北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何试题解析.doc
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北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编
一、选择题：
a
a
a
正
（
主
）
视图
俯视图
侧
（
左
）
视图
（3）（北京市东城区2012年1月高三考试文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】C
【解析】该几何体为底面是直角边为的等腰直角三角形，
高为的直三棱柱，其体积为。
7．（北京市西城区2012年1月高三期末考试理科）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】将三视图还原直观图，可知是一个底面为正方形（其对角线长为2），高为2的四棱锥，其体积为
A．且，则
B．且，则
C．且，则
D．且，则
【答案】C体的体积为.
2
1
1
3
3
正视图
侧视图
俯视图
2
1
（9）（北京市东城区2012年4月高考一模文科）已知一个四棱www.ks5u.com锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是.
10.（2012年4月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.
三、解答题：
（17）（北京市东城区2012年1月高三考试文科）（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，是中点，为线段上一点.
F
E
D
B
A
P
C
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）试确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由.
【命题分析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。
考查学生的空间想象能力。
证明线线垂直的方法：
（1）异面直线所成的角为直角；
（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进行证明；探求某证明（Ⅰ）因为平面，
所以．又四边形是正方形，
所以，，
所以平面,又Ì平面,
所以.………………7分
.………………14分
（16）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分14分）
在四棱锥中，//，，，平面，.
（Ⅰ）设平面平面，求证：
//；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
（16）（本小题满分14分）
………………………………………5分
所以，，
，
所以，
.
所以，.
因为，平面，
平面，
所以平面.
………………………………………9分
由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.
………………………………………12分
17.（2012年3月北京市朝阳区高三一模文科）（本题满分13分）
C
A
F
E
B
M
D
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，，且是的中点.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使得最大？
若存在，请求出的正切值；若不存在，
请说明理由.
（17）（本小题满分13分）
（Ⅱ）解：
假设在上存在一点，使得最大.
因为平面，所以.
又因为，所以平面.………………………8分
在中，.
17．（北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文）（本小题满分14分）
如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）若，求证：
；
（Ⅲ）求四面体体积的最大值．
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
因为四边形，都是矩形，
所以∥∥，．
所以四边形是平行四边形，……………2分
所以∥，………………3分
因为平面，
所以∥平面．………………4分
（Ⅱ）证明：
连接，设．
因为平面平面，且，
所以平面，……5分
所以．…………6分
9分
（Ⅲ）解：
设，则，其中．
由（Ⅰ）得平面，
所以四面体的体积为．………11分
所以．……………13分
当且仅当，即时，四面体的体积最大．………………14分
（17）（北京市东城区2012年4月高考一模理科）（本小题共13分）
图1图2
（17）（共13分）
（Ⅰ）证明：
取中点，连结.
因为，，
所以，而，即△是正三角形.
又因为,所以.…………2分
所以在图2中有，.…………3分
所以为二面角的平面角.图1
又二面角为直二面角，
所以.…………5分
又因为,
所以⊥平面,即⊥平面.…………6分
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，.
在图１中，连结.
因为，
所以∥，且.
所以四边形为平行四边形.
所以∥，且.
故点的坐标为（1，，0）.图2
所以，，.…………8分
不妨设平面的法向量，则
即令，得. …………10分
所以.…………12分
故直线与平面所成角的大小为.…………13分
（17）（北京市东城区2012年4月高考一模文科）（本小题共14分）
如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使平面平面，连结，.（如图）
（Ⅰ）若为中点，求证：
∥平面；
（Ⅱ）求证：
.
图1图2
（17）（共14分）
证明：
（Ⅰ）取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
因为，
所以∥,且，
所以∥，且．
所以四边形为平行四边形．
所以∥．…………5分
又因为平面，且平面，
所以∥平面．…………7分
（Ⅱ）取中点，连结.
因为，，
所以，而，即△是正三角形.
又因为,所以.
所以在图2中有.…………9分
因为平面平面，平面平面，
所以⊥平面.…………12分
又平面，
所以⊥.…………14分
17.（2012年3月北京市丰台区高三一模文科）（本小题共14分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60º，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：
AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：
PA//平面BDQ；
（Ⅲ）若VP-BCDE=2VQ-ABCD，试求的值．
17．证明：
（Ⅰ）因为E是AD的中点，PA=PD，
所以AD⊥PE．……………………1分
因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60º，
所以AB=BD，又因为E是AD的中点，
所以AD⊥BE．……………………2分
因为PE∩BE=E，……………………3分
所以AD⊥平面PBE．……………………4分
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连结OQ．
……………………5分
因为O是AC中点，Q是PC的中点，
所以OQ为△PAC中位线．
所以OQ//因为，所以．……………………14分
17.（2012年4月北京市房山区高三一模理科（本小题共14分）
在直三棱柱中，=2,.点分别是,的中点，是棱上的动点.
（I）求证：
平面；
（II）若//平面，试确定点的位置，并给出证明；
（III）求二面角的余弦值.
17．（本小题共14分）
（I）证明：
∵在直三棱柱中，，点是的中点，
∴…………………………1分
,
∴⊥平面………………………2分
平面
∴，即…………………3分
又
∴平面…………………………………4分
（II）当是棱的中点时，//平面.……………………………5分
证明如下:
连结,取的中点H，连接,
则为的中位线
∴∥，…………………6分
∵由已知条件，为正方形
∴∥，
∵为的中点，
（III）∵直三棱柱且
又平面的法向量为，
==，……………………13分
设二面角的平面角为，且为锐角
．……………………14分
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