教你怎么利用数学概率购买彩票Word格式.docx

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完成一件事,有n类法子,在第一类法子中有m1种分歧的方法,在第二类法子中有m2种分歧的方法,……,在第n类法子中有mn种分歧的方法.那么,完成这件事共有

N＝m1十m2十……十mn

种分歧的方法.

　　再看下面的问题：

　　从甲地到丙地必需经过乙地,从甲地到乙地有A,B,C,D四条路途；

从乙地到丙地有H,I,J三条路途.问从甲地到丙地共有几种走法？

　　因为从甲地到乙地有4种走法,而采纳每一种走法走到乙地后,又可有3种走法到丙地.所以共有4*3=12种分歧的走法.

　　乘法原则：

完成一件事,有n个步伐,第一步有m1种分歧的方法,第二步有m2种分歧的方法,……,第n步有mn种分歧的方法,必需通过每一步伐,才算完成这件事,那么完成这件事共有N＝m1×

m2×

……×

mn种分歧的方法.

　　思考题：

　　1,一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成,另有4人会用第二种方法完成.选出1人来完成这件工作,共有几多种方法？

　　2,一件工作要通过两个步伐完成,第一个步伐有5种方法可以完成,第二个步伐有4种方法可以完成.问完成这件工作共有几种方法？

第二讲 

排列

（一）排列的概念

　　关于排列,我们先看下面的例子：

　　例：

由数字1,2,3,4可以组成几多个没有重复数字的三位数?

题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字.根据题意.

　　第一步,先确定百位上的数字.在1,2,3,4这四个数字中任取一个,共有4种方法；

假设我们取3作为百位数.

　　第二步,确定十位上的数字.当百位上的数字确定以后,十位上的数字只能从余下的三个数字中1,2,4中去取,共有3种方法；

假设我们取2作为十位数.

　　第三步,确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定以后,个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取,共有2种方法.

　　根据乘法原理,从四个分歧的数字中,每次取出三个排成三位数的方法共有4×

3×

2＝24种.就是说,共可以排成24个分歧的三位数.

　　界说1：

一般地说,从n个分歧元素中,任取m（m＜＝n）个元素（这里只研究被取出的元素各不相同的情况）,依照一定的顺序排成一列,叫做从n个分歧元素中取出个m元素的一个排列.

　　从排列的界说知道,如果两个排列相同,不单这两个排列的元素相同,而且排列的顺序也必需完全相同.如果所取的元素不完全相同,如问题中的三位数“123”和“321”,虽然它们的元素相同,但排列顺序分歧,也是两个分歧的排列.

　　由数字0,1,2,3,4可以组成几多个没有重复数字的三位数?

第三讲 

排列

（二）有重复的排列

　　上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素,可是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题,所以有需要对此作一下讨论.

　　在界说前,我们先看一下下面的例子：

由1－9这九个数字,共可组成几多个六位数？

（每个位置上的数字可以重复）

1,先确定十万位上的数字.在1－9这九个数字中任取一个,共有9种方法.

　　2,确定万位上的数字.在1－9这九个数字中任取一个,还是有9种方法.

　　3,千位,百位,十位和个位上的数字取法如上,都为9种.

　　4,根据乘法原理,共有9×

9×

9＝531441种取法.

　　界说2：

一般地说,从n个分歧元素中,任取m（m＜＝n）个元素（元素可以重复）,依照一定的顺序排成一列,叫做有重复的排列.

　　在我们身边,“数字型彩票”就是属于有重复的排列.它的游戏规则年夜家肯定不会陌生,是从0－9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数,然后从0－4这5个数字中任取1个数字作为特别名码.只不外这个六位数和数学意义上的六位数有些分歧,它允许0作为十万位上的数字.

　　由上述的界说2,不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有

　　特别名码个数×

106种 

即五百万个分歧的开奖号码.

第四讲 

排列（三）排列数的计算公式

　　前面两讲中我们讨论的是一些比力简单的排列问题,可以用穷举的方法来解决.但对一些相对较复杂的问题,就不能这样做了,需要根据具体的计算公式来解答.

　　界说3：

从n个分歧元素中,任取m（m＜＝n）个元素的所有排列的个数,叫做从n个分歧元素中取出m个元素的排列数,用符号P（m,n）暗示.

　　例如：

从5个分歧元素中取出3个元素的排列数暗示为P（3,5）.

　　求排列数P（m,n）可以这样考虑：

设有n个元素m1,m2,...,mn从其中先任选1个元素排在第一个位置,因为m1,m2,...,mn中任选1个都可以,所以有n种方法；

　　排在第二个位置的元素,是除选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个,所以有n-1种方法；

　　这样下去,选第三个,第四个......第m个位置的元素的方法,数目分别是n-2,n-3,...,n-（m-1）.

　　根据乘法原则,它们的总数是这m个排列方法的数目的积,即n（n-1）（n-2）*...*（n-m+1）,所以

　　P（m,n）=n（n-1）（n-2）*...*（n-m+1）.这里m<

=n.

　　这就是说,从n个元素中每次取出m个元素,所有的排列总数即是m个连续自然数的积,其中最年夜的一个数是n,这个公式叫做排列数公式.

　　当m=n时,叫做n个分歧元素的全排列.

