《概率论与数理统计》期末考试B卷附参考答案.docx
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《概率论与数理统计》期末考试B卷附参考答案
期末考试
《概率论与数理统计》试卷B卷
注意事项：
1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2.可使用计算器，解答就答在试卷上；
3．考试形式：
闭卷；
4.本试卷共五大题，满分100分。
考试时间120分钟。
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
评卷人
、判断题（10分，每题2分）
1.在古典概型的随机试验中，P（A）0当且仅当A是不可能事件.（）2．连续型随机变量的密度函数f（x）与其分布函数F（x）相互唯一确定.（）
3．若随机变量X与Y独立，且都服从p0.1的（0，1）分布，则XY.（）
4．设X为离散型随机变量,且存在正数k使得P（Xk）0，则X的数学期望
E（X）未必存在.（）
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第二类
错误的概率不能同时减少.（）、选择题（15分，每题3分）
1.设每次试验成功的概率为p（0p1），重复进行试验直到第n次才取得r（1rn）
次成功的概率为
r1rnrａ）Cnr11pr（1p）nr；
r1r1nr1
Cnr11pr1（1p）nr1；
2.离散随机变量X的分布函数为F（x），且xk1xkxk1，则P（Xxk）
3.设随机变量X服从指数分布，则随机变量Ymax（X,2003）的分布函数
（ａ）是连续函数；（ｂ）恰好有一个间断点；
（ｃ）是阶梯函数；（ｄ）至少有两个间断点.
4.设随机变量（X,Y）的方差D（X）4,D（Y）1,相关系数XY0.6,则方差
D（3X2Y）.
（ａ）40；（ｂ）34；（ｃ）25.6；（ｄ）17.6.
5.设（X1,X2,,Xn）为总体N（1,22）的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是.
ａ）X1~t（n）；
2/n
1n2
ｂ）1（Xi1）2~F（n,1）；
4i1
X1
X1~N（0,1）；2/n
1n
ｄ）1（Xi1）2~2（n）.
4i1
1.一批电子元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取一个,则第二次才取到正品的概率为.
X
2.设连续随机变量的密度函数为f（x），则随机变量Y3e的概率密度函数为fY（y）
3.设X为总体X~N（3,4）中抽取的样本（X1,X2,X3,X4）的均值,则
P（1X5）＝
则条件密度函数为
当时fYX（yx）
5.设X~t（m）,则随机变量YX2服从的分布为（需写出自由度）.
2
6.设某种保险丝熔化时间X~N（,2）（单位：
秒），取n16的样本，得样本均值和方
差分别为X15,S20.36，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为
7.设X的分布律为
X
1
2
3
2
2
22
P22
（1）
（1）2
已知一个样本值（x1,x2,x3）（1,2,1），则参数的极大似然估计值为.
四、计算题（40分，每题8分）
1.已知一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；
一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格
品的概率.
2．设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为,（）的指数分布，试求
Z3X2Y的密度函数fZ（z）.
1的泊松分布.
52周）售出该商品
求常数k,使
3．某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内（件数在50件到70件之间的概率.
2
4．设总体X~N（,2），（X1,X2,,Xn）为总体X的一个样本.
n
kXiX为的无偏估计量.
5．
（1）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X~N（,2）（单位：
kg）.已知8kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值x575.2kg.问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg？
（5%）
2
2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N（,0.0482）.某日抽取5个样品，测
得其纤度为:
1.31，1.55，1.34，1.40，1.45.
问这天的纤度的总体方差是否正常？
试用10%作假设检验.
五、证明题（7分）
设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B（1,p）.试证明随机变量XY与Z相互独立.
参考答案
一.判断题
1.是.在几何概型中，命题“P（A）0当且仅当A是不可能事件”是不成立的.
2.非.改变密度函数f（x）在个别点上的函数值，不会改变分布函数F（x）的取值.
3.非.由题设条件可得出P（XY）0.82，根本不能推出XY.
4.非.由题设条件可可以证明xkpk绝对收敛，即E（X）必存在.
k1
5.是.由关系式zzn/（等式右端为定值）可予以证明.
二.选择题
1.（ａ）2.（ｄ）3.（ｂ）4.（ｃ）5.（ｄ）.
三.填空题
y1f[ln（y/3）]）y0
1.19/396.2.fY（y）y.3.0.9772.
Y0y0
1/（2x）xyx
4.当0x1时fYX（yx）0其他5.F（1,m）].
6.上限为15.263.7.5/6.
四.计算题
P（A）P（B）P（AB）P（B）P（A
1.A被查后认为是合格品的事件，B抽查的产品为合格品的事件.
B）0.960.980.040.050.9428，
P（BA）P（B）P（AB）/P（A）0.9408/0.94280.998.
2.解一
f（x,y）
e（xy）x0,y0其他
z0时，FZ（z）0，从而fZ（z）0；z0时，
FZ（z）
P（3X2Yz）f（x,y）dxdy
3x2yz
z/3xexdx
（z3x）/2
eydy
所以
解二
z0时，
z0时，
所以
解三设
1e2z
32
3e3z
32
fZ（z）32
0,
z/3z/2（ez/3ez/2）,
z0
z0
fX（x）
x0
其他
fY（y）
ey
0
y0
其他
fZ（z）0；
fZ（z）12fX（x）fY[（z3x）/2]dx
210z/3ex[（zx）/2]dx
fZ（z）32
Z30,2
（ez/3ez/2）,
Z3X2Y
WY
随机变量（Z,W）的联合密度为
所以fZ（z）g（z,w）dw
32
z0
z0
X（Z2W）/3YW
g（z,w）f
1
130
（ez/3ez/2）
z2w
w
3,w
z/2z2ww
z/2ez32wwdw
1/32/3
32
z/3
（ez/3
z/2
3.设Xi为第i周的销售量,i1,2,,52Xi~P
（1），则一年的销售量为
52
YXi，E（Y）52,D（Y）52.i1
由独立同分布的中心极限定理，所求概率为
2Y5218182
P（50Y70）P1
5252525252
（2.50）（0.28）10.99380.610310.6041.
4.注意到X1,X2,,Xn的相互独立性
XiX1nX1X2（n1）XiXn
n
0,n1
k2n（n1）
5.
（1）要检验的假设为H0:
570,H1:
570
检验用的统计量UX0~N（0,1），
/n
拒绝域为Uz（n1）z0.0251.96.
U0575.25700.65102.061.96，落在拒绝域内，8/10
故拒绝原假设H0，即不能认为平均折断力为570kg.
5
（XiX）2
检验用的统计量
i12~2（n1），
02
拒绝域为22（n1）02.05（4）9.488或
212（n1）02.95（4）0.711
2
2
x1.41，00.0362/0.002315.7399.488,落在拒绝域内，
故拒绝原假设H0，即认为该天的纤度的总体方差不正常.
五、证明题证一由题设知
X
0
1
XY
0
1
2
P
q
p
P
2
q2
2pq
2
p2
3
P（XY0,Z0）q3P（XY0）P（Z0）；
2
P（XY0,Z1）pq2P（XY0）P（Z1）；
2
P（XY1,Z0）2pq2P（XY1）P（Z0）；
P（XY1,Z1）2pq2P（XY1）P（Z1）；
P（XY2,Z0）pq2P（XY2）P（Z0）；
3
P（XY2,Z1）p3P（XY2）P（Z1）.所以XY与Z相互独立.
证二由题设可得XY与Z的联合分布
1，所以XY与
Z相互独立.
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