高考数学复习第9799课时第十三章导数导数的应用I名师精品教案Word文档下载推荐.docx
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（2）设,由
知AB的中点在上。
例4．设函数
的驻点是0和4.
（1）求常数k的值；
（2）确定函数的单调区间；
（3）求的极值。
（1），由于驻点是0和4，∴0和4是方程的两根，可求得
（2）由
（1）可知
，∴当为增函数，为减函数；
（3）由
（2）可判断极大值为极小值为
例5．求证：
。
（1）当时，=1，=1，命题成立；
（2）当>
0时，令，则>
在（0，）上为增函数
>
0，>
即>
；
（3）当<
0时，令，则<
在（）上为减函数
<
综合以上情况，。
例6．已知函数问是否存在实数a、b使f（x）在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a、b的值.并指出函数的单调区间.若不存在，请说明理由.
（舍）
（1）a>
0时，如下表
x
（－1,0）
（0，2）
+
—
最大值3
∴当x=0时，取得最大值，∴b=3；
（2）a<
最小值－29
∴当x=0时，取得最小值，∴b=－29（9分）又f
（2）=－16a－29,f（－1）=－7a－29<
f
（2）
∴当x=2时,取得最大值，∴－16a－29=3，a=－2，
综上：
a=2,b=3或a=－2,b=－29。
例7．（xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷、辽宁卷理19））
设，求函数
的单调区间.
分析：
本例主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。
.
当时
.
（i）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即.
解得
因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.
令
因此，函数在区间
内单调递减.
例8．⑴设≤1，求一个正常数a，使得x≤.
⑵设≤1，，求证：
≤.
⑴x≤可化为≥0，令=，
，由得，
=3a-2≥0，=-3a+4≥0，∴≤≤，①
∴∈[-1，1]，
≥0，即≥②
由①、②得，.
从而当≤1时，=≥0，即x≤.
⑵由⑴知，对≤1，有≤，（i=1，2，…，n）
将这n个式子求和，得≤.
例9．从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t（t>
0）。
试问当x取何值时，容量V有最大值。
=
函数V（）=的定义域为
令=0得
（1）当，即时，时，＞0 ．V（）为增函数；
时，＜0 ．V（）为减函数；
V（）在上有极大值V（），
为唯一驻点，当时，有最大值。
（2）当，即时，时，＞0恒成立；
V（）为增函数；
当时，有最大值。
例10．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K（K>
0），贷款的利率为4.8％，又银行吸收的存款能全部放贷出去.
（1）若存款的利率为x,x（0，0.048），试写出存款量g（x）及银行应支付给储户的利息h（x）；
（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益?
（1）由题意，存款量g（x）=Kx2,银行应支付的利息
h（x）=x·
g（x）=Kx3
（2）设银行可获收益为y,则y=0.048·
Kx2–Kx3
y/=K·
0.096x–3Kx2令y/=0即K×
0.096x–3Kx2=0
解得x=0或x=0.032
又当x（0,0.032）时，y/>
0,x（0.032,0.048）时,y/<
y在（0,0.032）内单调递增，在（0.032,0.048）单调递减
故当x=0.032时，y在（0,0.048）内取得极大值，亦即最大值
答：
存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益
二、专题训练
1．下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（A）
A．B．
C．y=ln（1－x2）D．
2.关于函数，下列说法正确的是（B）
（A）当-2时，有极大值1（B）当0时，有极小值-63
（C）当2时，有极大值1（D）函数的最大值为1
3.设y=8x2-lnx，则此函数在区间（0,1/4）和（1/2,1）内分别为（C）
A．单调递增，单调递减B、单调递增，单调递增
C、单调递减，单调递增D、单调递减，单调递减
4．函数的极大值点是（D）
A．x=2B．x=1C．x=－1D．x=－2
5．函数在（D）
A．（－∞，+∞）内是增函数
B．（－∞，+∞）内是减函数
C．（－1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数
D．（－1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数
6．已知且f′（x）展成关于x的多项式，其中的系数为60，则n=（B）
A．7B．6C．5D．4
7．已知函数
在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是（C）
A．m＜－4或m＞－2B．－4＜m＜－2
C．2＜m＜4D．m＜2或m＞4
8．已知函数
有极大值和极小值，则a的取值范围是（C）
A．B．C．D．
9．函数的值域为（B）
A．[－4，4]B．[－3，3]C．D．（－3，3）
10．若函数
当、x=-1时有极值，则（A）
A．a=-18，b=-3B．a=-18，b=3
C．a=18，b=-3D．a=18，b=3
11．若不等式对任何x∈R都成立，则实数k的最小值为（D）
A．-4B．C．2D．3
12．已知函数
在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是（C）
13．函数y=x+2cosx在区间[0，]上的最大值是（）
14．设函数的递减区间为，则a的取值范围是
15．函数上的最小值是.（）
16．已知函数
在R上可导，则a=，b=.
