二次函数精选练习题及答案Word文档格式.docx
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11.求二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标()对称轴o
12.已知(―2,yi),(―l,y2),(2,y3)是二次函数y=x2—4x+m上的点,
则yl,y2,y3从小到大用“<
"
排列是.
13.(2011?
攀枝花)在同一平面内下列4个函数;
①y=2(x+1)2-1;
②y=2x2+3;
③y二
-2x2-1;
④y=x2/2-1的图象不可能由函数y=2x2+l的图象通过平移变换得到
的函数是・(把你认为正确的序号都填写在横线上)
14.
已知抛物线y=—〒+2x—1,它的图像在对称轴_(填“左侧”或“右侧”)
的部分是下降的
15.x人去旅游共需支出y元,若x.y之间满足关系式y=2x?
16.若抛物线y=x2-4x+k的顶点的纵坐标为n,则k■n的值为
17.若二次函数y=(x-m)2-l,当x〈l时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是
三、解答题
18・已知二次函数y=-2x2+Sx-6.
(1)求二次函数y=-2x2+8x-6的图象与两个坐标轴的交点坐标;
(2)在坐标平面上,横坐标与纵坐标都是整数的点(”y)称为整点.直接写出二次函数
y=-2x2+8x-6的图象与无轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数.
19.(8分)张大爷要围成一个矩形花圃・花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为
32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形
W
花圃
ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与X之间的函数关系式(不要求写岀自变量X的取值范围)
(2)当x为何值时,S有最大值并求出最大值.
20.如图,矩形ABCD中,AB=16cni,ADMcm,点P、Q分别从A、B同时出发,点P在边
AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以lcm/s的速度匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm'
)・
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求APIK)的面积的最大值.
于两个不同的点A(ifO).B(^0),与!
轴的交点为
(2)如果46恰好为0P的直径,且S岸加
值.
22・已知关于x的方程mx2+(3m+l)x+3=0(mH0)・
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值;
(3)在
(2)的条件下,将关于X的二次函数y=mx2+(3m+l)x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请结合这个新的图象回答:
当直线y=x+b与此图象有两个公共点时,b的取值范围.
23.已知点儿N的坐标分别为(0,1),(0,-1),点、P是抛物线y=—x2±
的一个动点.
4
(1)求证:
以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-l
的相切;
(2)设直线PM与抛物线y=-x2的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:
ZPNM=ZQNM.
24.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:
第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y=—x2+5x+90,
•10
投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价P甲、P乙(万元)均与X满足一次函数关系.(注:
年利润=年销售额-全部费用)
(1)成果表明,在甲地生产并销售x吨时,pk-丄X+14,请你用含x的代数式表示
20
甲地当年的年销售额,并求年利润W即(万元)与x之间的函数关系式;
(2)成果表明,在乙地生产并销售x吨时,p乙亠丄x+n(n为常数),且在乙地当年的
10
最大年利润为35万元.试确定n的值;
(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18
吨,根据
(1).
(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择v
八
在甲地还是乙地产销才能获得最大的年利润
o\
25.(12分)已知抛物线y=x~+bx+c经过A(・1,0),B(3,
0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.
(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)连接AC,CD,BD,BC,设△AOC,ABOC,ABCD的面积分别为S】,S?
和S3,用
等式表示S?
、S3之间的数量关系,并说明理由;
(3)点M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点M作MN〃BC交AC于点N,连接MC,是否存在点M使ZAMN=ZACM若存在,求岀点M的坐标和此时刻直线MN的解析式;
若不存在,请说明理由.
26.如图,抛物线y=ax'
+bx+c(aHO)经过点A
(・3,0)、B(1,0)、C(-2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似若存在,求点P的坐标;
如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角AAOB的斜边0B在x轴上,顶点A的坐标为(3,3),AD为斜边上的高.抛物线y=ax'
+2x与直线y=*x交于点0、C,点C的横坐标为6.点P在x轴的正半轴上,过点P作卩£
〃丫轴,交射线0A于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S.
27.求0A所在直线的解析式
28.求a的值
29.当mH3时,求S与m的函数关系式.
30.如图②,设直线PE交射线0C于点R,交抛物线于点Q.以RQ为一边,在RQ的右
侧作矩形RQMN,其中RN=—・直接写出矩形RQMN与AAOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.
参考答案
L【答案】B
【解析】分析:
根据函数图象平移的法则“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可.
