二次函数精选练习题及答案Word文档格式.docx
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11.求二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标（）对称轴o
12.已知（―2,yi）,（―l,y2）,（2,y3）是二次函数y=x2—4x+m上的点，
则yl,y2,y3从小到大用“<
"
排列是.
13.（2011?
攀枝花）在同一平面内下列4个函数；
①y=2（x+1）2-1；
②y=2x2+3；
③y二
-2x2-1；
④y=x2/2-1的图象不可能由函数y=2x2+l的图象通过平移变换得到
的函数是・（把你认为正确的序号都填写在横线上）
14.
已知抛物线y=—〒+2x—1,它的图像在对称轴_（填“左侧”或“右侧”）
的部分是下降的
15.x人去旅游共需支出y元，若x.y之间满足关系式y=2x?
16.若抛物线y=x2-4x+k的顶点的纵坐标为n,则k■n的值为
17.若二次函数y=（x-m）2-l,当x〈l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是
三、解答题
18・已知二次函数y=-2x2+Sx-6.
（1）求二次函数y=-2x2+8x-6的图象与两个坐标轴的交点坐标；
（2）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点（”y）称为整点.直接写出二次函数
y=-2x2+8x-6的图象与无轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数.
19.（8分）张大爷要围成一个矩形花圃・花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为
32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形
W
花圃
ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.
（1）求S与X之间的函数关系式（不要求写岀自变量X的取值范围）
（2）当x为何值时，S有最大值并求出最大值.
20.如图，矩形ABCD中，AB=16cni,ADMcm,点P、Q分别从A、B同时出发，点P在边
AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以lcm/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm'
）・
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;
（2）求APIK）的面积的最大值.
于两个不同的点A（ifO）.B（^0）,与！
轴的交点为
（2）如果46恰好为0P的直径，且S岸加
值.
22・已知关于x的方程mx2+（3m+l）x+3=0（mH0）・
（1）求证：
方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；
（3）在
（2）的条件下，将关于X的二次函数y=mx2+（3m+l）x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请结合这个新的图象回答：
当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
23.已知点儿N的坐标分别为（0,1）,（0,-1）,点、P是抛物线y=—x2±
的一个动点.
4
（1）求证：
以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-l
的相切;
（2）设直线PM与抛物线y=-x2的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证：
ZPNM=ZQNM.
24.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：
第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=—x2+5x+90,
•10
投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲、P乙（万元）均与X满足一次函数关系.（注：
年利润=年销售额-全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，pk-丄X+14,请你用含x的代数式表示
20
甲地当年的年销售额，并求年利润W即（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙亠丄x+n（n为常数），且在乙地当年的
10
最大年利润为35万元.试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18
吨，根据
（1）.
（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择v
八
在甲地还是乙地产销才能获得最大的年利润
o\
25.（12分）已知抛物线y=x~+bx+c经过A（・1,0）,B（3,
0）两点，与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接AC,CD,BD,BC,设△AOC,ABOC,ABCD的面积分别为S】，S?
和S3,用
等式表示S?
、S3之间的数量关系，并说明理由；
（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B）,过点M作MN〃BC交AC于点N,连接MC,是否存在点M使ZAMN=ZACM若存在，求岀点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；
若不存在，请说明理由.
26.如图,抛物线y=ax'
+bx+c（aHO）经过点A
（・3,0）、B（1,0）、C（-2,1）,交y轴于点M.
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似若存在，求点P的坐标；
如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角AAOB的斜边0B在x轴上，顶点A的坐标为（3,3）,AD为斜边上的高.抛物线y=ax'
+2x与直线y=*x交于点0、C,点C的横坐标为6.点P在x轴的正半轴上，过点P作卩£
〃丫轴，交射线0A于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S.
27.求0A所在直线的解析式
28.求a的值
29.当mH3时，求S与m的函数关系式.
30.如图②，设直线PE交射线0C于点R,交抛物线于点Q.以RQ为一边，在RQ的右
侧作矩形RQMN,其中RN=—・直接写出矩形RQMN与AAOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.
参考答案
L【答案】B
【解析】分析：
根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可.
解答：
解：
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x?
