《概率论与数理统计》期末考试B卷附参考答案.docx

1、概率论与数理统计期末考试B卷附参考答案期末考试概率论与数理统计试卷 B 卷注意事项： 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；2. 可使用计算器，解答就答在试卷上；3 考试形式：闭卷；4.本试卷共五 大题，满分 100 分。考试时间 120 分钟 。题号一二三四五总分得分评卷人、判断题( 10 分，每题 2 分)1. 在古典概型的随机试验中， P(A) 0 当且仅当 A是不可能事件 . ( ) 2连续型随机变量的密度函数 f (x) 与其分布函数 F(x) 相互唯一确定 . ( )3若随机变量 X与Y独立，且都服从 p 0.1的 (0，1) 分布，则 X Y. ( )4设 X 为离散型随机变量

2、 , 且存在正数 k使得 P( X k) 0，则 X 的数学期望E(X) 未必存在 . ( )5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时 , 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 . ( ) 、选择题( 15 分，每题 3 分)1. 设每次试验成功的概率为 p(0 p 1) ，重复进行试验直到第 n次才取得 r (1 r n)次成功的概率为r 1 r n r ) Cnr 11pr(1 p)n r；r 1 r 1 n r 1Cnr 11 pr 1(1 p)n r 1；2. 离散随机变量 X 的分布函数为 F(x) ，且 xk 1 xk xk 1，则 P(X xk)3. 设随机变量

3、X 服从指数分布，则随机变量 Y max (X, 2003)的分布函数()是连续函数； ()恰好有一个间断点；()是阶梯函数； ()至少有两个间断点 .4. 设随机变量 (X,Y)的方差 D(X) 4, D(Y) 1,相关系数 XY 0.6,则方差D(3X 2Y) .() 40； () 34； () 25.6； () 17.6 .5. 设(X1,X2, ,Xn)为总体 N (1, 22 )的一个样本， X 为样本均值，则下列结论中正确 的是 .) X 1 t(n)；2/ n1 n 2) 1 (Xi 1)2 F(n,1)；4i1X1X 1 N (0,1) ； 2/ n1n) 1 (Xi 1)2

4、2(n).4i11. 一批电子元件共有 100 个 , 次品率为 0.05. 连续两次不放回地从中任取一个 , 则第二次才 取到正品的概率为 .X2. 设连续随机变量的密度函数为 f (x) ，则随机变量 Y 3e 的概率密度函数为 fY (y)3. 设X为总体 X N(3 ,4)中抽取的样本 (X1,X2,X3,X4)的均值, 则P( 1 X 5) 则条件密度函数为当 时 fY X (yx)5.设 X t(m), 则随机变量 Y X 2服从的分布为 ( 需写出自由度 ) .26.设某种保险丝熔化时间 X N( , 2 )(单位： 秒)，取n 16的样本， 得样本均值和方差分别为 X 15,

5、S2 0.36 ，则 的置信度为 95%的单侧置信区间上限为7.设 X 的分布律为X1232222P 2 2 (1 ) (1 )2已知一个样本值 (x1,x2, x3) ( 1, 2,1) ，则参数的极大似然估计值为 .四、计算题( 40 分，每题 8 分)1. 已知一批产品中 96 %是合格品 . 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率 .2设随机变量 X 与Y相互独立， X ， Y分别服从参数为 , ( )的指数分布，试求Z 3X 2Y的密度函数 fZ (z).1 的泊松分布 .52

6、 周)售出该商品求常数 k , 使3某商店出售某种贵重商品 . 根据经验，该商品每周销售量服从参数为 假定各周的销售量是相互独立的 . 用中心极限定理计算该商店一年内( 件数在 50件到 70 件之间的概率 .24设总体 X N( , 2)，(X1,X2, ,Xn)为总体 X 的一个样本 .nk Xi X 为 的无偏估计量 .5（1） 根据长期的经验， 某工厂生产的特种金属丝的折断力 X N（ , 2）（单位： kg）. 已知 8 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 10 个样品，测得样本均 值 x 575.2 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是 570 kg ？ （

7、 5% ）22）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 N（ , 0.0482）. 某日抽取 5个样品，测得其纤度为 : 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用 10% 作假设检验 .五、证明题( 7 分)设随机变量 X ,Y , Z相互独立且服从同一贝努利分布 B(1,p). 试证明随机变量 X Y与 Z 相互独立 .参考答案一. 判断题1. 是. 在几何概型中，命题“ P(A) 0当且仅当 A 是不可能事件” 是不成立的 .2. 非. 改变密度函数 f (x)在个别点上的函数值，不会改变分布函数 F ( x)的取值 .3. 非.