解答:
解:
由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x?
先向左平移2个单位可得到抛物线y=3(x+2))
由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=3(x+2)$先向下平移1个单位可得到抛物线y=3
(x+2)J・
故选B.
点评:
本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
2・D【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题;
y=cvc2
y=ax1
当虑>
0时,向左平移k个单位b\2当&
<
0时,向右平移t个单位‘>
~w十代丿
y=ax1+h
当〃>
0时,向上平移|川个单位
当/«
0时.向下平移力个单位
所以将抛物线y=x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是y=(x-l)2+2,选D
3.D.【解析】试题分析:
将y二(x-1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为:
y=x2+3;
再向下平移3个单位为:
y=x2.故选D.
考点:
二次函数图象与几何变换.
4.C.【解析】试题分析:
由二次函数y=2(x—3尸+1,可知:
A.Va>
0,其图象的开口向上,故此选项错误;
B.•.•其图象的对称轴为直线x=3,故此选项错误;
C.其最小值为1,故此选项正确;
D.当x<
3时,y随x的增大而减小,故此选项错误.
二次函数的性质.
5.B【解析】试题分析:
因为抛物线开口向上,顶点P的坐标是(1,・3),所以二次函数
有最小值是-3.故选B.
二次函数的性质
6.C.【解析】试题分析:
抛物线y=x2-4x+6=(x-2)2+2的顶点坐标为(2,2),把点(2,2)向左平移1个单位,向上平移1个单位得到对应点的坐标为(1,3),所以平移后的新图象的函数表达式为y=(x-l)2+3.故选C.
7.B[解析】方法1,由平移的可逆性可知将y=x2-2x-3,的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位,所得图像为拋物线y=x2+bx+c的图像,又y=x2-2x-3的顶点坐标(1,-4)向左平移2个单位再向上平移3个单位,得到(-1,-1),:
.y=x2+bx+c=(x+1)2—1=x2+2x,即b=2,c=0;
(bb1
方法2,y=x2+bx+c的顶点一一,一向右平移2个单位再向下平移3个单位,
I24丿
bb‘—4c
得y=x2+bx+c的顶点(1,-4)即——+2=l「・b=2.=-4,/.c=0,故选B
24
8.(5,3).【解析】试题分析:
因为顶点式y=a(x・h)和匕其顶点坐标是(h,k),对照求二
次函数y=-2(x-5)2+3的顶点坐标(5,3).故答案是(5,3).
二次函数的顶点坐标.
9.(小于)
【解析】试题分析:
代入点(0,-1)(1,2)(2,3)有
c=-l,-l+b_l=2nb=4ny=-x2+4x-l
y=-x2+4x-l=-(x‘一4x+4)+3=-(x-2)‘+3,因为在0到1递增,所以yl的最
大值是2,y2的最小值是2,所以小于
二次函数解析式
本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递减规律的考查
10.y=-x2+2x+3(顶点式为y=-(%-1)2+4).
【解析】试题分析:
'
:
y=x2+2x+3=(x+l)2+2,:
.^点坐标为(・1,2),当x=0时,y=3,.・.与y轴的交点坐标为(0,3),.•.旋转180°
后的对应顶点的坐标为(1,4),旋转后的抛物线解析式为y=-(x-1)2+4=—亍+2x+3,即y=-x2+2x+3.
11.(1,-7)x=l
【解析】先把y=2x2-4x-5进行配方得到抛物线的顶点式y=2(x-1)2-7,根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴.
Vy=2x2-4x-5=2(x2-2x+l)-5=2(x-1)2-7,
•;
二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标为(1,-7),对称轴为x=l,
故答案为(1,-7),x=l.
12.y:
Ky2〈y】
【解析】由于点的坐标符合函数解析式,将点的坐标代入直接计算即可.
将(-2,y】),(-1,畀),(2,y:
D分别代入二次函数y=x2-4x+m得,
yi=(-2)JiX(-2)+m=12+m,y2=(-1)2-4X(-1)+m=5+n),ya=22-4X2+m=-4+m,
V12>
5>
-4,12+m>
5+m>
-4+m,.*.y1>
y2>
y3.
按从小到大依次排列为y3<
y2<
yi.
故答案为y3<
13.③,④
【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可.
二次项的系数不是2的函数有③④.故答案为③,④.
二次函数的变换问题.用到的知识点为二次函数的平移,不改变二次函数的比例系数.