先向左平移2个单位可得到抛物线y=3（x+2））
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3（x+2）$先向下平移1个单位可得到抛物线y=3
（x+2）J・
故选B.
点评：
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
2・D【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题；
y=cvc2
y=ax1
当虑>
0时，向左平移k个单位b\2当&
<
0时，向右平移t个单位‘>
~w十代丿
y=ax1+h
当〃>
0时，向上平移|川个单位
当/«
0时.向下平移力个单位
所以将抛物线y=x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是y=（x-l）2+2,选D
3.D.【解析】试题分析：
将y二（x-1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：
y=x2+3；
再向下平移3个单位为：
y=x2.故选D.
考点：
二次函数图象与几何变换.
4.C.【解析】试题分析：
由二次函数y=2（x—3尸+1,可知：
A.Va>
0,其图象的开口向上，故此选项错误；
B.•.•其图象的对称轴为直线x=3,故此选项错误；
C.其最小值为1,故此选项正确；
D.当x<
3时，y随x的增大而减小，故此选项错误.
二次函数的性质.
5.B【解析】试题分析：
因为抛物线开口向上，顶点P的坐标是（1,・3）,所以二次函数
有最小值是-3.故选B.
二次函数的性质
6.C.【解析】试题分析：
抛物线y=x2-4x+6=（x-2）2+2的顶点坐标为（2,2）,把点（2,2）向左平移1个单位，向上平移1个单位得到对应点的坐标为（1,3）,所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x-l）2+3.故选C.
7.B［解析】方法1,由平移的可逆性可知将y=x2-2x-3，的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得图像为拋物线y=x2+bx+c的图像，又y=x2-2x-3的顶点坐标（1,-4）向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到（-1,-1）,:
.y=x2+bx+c=（x+1）2—1=x2+2x,即b=2,c=0；
（bb1
方法2,y=x2+bx+c的顶点一一，一向右平移2个单位再向下平移3个单位,
I24丿
bb‘—4c
得y=x2+bx+c的顶点（1,-4）即——+2=l「・b=2.=-4,/.c=0,故选B
24
8.（5,3）.【解析】试题分析：
因为顶点式y=a（x・h）和匕其顶点坐标是（h,k），对照求二
次函数y=-2（x-5）2+3的顶点坐标（5,3）.故答案是（5,3）.
二次函数的顶点坐标.
9.（小于）
【解析】试题分析:
代入点（0,-1）（1,2）（2,3）有
c=-l,-l+b_l=2nb=4ny=-x2+4x-l
y=-x2+4x-l=-（x‘一4x+4）+3=-（x-2）‘+3,因为在0到1递增，所以yl的最
大值是2,y2的最小值是2,所以小于
二次函数解析式
本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递减规律的考查
10.y=-x2+2x+3（顶点式为y=-（%-1）2+4）.
【解析】试题分析：
'
：
y=x2+2x+3=（x+l）2+2,：
.^点坐标为（・1,2）,当x=0时，y=3,.・.与y轴的交点坐标为（0,3）,.•.旋转180°
后的对应顶点的坐标为（1,4）,旋转后的抛物线解析式为y=-（x-1）2+4=—亍+2x+3,即y=-x2+2x+3.
11.（1,-7）x=l
【解析】先把y=2x2-4x-5进行配方得到抛物线的顶点式y=2（x-1）2-7,根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴.
Vy=2x2-4x-5=2（x2-2x+l）-5=2（x-1）2-7,
•；
二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标为（1,-7）,对称轴为x=l,
故答案为（1,-7）,x=l.
12.y：
Ky2〈y】
【解析】由于点的坐标符合函数解析式，将点的坐标代入直接计算即可.
将（-2,y】），（-1,畀），（2,y：
D分别代入二次函数y=x2-4x+m得，
yi=（-2）JiX（-2）+m=12+m,y2=（-1）2-4X（-1）+m=5+n）,ya=22-4X2+m=-4+m,
V12>
5>
-4,12+m>
5+m>
-4+m,.*.y1>
y2>
y3.
按从小到大依次排列为y3<
y2<
yi.
故答案为y3<
13.③，④
【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可.
