1、北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题: a a a 正(主)视图 俯视图 侧(左)视图 (3)(北京市东城区2012年1月高三考试文科)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】该几何体为底面是直角边为的等腰直角三角形,高为的直三棱柱,其体积为。7(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( ) (A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】将三视图还原直观图,可知是一个底面为正方形(其对角线长为2),高为2的四棱锥,其体积为A且,则 B且,则C且,则 D且,则【答案】C体的体积
2、为 . 21133正视图侧视图俯视图21(9)(北京市东城区2012年4月高考一模文科)已知一个四棱w ww.ks 5u.c om锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是 . 10. (2012年4月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 . 三、解答题:(17)(北京市东城区2012年1月高三考试文科)(本小题共14分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面, 是中点,为线段上一点.FEDBAPC()求证:; ()试确定点在线段上的位置,使/平面,并说明理由. 【命题分析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。考查学生的空间想象能力。证明线线垂直的方法:(
3、1)异面直线所成的角为直角;(2)线面垂直的性质定理;(3)面面垂直的性质定理;(4)三垂线定理和逆定理;(5)勾股定理;(6)向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进行证明;探求某证明()因为平面, 所以 又四边形是正方形, 所以,所以平面, 又平面,所以. 7分 . 14分(16) (2012年4月北京市海淀区高三一模理科)(本小题满分14分)在四棱锥中,/,平面,. ()设平面平面,求证:/; ()求证:平面;()设点为线段上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值(16)(本小题满分14分)
4、5分所以 ,所以,.所以 ,. 因为 ,平面,平面,所以 平面. 9分由()知平面的一个法向量为.12分17. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)(本题满分13分)CAFEBMD在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形, 平面,且是的中点. ()求证:平面;()在上是否存在一点,使得最大? 若存在,请求出的正切值;若不存在,请说明理由.(17)(本小题满分13分) ()解:假设在上存在一点,使得最大. 因为平面,所以. 又因为,所以平面. 8分 在中,. 17(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)(本小题满分14分)如图,矩形中,分别在线段和上,将矩形沿折起记折起后的矩形为,且
5、平面平面()求证:平面;()若,求证:; ()求四面体体积的最大值 17.(本小题满分14分)()证明:因为四边形,都是矩形, 所以 , 所以 四边形是平行四边形,2分 所以 , 3分 因为 平面,所以 平面 4分()证明:连接,设因为平面平面,且, 所以 平面, 5分所以 6分 9分 ()解:设,则,其中由()得平面,所以四面体的体积为 11分所以 13分当且仅当,即时,四面体的体积最大 14分(17)(北京市东城区2012年4月高考一模理科)(本小题共13分) 图1 图2 (17)(共13分)()证明:取中点,连结.因为,所以,而,即是正三角形.又因为, 所以. 2分所以在图2中有,.3分
6、所以为二面角的平面角. 图1又二面角为直二面角,所以. 5分又因为,所以平面,即平面. 6分()解:由()可知平面,如图,以为原点,建立空间直角坐标系,则,.在图中,连结.因为,所以,且.所以四边形为平行四边形.所以,且.故点的坐标为(1,0). 图2所以, ,. 8分不妨设平面的法向量,则即令,得. 10分所以. 12分故直线与平面所成角的大小为. 13分(17)(北京市东城区2012年4月高考一模文科)(本小题共14分) 如图,在边长为的正三角形中,分别为,上的点,且满足.将沿折起到的位置,使平面平面,连结,.(如图)()若为中点,求证:平面;()求证:. 图1 图2 (17)(共14分)
7、证明:()取中点,连结 在中,分别为的中点, 所以,且 因为, 所以,且, 所以,且 所以四边形为平行四边形 所以 5分 又因为平面,且平面, 所以平面 7分() 取中点,连结.因为,所以,而,即是正三角形. 又因为, 所以. 所以在图2中有. 9分因为平面平面,平面平面,所以平面. 12分又平面,所以. 14分17. (2012年3月北京市丰台区高三一模文科)(本小题共14分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,BAD=60,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上 ()求证:AD平面PBE;()若Q是PC的中点,求证:PA / 平面BDQ;()若VP-BCDE =2VQ -
8、 ABCD,试求的值17证明:()因为 E是AD的中点, PA=PD, 所以 ADPE 1分因为 底面ABCD是菱形,BAD=60,所以 AB=BD,又因为E是AD的中点,所以 ADBE 2分因为 PEBE=E, 3分所以 AD平面PBE 4分()连接AC交BD于点O,连结OQ5分因为O是AC中点, Q是PC的中点,所以OQ为PAC中位线所以OQ / 因为 , 所以 14分17. (2012年4月北京市房山区高三一模理科(本小题共14分)在直三棱柱中,=2 ,.点分别是 ,的中点,是棱上的动点.(I)求证:平面;(II)若/平面,试确定点的位置,并给出证明;(III)求二面角的余弦值.17(本小题共14分)(I) 证明:在直三棱柱中,点是的中点, 1分, 平面 2分平面,即 3分又平面 4分 (II)当是棱的中点时,/平面.5分证明如下:连结,取的中点H,连接, 则为的中位线 ,6分由已知条件,为正方形,为的中点,(III) 直三棱柱且又平面的法向量为,=, 13分设二面角的平面角为,且为锐角 14分15
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