（a=2，b=2）
17.已知函数f（x）=x2（x－1），若=x0，求x0的值.
f（x）=x3－x2，=3x2－2x， 令3x－2x0=x0知x0=0或1.
18．已知f（x）是R上的可导函数.
（1）f（－x）在x=a处的导数值与f（x）在x=－a处的导数值有什么关系？
（2）若f（x）为偶函数，的奇偶性如何？
（1）互为相反数.
（2）f（－x）在x=－a处的导数值为：
==－=－
是奇函数,这是因为f（x）为偶函数,故可进而写为：
=－=－.
19．设x=-2与x=4是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点。
（1）求常数a、b的值;
（2）判断函数在x=-2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由。
答案：
a=13b=-24f（-2）为极大值f（4）极小值。
20．（本大题满分12分）
做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，问锅炉的直每径与高的比为多少时，造价最低？
b/a。
21．设函数f（x）=（a∈R），为使f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围。
a≤-1/2。
22．已知椭圆+=1，（a>
b>
0）的长轴为AB，以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面积的最大值。
23．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？
（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）
设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为（1分）高为
（2分）设容器的容积为Vm3，底面等腰三角形底边上的高
令
当
有最大值.
这时容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m。
2019-2020年高考数学复习等差数列、等比数列的运算和性质教案
一、知识点梳理
1.等差数列
（1）定义：
an+1－an=d（常数d为公差）；
（2）通项公式：
an=a1+（n－1）d
（3）前n项和公式：
Sn==na1+d
（4）通项公式推广：
an=am+（n－m）d
2.等差数列{an}的一些性质
（1）对于任意正整数n，都有an+1－an=a2－a1
（2）{an}的通项公式：
an=（a2－a1）n+（2a1－a2）
（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as
（4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有ap+ar=2aq
（5）对于任意正整数n>
1，有2an=an－1+an+1
（6）对于任意非零实数b，若数列{ban}是等差数列，则数列{an}也是等差数列
（7）已知数列{bn}是等差数列，则{an±
bn}也是等差数列
（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差数列
（9）S3m=3（S2m－Sm）；
（10）若Sn=Sm（m≠n），则Sm+n=0
（11）若Sp=q,Sq=p，则Sp+q=－（p+q）（p≠q）；
（12）Sn=an2+bn，反之亦成立
3.等比数列
⑴定义：
=q（常数q为公比）；
⑵通项公式：
an=a1qn－1
⑶前n项和公式Sn=
，特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况。
⑷通项公式推广：
an=am·
qn－m
4.等比数列{an}的一些性质
（1）对于任意正整数n，均有=
（2）对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则ap·
aq=ar·
as
（3）对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则ap·
ar=aq2
（4）对任意正整数n>
1，有an2=an－1·
an+1
（5）对于任意非零实数b,{ban}也是等比数列
（6）如果an>
0，则{logaan}是等差数列
（7）数列{logaan}成等差数列，则an成等比数列
（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列
二、例题选讲
1．（★）三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则原等差数列的公差一定是----------------------------------------------（C）
A.8B.8或－15C.±
8D.±
15
2．（★）首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是-（D）
（A）（B）（C）≤（D）≤3
3．（★）
（B）
（A）8（B）9（C）10（D）11
4．（★）已知的前项和，则的值为---------（A）
（A）67（B）65（C）61（D）56
5．（★★）等差数列{an}中，a10<
0,a11>
0，且|a10|<
|a11|，Sn为其前n项之和，则-----（C）
A.S1,S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B.S1,S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C.S1,S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
D.S1,S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
6．（★★）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于-----------------------------------（C）
（A）1（B）（C）（D）
7．（★★）在中，是以－4为第3项，4为第项的等差数列的公差；
是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是-------------------（A）
（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等腰三角形
8．（★★）过圆内一点（5，3）的条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项，最大弦长为数列的末项，若公差[，]，则的取值不可能是-------------------（A）
（A）4（B）5（C）6（D）7
9．（★★★）已知等差数列中，，若，且，，则等于--------------（B）
（A）38（B）20（C）10（D）9
10．（★★★）已知数列{an}满足an+1=an-an-1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+…+an，则下列结论正确的是-----------------------------------------------------------------（A）
（A）a100=-a，S100=2b-a（B）a100=-b，S100=2b-a
（C）a100=-b，S100=b-a（D）a100=-a，S100=b-a
11．（★）设数列是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项为2．
12．（★）已知等差数列的公差，且成等比数列，则．
13．（★）等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，则其项数为13；
中间项为11.