二次项的系数不是2的函数有③④.故答案为③，④.
二次函数的变换问题.用到的知识点为二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数.
14.右侧
【解析】本題实际是判断抛物线的增减性，根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题.解：
丁抛物线y=-x2-2x+l中，a=-l<
0,抛物线开口向下,
抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）.
填：
右侧.
15.5【解析】考点：
二次函数的应用.
分析：
将y=2x2-20x+1050变形可得：
y=2（x-5）2+1000,根据二次函数的最值关系，问题可求.
由題意，旅游的支出与人数的多少有关系,
Vy=2x-20x+1050,
Ay=2（x-5）2+1000,
当x=5时，y值最小，最小为1000.
本題考查利用二次函数来求最值问題，将二次函数解析式适当变形即可.
16.4.【解析】试题解析：
•/y=x2-4x+k=（x-2）2+k-4,k-4=n,即k-n=4.
17.m$l.【解析】试题分析：
根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的自变量的取值范围.
试题解析：
•二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1,
该二次函数的开口方向是向上；
又•••该二次函数的图象的顶点坐标是（m,・1）,・•.当xWm时，即y随x的增大而减小；
而已知中当xVl时，y随x的增大而减小，.：
m$l.
18.
（1）（1,0）和（3,0）
（2）5
【解析】解：
（1）令x=0，则＞,=_6,
•••二次函数y=—2F+8x—6的图象与y轴的交点坐标为（0,-6）・
令y=0,则y=-2x2+3x-69求得xk=l,x2=3,
•••二次函数y=_2T+8x—6的图象与X轴的交点坐标为（1,0）和（3,0）
（2）5个.
19.
（1）S=-2x2+32x
（2）x=8时最大值是128
【解析】考点：
二次函数的应用。
在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；
用面积公5^昭二次函数，用二垛
\E
解答:
（1）由题意，得S=AB?
BC=x（32-2x）,AS=-2x2+32x<
（2）•:
沪-2<
0,.IS有最大值.•••x=-b/2a=-32/2X（-2）=8时,
有S«
A=（4ac-b2）/4a=-322/4X（-2）=128o
.・.x=8时，S有最大值，最大值是128平方米。
求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x'
-2x+5,y=3x2-6x+l等用配方法求解比用公式法简便。
20.
（1）y=-x2+8x,自变量取值范围：
0〈xW4；
（2）APBQ的面积的最大值为16cm2.
【解析】试題分析：
（1）根据矩形的对边相等表示出BC,然后表示出PB、QB,再根据三角形的面积列式整理即可得解，根据点Q先到达终点确定出x的取值范围即可；
（2）利用二次函数的最值问题解答.
（1）I四边形ABCD是矩形,ABC=AD=4,
根据题意,AP=2x,BQ=x,APB=16-2x,
丄PE•QB,y=-x2+8x自变量取值范围：
0<
xW4；
（2）当x=4时，y有最大值，最大值为16.•.△PBQ的面积的最大值为16cm2.
二次函数的最值.
21.
（1）（0,1）；
（2）m=±
2.k=-l
（1）令沪0,代入抛物线解析式，即求得点C的坐标.由求根公式求得点A、B的横坐标，得到点A、B的横坐标的和与积，由相交弦定理求得OD的值，从而得到点D的坐标.
（2）当AB又恰好为OP的直径，由垂径定理知，点C与点D关于x轴对称，故得到点C的坐标及k的值.根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出AB线段的长，由三角形的面积公式表示出AABC的面积，可求得m的值.
（1）易求得点C的坐标为（0,k）
的两根,
由题设可知兀，X?
是方程（x+m）2+k-m2=0即x2+2mx+k=0
VOP与！
轴的另一个交点为D,由于AB、CD是G>
P的两条相交弦，设
它们的交点为点0,连结DB,
八小OAxOB卜严|\k\t
AAAOC^ADOC,则OD===1.
oc网H
由题意知点C在'
轴的负半轴上，从而点D在I轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0,1）；
（2）因为AB丄CD,AB又恰好为G>
P的直径，则C、D关于点0对称，
所以点C的坐标为（0,-1）,即k=-l
又AB=一兀|=J（£
+xj'
一4兀％2=J（-2〃?
