x dx 2 , Fie x x 0 又设 fi x e， 0 ，f2 x0, x 002e3x,x则 fi x f2 x0, x 0F2 2 i,因此可先排除（A），（C）2e 2x, x 00x0显然不满足概率密度函数的要求，进一步排除（ B），故应选（D）事实上，可检验Fi x F2 x却是满足分布函数的三个条件三、设函数 f x在x 0的某邻域内具有一阶连续导数,且 f 0 0, f 0 0,若af h bf 2h f 0在h 0时是比h高阶的无穷小，试确定 a, b的值.【详解1】由题设，知hofh2o由a moH

9、hoh2OOfbaai b 1 0又由洛比达法则，有0.af hbf 2hf 0limh 0h因f 0 0,故 a 2b0,lim af h 2h a 2b f 0h 0 1于是可解得 a 2, b 1【详解2】 由题设条件af h bf 2h f 00 limh 0 h.a f h f 0 2b f h f 0 af 0 _bf 0 f 0 lim h 0 h 2h h若上式右端第 3项分子不为零，则上式得极限不存在，与左边为零矛盾，所以af 0bf 0 f 0ab 1 f 00从而ab1 0，于是原式可化为0limh 0afh bf 2hf 0hlimh 0af h f 02b f h f

10、 0h2haf 02bf 0a2bf 0有a2b0，解得a2,b1四、已知两曲线 y f x ,yarcta nx 上2e0在点0,0处的切线相同，写出此切线方程，并求极限lim nf 2【详解】由已知条件得f 0 0,且arctan x 2 e1 x2 |x 01,故所求切线方程为x,则lim nfnlim 22五、计算二重积分2 2max x ,yeD【详解】D1x, yD2x, y2.dxdy,其中Dx, yx 1,0 y1,01,xmaxeDx2 , y:dxdymaxeD1x2 , y2dxdymaxex2 , y:dxdyD2六、设函数f x在滑曲线，其起点为 a, b121 y

11、f xy dx2ex dxdyD11 x2 xe dx0ey dxdyD11 y2ye dy e01 20 dx 0 ex dyx 、，21 y y20 dy。ey dx内具有一阶连续导数，L是上半平面 y，终点为c, d ，记xy2 f xy 1 dy0内的有向分段光（1 证明曲线积分I与路径L无关;（2 当ab cd时，求I的值【详解】（1）因为X y2f xy 12x y在上半平面处成立，所以在上半平面内曲线积分r 1 f xy xyf xy21 1 y2 f xyy yI与路径L无关;I c 11b2f bx dxd c2y f cy1 dya bby2cacbx dxdcy dycc

12、bfcfbabdbcabcft dtadft dtdbabbccaadft dtdbabad当 ab cd 时， f t dtab0,由此得Ic ad b（2）由于I与路径无关，故可取积分路径 L为由点于是有a, b到点c,b再到点 c, d的折线段七、（1 ）验证函数y6!9!3nx L芥！x 满足微分方程（2）利用（1）的结果求幕级数x3n的和函数n o 3n !【详解】（1）因为y x13 x6 x9x L3n xL,-3!6!9!3n !2583n 1y xxxxLxL,2!5!8!3n 1I(2)y4x x4!x77!x2x3对应齐次微分方程特征根是1,22!1 i3 .2 _2_i

13、 ，3!由于3nex;o的特征方程为L,1不是特征根，可设非齐次微分方程的特解为Aex将y*代入方程y y y ex 得故非齐次微分方程得通解为1yx e32 .3G e cos yxC?exsin 仝 x2又显然y x代入上式得满足初始条件y2G , C2 0.30 1, y 0 0.故所求幕级数的各函数为1 ex 2 e cos 仝 x3 3 2八、设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy坐标面，其底部所占的区域为2 2 2 2D x, y | x y xy 75，小山的高底函数为 h x, y 75 x y xy .( 设M xo, yo为区域D上一点，问h x, y在该点沿平面上什么

