学年高中数学 331几何概型教学案 必修3docWord文件下载.docx
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问题:
在下列两种情况下分别求甲获胜的概率.
二、建立模型
1.提出问题
首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系,若有关系,和几何体图形的什么表面特征有关系?
学生凭直觉,可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关.即:
字母B所在扇形弧长(或面积)与整个圆弧长(或面积)的比.接着提出这样的问题:
变换图中B与N的顺序,结果是否发生变化?
(教师还可做出其他变换后的图形,以示决定几何概率的因素的确定性).
题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关,我们就说它是几何概型.
注意:
(1)这里“只”非常重要,如果没有“只”字,那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关,这是错误的.
(2)正确理解“几何因素”,一般说来指区域长度(或面积或体积).
2.引导学生讨论归纳几何概型定义,教师明晰———抽象概括
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
3.再次提出问题,并组织学生讨论
(1)情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少?
(2)在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
(3)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10min的概率.
通过以上问题的研讨,进一步明确几何概型的意义及基本计算方法.
三、典型例题
1.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:
30~7:
30之间把报纸送到你家,而你父亲离开家去工作的时间在早上7:
00~8:
00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少.
分析:
我们有两种方法计算事件的概率.
(1)利用几何概型的公式.
(2)利用随机模拟的方法.
解法1:
如图,方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在方形内任一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以
解法2:
设X,Y是0~1之间的均匀随机数.X+6.5表示送报人送到报纸的时间,Y+7表示父亲离开家去工作的时间.如果Y+7>X+6.5,即Y>X-0.5,那么父亲在离开家前能得到报纸.用计算机做多次试验,即可得到P(A).
教师引导学生独立解答,充分调动学生自主设计随机模拟方法,并组织学生展示自己的解答过程,要求学生说明解答的依据.教师总结,并明晰用计算机(或计算器)产生随机数的模拟试验.强调:
这里采用随机数模拟方法,是用频率去估计概率,因此,试验次数越多,频率越接近概率.
2.如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率的值.
解:
随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即
假设正方形的边长为2,则
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以
这样就得到了π的近似值.
另外,我们也可以用计算器或计算机模拟,步骤如下:
(1)产生两组0~1区间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;
(2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;
(3)数出落在圆内a2+b2<1的豆子数N1,计算
(N代表落在正方形中的豆子数).
可以发现,随着试验次数的增加,得到π的近似值的精度会越来越高.
本例启发我们,利用几何概型,并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积.
[练 习]
1.如图30-4,如果你向靶子上射200镖,你期望多少镖落在黑色区域.
2.利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分(y=1和y=x2围成的部分)的面积.
3.画一椭圆,让学生设计方案,求此椭圆的面积.
作业:
课本
3.3.1几何概型
课前预习学案
一、预习目标
1.了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.
二、预习内容
1.,简称为几何概型.
2.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
3.讨论:
(2)在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标:
了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.
学习重点与难点:
几何概型的计算方法.
二、学习过程:
例1.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:
例2.如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率的值.
用计算器或计算机模拟,步骤如下:
(1)
(2)
(3)
三、反思总结
1、数学知识:
2、数学思想方法:
四、当堂检测
一、选择题
1.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长
都不小于1m的概率是.
A.
B.
C.
D.不确定
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上
车的概率是
D.
3.在1万km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油,假如在海域中任意
一点钻探,钻到油层面的概率是.
二、填空题
1.如下图,在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形,
向大正方形内随机投点,则所投的点落入小正方形内的概率是________.
2.如下图,在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为
a与
a,高为b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为________.
三解答题
1在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM的长小于AC的长的概率.
答案一、选择题
1.B2.A3.C
1.
2.
三、解答题解:
在AB上截取AC′=AC,于是P(AM<AC)=P(AM<
)
=
答:
AM的长小于AC的长的概率为
.
课后练习与提高
1.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2m的概率是________.
2.如下图,在直角坐标系内,射线OT落在60°
的终边上,任作一条射线OA,则射线落在∠xOT内的概率是________.
3.如下图,在半径为1的半圆内,放置一个边长为
的正方形ABCD,向半圆内任投一点,该点落在正方形内的概率为_________.
4.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?
答案1.
2.
3.
4解:
取出10mL麦种,其中“含有病种子”这一事件记为A,
则P(A)=
含有麦锈病种子的概率为