）'
-4k=2yjm2-k=2>
Jm2+1,
所以S.wc=-ABxOC=-x2J府+1x1=J5解得〃7=±
2.
一元二次方程求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，垂径定理，三角形面积公式
本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，如何表示0D及AB的长是本题中解題的关键・
22.
（1）证明略；
（2）m=l；
（3）l<
b<
3,b>
—・
（1）求出根的判别式总是非负数即可；
（2）由求根公式求出两个解，令这两个解是整数求出m即可;
（3）先求出A.B的坐标，再根据图像得到b的取值范围.
试题解析:
（1）证明:
Vm^O,.\mx2+（3m+l）x+3=0是关于x的一元二次方程.
.•.A=（3m+l）2-12m=（3m-l）2.T（3m-l）2^0,•••方程总有两个实数根.
（2）
由求根公式，得xi=—3,x2=-丄・
m
•.•方程的两个根都是整数，且m为正整数，?
.m=l.
（3）解：
Vm=l时，Ay=x2+4x+3.
•：
抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（-3,0）、B（-1,0）.
依题意翻折后的图象如图所示.
当直线y=x+b经过A点时，可得b=3・当直线y=x+b经过B点时，可得b=l・•'
•I
3.
当直线y=x+b与y=—x2—4x—3的图象有唯一公共点时，可得x+b=—x2—4x—3,
.\x2+5x+3+b=0,AA=52-4（3+b）=0,b=—・Ab>
44
综上所述，b的取值范围是lVbV3,b>
-・
根的判别式，求根公式的应用，函数的图像.
23.
（1）证明见解析.
（2）证明见解析.
（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PH的长的表达式，P点到y=-l的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到产-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则产-1是圆P的切线.
（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q,P作QR丄直线y=-l,PII丄直线y=-l,垂足为R,H,那么QR〃MN〃PII,根据平行线分线段成比例定理可得出QM：
MP=RN：
NH.
（1）中已得出了PM=P11,那么同理可得出QM=QR,那么比例关系式可写成QR：
P1URN：
Nil,而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出ZQNR=ZPNH,根据等角的余角相等，可得出ZQNM=ZPNM.
（1）设点P的坐标为（Xo,|x2o）,则P珂£
+
又因为点P到直线严-1的距离为，-X>
（-1）=-X2o+l
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线产-1相切.
（2）如图，分别过点P,Q作直线产-1的垂线，垂足分别
为H,R.
由
（1）知，PH=PM,同理可得，QM=QR・
因为PH,MN,QR都垂直于直线y=-l,所以，PII〃MN〃QR,于是=—,所以逖=少，因此，RtAPHN^RtAQRN.
RNNHRNHN
于是ZHNP=ZRNQ,从而ZPNM=ZQNM.
二次函数综合题.
13
24・
（1）（-——x2+14x）万元；
w甲=-—x2+9x-90・
（2）n=15.（3）应选乙地.
2020
（1）依据年利润二年销售额-全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式;
（2）求出利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元.求出n的值；
（3）分别求出x=18时，W3和W己•的值，通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做岀选择.试题解析：
（1）甲地当年的年销售额为（-—x+14）?
x=（-丄x'
+14x）万元；
113
w（-一x'
+14x）-（—x2+5x+90）=-一x2+9x-90・
201020
（2）在乙地区生产并销售时，年利润：
w乙=-——x2+nx-（—x2+5x+90）=-—x2+（n-5）x-90.
10105
4ac-b24x（-7）x（-90）-（«
-5）2
由=:
=35,解得n=15或_5・
牝4x（-1）
经检验，n=-5不合题意，舍去，n=15.
（3）在乙地区生产并销售时，年利润
wz.=-ix2+10x-90,将x=18代入上式，得w^=25.2（万元）；
将x=18代入\¥
甲=・一x2+9x-90,得w«
p=23.4（万元）.
TW乙〉卄，应选乙地.
33
25.
（1）y=x2-2x-3,D（1,・4）；
（2）S^+S^S^（3）M（y,0）,y=x--.
（1）把A、B的坐标代入即可求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶
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