计算排列数P（2,4）,P（4,6）,P（7,7）

第五讲 

排列（四）排列数计算公式的应用

学习了排列数的计算后,我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题.看一下下面的这两个例子.

　　例1：

红,黄,蓝三种颜色分歧的旗,按分歧的次第排成一列暗示信号,可以单用一面,或两面,三面并用,问一共可以暗示几多分歧的信号？

一面组成的信号有P（1,3）种；

　　　　两面组成的信号有P（2,3）种；

　　　　三面组成的信号有P（3,3）种.

　　根据加法原则,得：

　　P（1,3）+P（2,3）+P（3,3）=3+3*2+3*2*1=15（种）

　　例2：

有一分,两分,五分的硬币各若干枚.从中挑出1-3枚硬币暗示一种代号.可以只用一枚,也可用两枚,也可用三枚,允许重复挑选.问一共有几多种分歧的代号？

这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决.

　　一枚暗示的代号有31种,

　　两枚暗示的代号有32种,

　　三枚暗示的代号有33种.

31+32+33=3+9+27=39（种）

在设置德律风卡的密码时,可以从0-9这十个数字选取,组成一个密码（密码至少要有四位,五位也可以,最多不超越六位）.问一共有几多个分歧的密码？

（按有重复数字和无重复数字两种情况讨论）

第六讲 

组合

（一）组合的性质

　　让我们先看一下下面的例子：

北京--天津--上海三个民航站的直达航线,一共有几种分歧的飞机票价？

因为北京--上海,上海--南京,南京--北京三条航线的距离各不相同,所以有3种分歧的飞机票价.

　　这个问题与需要准备几种分歧的飞机票是分歧的.飞机票的总数,与两个城市的先后顺序有关,这是一个排列问题；

而票价只与两个城市的距离有关,与两个城市的先后顺序无关,因此可以看作是从三个分歧的元素中任选两个,不论怎样的顺序并成一组,求一共有几多个分歧的组,这就是我们要研究的组合问题.

界说：

一般地说,从n个分歧元素里,每次取出m（1<

=m<

=n）个元素,不论怎样的顺序并成一组,叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合.

从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合,就是指下列三种组合ab,ac,bc.

由组合的界说可以知道,如果两种组合里所含的元素完全一样,只是排列的顺序分歧,如ab和ba,那么它们仍是相同的组合.

　　由此可知,组合和排列是分歧的.排列和元素排列的顺序有关,可是组合和这种顺序没有关系.

　　1,从2,3,5,7,11,13这六个数中,每次取出3个数相乘.问可以获得几多个分歧的积？

　　2,一分,二分,五分硬币各一枚,一共可以组成几多种分歧的币值？

　第七讲 

组合

（二）组合数的计算公式

　　由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦,所以我们这里略去复杂的推导过程,直接给出组合数的计算公式.

　　界说：

从n个分歧元素中取出m（m<

=n）个元素的所有组合的个数,叫做从n个分歧元素中取出m个元素的组合数,用C（m,n）暗示.

　　C（m,n）=n*（n-1）*...*（n-m+1）/（1*2*...*m）

　　当m=n时,C（m,n）=1.

　　让我们来看下面这个例题：

有七个人进行乒乓球角逐,采纳单循环制,即每两人之间要进行一场角逐.问共要进行几多场角逐？

这个问题同即是从7个分歧的元素中选取2个元素的所有组合个数.

　　所以角逐场数即是C（2,7）=7*...*（7-2+1）/（1*2）=7*6/2=21

袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,要求取出的顺序为黑白黑.问共有几多种这样的顺序？

第八讲 

组合（三）组合的推广

　　界说1:

若r1+r2+......+rk=n,把n个分歧的元素分成k个部份,第一部份r1个,第二部份r2个,......,第k部份rk个,则分歧的分法有：

　　n!

/（r1!

*r2!

*......*rk!

）种

　　这里n!

叫做n的阶层,它的值为n！

=1*2*......*n；

　　界说2:

若n个元素中有n1个具有特性“1”,n2个具有特性“2”,......,nk个具有特性“k”,且n1＋n2＋......＋nk＝n,从这n个元素中取出r个,使得具有特性“i”的元素有ri个（1<

=i<

=k）,而r1＋r2＋......＋rk＝r,这时分歧的取法的总数为：

　　C（r1,n1）*C（r2,n2）*......*C（rk,nk）,这里要求ri<

=ni.

有10个砝码,其重量分别为1克,2克,......,10克,从中取出三个；

要求取出的三个砝码,一个小于5克,一个即是5克,一个年夜于5克.问共有几多种分歧的取法？

由上述的界说2,我们认为1克－4克的砝码具有特性“1”,5克的砝码具有特性“2”,6克－10克的砝码具有特性“3”.从这10个砝码中取出三个,具有特性“1”、特性“2”、特性“3”的各取一个,则分歧取法总数为：

　　C（1,4）*C（1,1）*......*C（1,5）＝4*1*5＝20（种）

　　在一个装有n只白球,n只黑球,n只红球的袋中,任取m只球,要求取出的m只球中有m1只白球,m2只黑球,m3只红球（m1+m2+m3=m）,问共有几多种分歧的取法？