14.右侧
【解析】本題实际是判断抛物线的增减性,根据解析式判断开口方向,结合对称轴回答问题.解:
丁抛物线y=-x2-2x+l中,a=-l<
0,抛物线开口向下,
抛物线图象在对称轴右侧,y随x的增大而减小(下降).
填:
右侧.
15.5【解析】考点:
二次函数的应用.
分析:
将y=2x2-20x+1050变形可得:
y=2(x-5)2+1000,根据二次函数的最值关系,问题可求.
由題意,旅游的支出与人数的多少有关系,
Vy=2x-20x+1050,
Ay=2(x-5)2+1000,
当x=5时,y值最小,最小为1000.
本題考查利用二次函数来求最值问題,将二次函数解析式适当变形即可.
16.4.【解析】试题解析:
•/y=x2-4x+k=(x-2)2+k-4,k-4=n,即k-n=4.
17.m$l.【解析】试题分析:
根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标,从而知该二次函数的自变量的取值范围.
试题解析:
•二次函数的解析式y=(x-m)2-1的二次项系数是1,
该二次函数的开口方向是向上;
又•••该二次函数的图象的顶点坐标是(m,・1),・•.当xWm时,即y随x的增大而减小;
而已知中当xVl时,y随x的增大而减小,.:
m$l.
18.
(1)(1,0)和(3,0)
(2)5
【解析】解:
(1)令x=0,则>,=_6,
•••二次函数y=—2F+8x—6的图象与y轴的交点坐标为(0,-6)・
令y=0,则y=-2x2+3x-69求得xk=l,x2=3,
•••二次函数y=_2T+8x—6的图象与X轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)
(2)5个.
19.
(1)S=-2x2+32x
(2)x=8时最大值是128
【解析】考点:
二次函数的应用。
在题目已设自变量的基础上,表示矩形的长,宽;
用面积公5^昭二次函数,用二垛
\E
解答:
(1)由题意,得S=AB?
BC=x(32-2x),AS=-2x2+32x<
(2)•:
沪-2<
0,.IS有最大值.•••x=-b/2a=-32/2X(-2)=8时,
有S«
A=(4ac-b2)/4a=-322/4X(-2)=128o
.・.x=8时,S有最大值,最大值是128平方米。
求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次项系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如y=-x'
-2x+5,y=3x2-6x+l等用配方法求解比用公式法简便。
20.
(1)y=-x2+8x,自变量取值范围:
0〈xW4;
(2)APBQ的面积的最大值为16cm2.
【解析】试題分析:
(1)根据矩形的对边相等表示出BC,然后表示出PB、QB,再根据三角形的面积列式整理即可得解,根据点Q先到达终点确定出x的取值范围即可;
(2)利用二次函数的最值问题解答.
(1)I四边形ABCD是矩形,ABC=AD=4,
根据题意,AP=2x,BQ=x,APB=16-2x,
丄PE•QB,y=-x2+8x自变量取值范围:
0<
xW4;
(2)当x=4时,y有最大值,最大值为16.•.△PBQ的面积的最大值为16cm2.
二次函数的最值.
21.
(1)(0,1);
(2)m=±
2.k=-l
(1)令沪0,代入抛物线解析式,即求得点C的坐标.由求根公式求得点A、B的横坐标,得到点A、B的横坐标的和与积,由相交弦定理求得OD的值,从而得到点D的坐标.
(2)当AB又恰好为OP的直径,由垂径定理知,点C与点D关于x轴对称,故得到点C的坐标及k的值.根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出AB线段的长,由三角形的面积公式表示出AABC的面积,可求得m的值.
(1)易求得点C的坐标为(0,k)
的两根,
由题设可知兀,X?
是方程(x+m)2+k-m2=0即x2+2mx+k=0
VOP与!
轴的另一个交点为D,由于AB、CD是G>
P的两条相交弦,设
它们的交点为点0,连结DB,
八小OAxOB卜严|\k\t
AAAOC^ADOC,则OD===1.
oc网H
由题意知点C在'
轴的负半轴上,从而点D在I轴的正半轴上,所以点D的坐标为(0,1);
(2)因为AB丄CD,AB又恰好为G>
P的直径,则C、D关于点0对称,
所以点C的坐标为(0,-1),即k=-l
又AB=一兀|=J(£
+xj'
一4兀%2=J(-2〃?