14、方向的方向导数最大若记此方向导数的最大值为 g xo, yo ，试写出g xo, yo的表达式.2 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山度最大的点作为攀登的起2 2点，也就是说，要在D的边界线x y xy 75上找出使g x, y达到最大值的点，试确定攀登起点的位置【详解】（1）根据梯度与方向导数的关系知，沿梯度方向导数值最大，且其值为g xo, yo gradhM yo 2x0 i xo 2 yo j2 2yo 2xo x o 2 y oT5x?5y8x)y(2)由题设，问题转化为求g xo, yo =* 亦8xy下的最大值，为了求偏导方便起见，令f x, y g 2 x,

15、y 5x2 5 y2 8xy，构造拉格朗日函数Fx, y,f x, y5x2 5 y2 8xyF10x8 yy2x0xF10x8 yy2x0yF2 x2y xy750（1 ）与（2）相加得(1)xy 20从而得y x,或 2若 2，由（1）得yx，再由（:3)得x5 3, y5 3若 y x,由(3 )得 x 5, y m5于是得到4个可能极值点:Mi 5, 5 ; M 2 5, 5 ; M3庞 3馬 3 ; M 4 仁 3,75 3分别计算，有f Mi f M 2 450; f M 3 f M 4 150.可见点 M1或M 2可作为攀登的起点九、已知4阶方阵A无关，1 2 2 3，如果1 2

16、 3 4，求线性方程组AX 的通解.1, 2, 3, 4 1 , 2, 3, 4均为4维列向量，其中 2, 3, 4绻【详解1】XI令X X2 ，则由，XjX4得 X1 1 X2 2 X3 3 X4 4 1 2 3 4，将1 2 2 3代入上式，整理后得2X1 X2 3 2X1 X3 3X4 1 4 0由2, 3, 4线性无关，知2x1 X2 3 0X X 01 3X4 1 0解此方程组，得0 1x 3 k 2 ,其中k为任意常数01 0【详解2】3 0 4，知A的秩为3,因此Ax 0的基础解系中只为齐次线性方程组 Ax 0的一个解由2, 3, 4线性无关和 1 2 2包含一个向量12由 1

17、2 2 3 0 4 0，知10所以其通解为 x k , k为任意常数.10再由11112 3 411, 2, 3, 4 1A1,知1为非齐次线性方111111Ax 的一个特解于是 Ax 的通解为1 1其中k为任意常数1 2k1 1十、设A, B为同阶方阵,(1)如果A, B相似，试证A, B的特征多项式相等;(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;(3)当A, B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.【详解】(1 )若A, B相似,则存在可逆矩阵 P,使得P1APP 1APE A PA1,B1(2)令 A0但A, B不相似,否则，存在可逆矩阵P,使得BP 1AP P 1P E,

18、矛盾.(3 )由A, B均为实对称矩阵知， A, B均象素于对角阵，若 A, B得特征多项式相等，记特征多项式得根为 1,L, n，则有即存在可逆矩阵 P, Q，使于是1 iPQ 1 A PQ11P 1APOQ 1BQB.故A, B为相似矩阵.卜一、设随机变量 X的概率密度为1 cosx,2 2，对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于0,其他求丫 2的数学期望.【详解】 因为P X _3-1 x3 - cos - dx3 f x dx2sin Z |32 1所以YB 1, 14 2，从而2,4 12121 1,1np 42np 1 pE 丫 2 D Y E Y 2 1 22 5X0123P22 121 2十二、设总体 X的概率分布为X的如下样本值利用总体3, 1 , 3, 0, 3, 1, 2, 3,求其中 02是的矩估计值和最大似然估计值【详解】E X x,的矩估计值为对于给定的样本值,In L那么d In令 一dJ122,似然函数为P X1 3, X 2In 4d In0,解得7 131,21, X 326 In2 In117 13 ,12，不合题意，3, X 42 40, X 53, X 6 1, X 7 2, X8 34 In6 28 24 2故的最大似然估计值 7 J312