8、由题设条件可得出 P(X Y) 0 .82 ，根本不能推出 X Y .4. 非. 由题设条件可可以证明 xk pk 绝对收敛，即 E(X)必存在 .k15. 是. 由关系式 z z n / ( 等式右端为定值 ) 可予以证明 .二. 选择题1.() 2.() 3.() 4.() 5.() .三. 填空题y1 fln( y / 3) y 01. 19/396 . 2 . fY (y) y . 3. 0.9772 .Y 0 y 01/(2x) x y x4. 当0 x 1时 fYX(yx) 0 其 他 5. F(1,m) .6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .四. 计算题P(A)

9、P(B)P(A B) P(B)P(A1. A 被查后认为是合格品的事件， B 抽查的产品为合格品的事件 .B) 0.96 0.98 0.04 0.05 0.9428 ，P(B A) P(B)P(A B)/ P(A) 0.9408/ 0.9428 0.998.2. 解一f (x , y)e ( x y) x 0,y 0 其他z 0 时， FZ (z) 0 ，从而 fZ ( z) 0； z 0 时，FZ (z)P(3X 2Y z) f (x, y)dxdy3x 2 y zz / 3 x e xdx(z 3x)/ 2e ydy所以解二z 0 时，z 0 时，所以解三 设1 e 2 z323 e 3z

10、32fZ (z) 3 20,z/3 z /2 (e z/3 e z/2 ),z0z0fX (x)x0其他fY(y)ey0y0其他fZ (z) 0；fZ(z) 12 fX (x)fY(z 3x) / 2dx21 0z/3 e x (z x)/2dxfZ (z) 3 2Z 3 0, 2(e z/3 e z/2 ),Z 3X 2YWY随机变量 (Z,W )的联合密度为所以 fZ(z) g(z, w)dw32z0z0X (Z 2W) /3 YWg(z, w) f113 0(e z/3 e z/ 2)z 2w,w3 , wz/ 2 z 2w wz/ 2 e z 32w wdw1/3 2/ 332z/3(

11、e z/3z/23. 设 Xi为第 i周的销售量 , i 1,2, ,52 Xi P(1)， 则一年的销售量为52Y Xi ， E(Y) 52, D(Y) 52. i1由独立同分布的中心极限定理，所求概率为2 Y 52 18 18 2P(50 Y 70) P 152 52 52 52 52(2.50) (0.28) 1 0.9938 0.6103 1 0.6041 .4. 注意到 X1,X2, ,Xn 的相互独立性Xi X 1n X1 X2 (n 1)Xi Xnn0,n 1k 2n(n 1)5. (1) 要检验的假设为 H0 : 570, H1 : 570检验用的统计量 U X 0 N (0,

12、1) ，/n拒绝域为 U z (n 1) z0.025 1.96.U 0 575.2 570 0.65 10 2.06 1.96 ，落在拒绝域内， 8/ 10故拒绝原假设 H 0 ，即不能认为平均折断力为 570 kg .5(Xi X)2检验用的统计量i 1 2 2 (n 1) ，02拒绝域为 2 2(n 1) 02.05 (4) 9.488 或2 12 (n 1) 02.95 (4) 0.71122x 1.41， 0 0.0362 / 0.0023 15.739 9.488, 落在拒绝域内，故拒绝原假设 H0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .五、证明题 证一 由题设知X01XY012PqpP2q22pq2p23P(X Y 0,Z 0) q3 P(X Y 0)P(Z 0) ；2P(X Y 0, Z 1) pq2 P(X Y 0)P(Z 1)；2P(X Y 1, Z 0) 2pq2 P(X Y 1)P(Z 0)；P(X Y 1,Z 1) 2pq2 P(X Y 1)P(Z 1) ；P(X Y 2, Z 0) pq2 P(X Y 2)P(Z 0)；3P(X Y 2,Z 1) p3 P(X Y 2)P(Z 1) . 所以 X Y与 Z 相互独立 .证二 由题设可得 X Y与 Z 的联合分布1，所以 X Y 与Z 相互独立 .