安徽省高考数学试卷理科答案与解析.doc
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2009年安徽省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．
【解答】解：
∵===﹣1+3i
=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．
故选B．
【点评】本题考查两个复数相除的方法，以及两个复数相等的充要条件的应用．
2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（ ）
A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}
C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】综合题．
【分析】集合A中的绝对值不等式可利用讨论2x﹣1的正负得到一个不等式组，求出不等式组的解集即可得到集合A；集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x﹣3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组，分别求出解集即可得到集合B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：
∵|2x﹣1|＜3，
∴﹣3＜2x﹣1＜3，即，
∴﹣1＜x＜2，
又∵＜0，
∴（2x+1）（x﹣3）＞0，即或，
∴x＞3或x＜﹣，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}．
故选D
【点评】此题是以绝对值不等式和其他不等式的解法为平台，考查了求交集的运算，是一道中档题．
3．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．
【解答】解：
选项A中a=，b=2，c==，e=排除．
选项B中a=2，c=，则e=符合题意
选项C中a=2，c=，则e=不符合题意
选项D中a=2，c=则e=，不符合题意
故选B
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．
4．（5分）（2009•安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：
a+c＞b+d，q：
a＞b且c＞d
B．p：
a＞1，b＞1，q：
f（x）=ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：
x=1，q：
x=x2
D．p：
a＞1，q：
f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
【专题】简易逻辑．
【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断，从而求解．
【解答】解：
A、∵q：
a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件，故A正确；
B、∵p：
a＞1，b＞1，∴f（x）=ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b=1，a＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；
C、∵x=1，∴x=x2，但当x=0时，x=x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；
D、∵a＞1，∴f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q的充要条件，故D错误；
故选A．
【点评】本小题主要考查了命题的基本关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．
5．（5分）（2009•安徽）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．
【解答】解：
设{an}的公差为d，由题意得
a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①
a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②
由①②联立得a1=39，d=﹣2，
∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，
故当n=20时，Sn达到最大值400．
故选：
B．
【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．
6．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【分析】根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x的值与a的值的大小关系，当x≥a时，y≤0，当x≤a时，y≥0，据此即可解决问题．
【解答】解：
∵y=（a﹣x）（x﹣b）2
∴当x≥a时，y≤0，
故可排除A、D；
又当x≤a时，y≥0，
故可排除C；
故选B．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及数形结合的数学思想方法，属于容易题．
7．（5分）（2009•安徽）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据约束条件：
，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．
【解答】解：
满足约束条件：
，平面区域如图示：
由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，
当x=，y=时，代入直线的方程得：
k=，
故选A．
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
8．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z
C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．
【解答】解：
f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．
∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，
∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．
故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法．求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式在进行解题．
9．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程是（ ）
A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．
【解答】解：
∵f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1
∴f′（1+x）=﹣2f′（1﹣x）﹣2x+3
∴f′
（1）=﹣2f′
（1）+3
∴f′
（1）=1
f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1
∴f
（1）=2f
（1）+1
∴f
（1）=﹣1
∴切线方程为：
y+1=x﹣1即x﹣y﹣2=0
故选A
【点评】本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．
10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．
【解答】解：
甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，
共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，
因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，
这是一个古典概型，所以所求概率为=，
故选D．
【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2009•安徽）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）= ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；作图题．
【分析】由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ≤μ）的值．
【解答】解：
∵ζ服从正态分布N（μ，σ2），
根据正态密度曲线的对称性可得
∴曲线关于x=μ对称，P（X≤μ）=
选填：
．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
12．（2009•安徽）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为（ρ∈R），它与曲线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|= ．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】直线与圆．
【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．
【解答】解：
直线的极坐标方程为（ρ∈R），化为直角坐标方程为x﹣y=0．
曲线（α为参数）的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，表示以（1，2）为圆心，半径等于2的圆．
求得弦心距d==，故弦长为2=2=，
故答案为．
【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
13．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 127 ．
【考点】设计程序框图解决实际问题．菁优网版权所有
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是利用循环计算a值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．
【解答】解：
程序在运行过程中各变量的值如下表示：
a是否继续循环
循环前1/
第一圈3是
第二圈7是
第三圈15是
第四圈31是
第五圈63是
第六圈127
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