)'
-4k=2yjm2-k=2>
Jm2+1,
所以S.wc=-ABxOC=-x2J府+1x1=J5解得〃7=±
2.
一元二次方程求根公式,根与系数的关系,相交弦定理,垂径定理,三角形面积公式
本题知识点较多,综合性强,难度较大,是中考常见题,如何表示0D及AB的长是本题中解題的关键・
22.
(1)证明略;
(2)m=l;
(3)l<
b<
3,b>
—・
(1)求出根的判别式总是非负数即可;
(2)由求根公式求出两个解,令这两个解是整数求出m即可;
(3)先求出A.B的坐标,再根据图像得到b的取值范围.
试题解析:
(1)证明:
Vm^O,.\mx2+(3m+l)x+3=0是关于x的一元二次方程.
.•.A=(3m+l)2-12m=(3m-l)2.T(3m-l)2^0,•••方程总有两个实数根.
(2)
由求根公式,得xi=—3,x2=-丄・
m
•.•方程的两个根都是整数,且m为正整数,?
.m=l.
(3)解:
Vm=l时,Ay=x2+4x+3.
•:
抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A(-3,0)、B(-1,0).
依题意翻折后的图象如图所示.
当直线y=x+b经过A点时,可得b=3・当直线y=x+b经过B点时,可得b=l・•'
•I
3.
当直线y=x+b与y=—x2—4x—3的图象有唯一公共点时,可得x+b=—x2—4x—3,
.\x2+5x+3+b=0,AA=52-4(3+b)=0,b=—・Ab>
44
综上所述,b的取值范围是lVbV3,b>
-・
根的判别式,求根公式的应用,函数的图像.
23.
(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
(1)可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标,那么可得出PH的长的表达式,P点到y=-l的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值,那么可判断得出的表示PM和P到产-1的距离的两个式子是否相等,如果相等,则产-1是圆P的切线.
(2)可通过构建相似三角形来求解,过Q,P作QR丄直线y=-l,PII丄直线y=-l,垂足为R,H,那么QR〃MN〃PII,根据平行线分线段成比例定理可得出QM:
MP=RN:
NH.
(1)中已得出了PM=P11,那么同理可得出QM=QR,那么比例关系式可写成QR:
P1URN:
Nil,而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角,因此可求出ZQNR=ZPNH,根据等角的余角相等,可得出ZQNM=ZPNM.
(1)设点P的坐标为(Xo,|x2o),则P珂£
+
又因为点P到直线严-1的距离为,-X>
(-1)=-X2o+l
所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线产-1相切.
(2)如图,分别过点P,Q作直线产-1的垂线,垂足分别
为H,R.
由
(1)知,PH=PM,同理可得,QM=QR・
因为PH,MN,QR都垂直于直线y=-l,所以,PII〃MN〃QR,于是=—,所以逖=少,因此,RtAPHN^RtAQRN.
RNNHRNHN
于是ZHNP=ZRNQ,从而ZPNM=ZQNM.
二次函数综合题.
13
24・
(1)(-——x2+14x)万元;
w甲=-—x2+9x-90・
(2)n=15.(3)应选乙地.
2020
(1)依据年利润二年销售额-全部费用即可求得利润W甲(万元)与x之间的函数关系式;
(2)求出利润W乙(万元)与x之间的函数关系式,根据最大年利润为35万元.求出n的值;
(3)分别求出x=18时,W3和W己•的值,通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做岀选择.试题解析:
(1)甲地当年的年销售额为(-—x+14)?
x=(-丄x'
+14x)万元;
113
w(-一x'
+14x)-(—x2+5x+90)=-一x2+9x-90・
201020
(2)在乙地区生产并销售时,年利润:
w乙=-——x2+nx-(—x2+5x+90)=-—x2+(n-5)x-90.
10105
4ac-b24x(-7)x(-90)-(«
-5)2
由=:
=35,解得n=15或_5・
牝4x(-1)
经检验,n=-5不合题意,舍去,n=15.
(3)在乙地区生产并销售时,年利润
wz.=-ix2+10x-90,将x=18代入上式,得w^=25.2(万元);
将x=18代入\¥
甲=・一x2+9x-90,得w«
p=23.4(万元).
TW乙〉卄,应选乙地.
33
25.
(1)y=x2-2x-3,D(1,・4);
(2)S^+S^S^(3)M(y,0),y=x--.
(1)把A、B的坐标代入即可求出抛物线的解析式,用配方法把一般式化为顶