14．（★★）若数列（*）是等差数列，则有数列（*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：
若数列是等比数列，且（*），则有（*）也是等比数列．
15．（★★）．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是．
说明：
．
16．（★★）如图，一个粒子在原点，第一秒内从原点运动到
点（0，1），而后按照图示的方向由（0，0）→（0，1）
→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…来回运动,每秒移
动一个单位，则粒子运动到点（3，0）时用时秒，
经过xx秒时这个粒子所处的位置为点
17．（★）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数．
解：
设这四个数为：
，则
解得：
或，所以所求的四个数为：
或．
18．（★★）数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足
，
（1）求数列的前项和的最大值；
（2）求数列的前项和．
（1）由题意：
，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，
∴
，∴
由，得，∴数列的前项和的最大值为
（2）由
（1）当时，，当时，，
∴当时，
当时，
19．（★★）若和分别表示数列和的前项和，对任意自然数，有，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设集合，
．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．
（1）当时：
两式相减得：
，∴，又也适合上式，
∴数列的通项公式为．
（2）对任意，
，∴，∴
∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则，
∴，即，又是一个以为公差的等差数列，
∴，∴，∴．
20．（★★）数列中，且满足
⑴求数列的通项公式；
⑵设
，求；
⑶设=
，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？
若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由。
（1）由题意，，为等差数列，设公差为，
由题意得，
（2）若，
时，
故
（3）
若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意，均有
本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
21．（★★★）已知数列{an}中，a1=4，an+1=，是否存在这样的数列{bn}，bn=，其中A、B、C为实常数，使得{bn}是等比数列而不是等差数列？
证明你的结论，并求{an}的取值范围。
假设这样的{bn}存在，则应有
bn+1==
，bn=
存在q≠0,q≠1,q为常数，使bn+1=qbn,对n∈N都成立，于是比较两边的分子和分母，有
由
（1）可解得A=－1或－2，由
（2）、（3）可解得B=－C或C=－2B。
1°
若代入
（2）知q=1（B、C不能为0，否则bn=0，不合题意要求）舍去。
2°
若代入
（2）得q=，3°
当时，q=，
4°
当时，q=1（舍去）
故现只取A=－1，B=1，C=－2，q=（不必考虑时的情况，因为只证存在性）。
得bn=，所以满足题设条件的数列存在。
对于{an}的取值范围，我们可以这样解.
∵an+1－an=－an=－,a1=4>
2，故a2<
a1。
事实上，∵an+1－2=－2=
由上式，a1>
2，得an>
2，所以{an}单调递减。
且因为an>
2，
所以an－2=2·
<
（an－1－2）<
（）2（an－2－2）<
…<
（）n－1（a1－2），
故an∈（2,4。
三、课后作业
1．（★）数列{an}是等比数列，下列结论中正确的是-------------------------------（C）
A.an·
an+1>
0B.an·
an+1·
an+2>
0
C.an·
0D.an·
an+2·
an+4>
2．（★）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为
等差数列”的---------------------------------------（B）
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．（★）给定正数p,q,a,b,c，其中p≠q，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列,则一元二次程bx2－2ax+c=0------------------------------------------（A）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个同号的相异的实数根D．有两个异号的相异的实数根
4．（★★）一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于--------------------------------------------------------------------（C）
A．5 B．6C．7 D．8
5．（★★）等比数列的前n项和，则k的值是----------------------（B）
A．全体实数B．－1C．1D．3
6．（★★）在等差数列{an}中，7a5+5a9=0,且a9＞a5,则使数列前n项和Sn取最小值的n等于
-----------------------------（B）
A．5B．6C．7D．8
7．（★★）正项等差数列a1，a2，…，an，（n≥4，且n为偶数）的公差d≠0，离首末两项“距离”相等的两项之积排成数列a1an，a2an－1，a3an－2，…，aa，则该数列是-------------------（B）
A．单调递减B．单调递增
C．奇数项单调递增，偶数项单调递减D．以上都不对
8．（★★）若四个正数a，b，c，d成等差数列，x是a和d的等差中项，y是b和c的等比中项，则x和y的大小关系是-------------------------------------（D）
A．x<
yB．x>
yC．x=yD．x≥y
9．（★★★）等差数列的公差d不为0，Sn是其前n项和，则下列命题错误的是（D）
A．若d<
0，且S3=S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项
B．给定n，对于一切k∈N+，（k＜n），都有
C．若d>
0，则{Sn}中一定有最小的项D．存在k∈N+，使和同号
10．（★★★）已知数列{}的前n项和
其中a、b是非零常数，则存在数列{}、{}使得--------------------（C）
A．为等差数列，{}为等比数列
B．和{}都为等差数列
C．为等差数列，{}都为等比数列
D．和{}都为等比数列
11．（★）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13项
12．（★）已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=__2__.
13．（★）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是210．
14．（★★）已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<
logm（ab）<
1,则m的取值范围是_（－∞,8）_.
15．（★★）已知数列是等比数列,且,,，则9．
16．（★★）设数列，（），N*满足，则为等差数列是为等比数列的充要条件．
17．（★）设数列前项和为,且（3
其中m为常数,m
（1）求证:
是等比数列;
（2）若数列的公比q=f（m）,数列满足
求证:
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