北京高考真题数学理含解析.docx
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工类）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知集合，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若满足则的最大值为（）
（A）0
（B）3
（C）4
（D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（4）设，是向量，则“”是“”的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）已知，且，则（）
（A）（B）（C）（D）
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）
（A）（B）（C）（D）
（7）将函数图像上的点向左平移个单位长度得到点．若位于函数的图像上，则（）
（A），的最小值为（B），的最小值为
（C），的最小值为（D），的最小值为
（8）袋中装有偶数个球，其中红球，黑球各占一半，甲，乙，丙是三个空盒，每次从袋中随意取出两个球，将期中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）．
（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C）乙盒中的红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6题，每小题5分，共30分．
（9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．
（10）在的展开式中，的系数为__________．
（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则__________．
（12）已知为等差数列，为其前项和．若，则__________．
（13）双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则__________．
（14）设函数
①若，则的最大值__________．
②若无最大值，则实数的取值范围是__________．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题13分）在中，
（1）求的大小．
（2）求的最大值．
16.（本小题13分），，三班共有名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：
小时）；
（Ⅰ）试估计班的学生人数；
（Ⅱ）从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从，，三班中个随机抽取抽取一名学生，题目该周期的锻炼时间分别是，，（单位：
小时），这个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中的数据的平均数记为，试判断和的大小．（结论不要求证明）
17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？
若存在，求的值；若不存在，说明理由．
（18）（本小题13分）
设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求的单调区间.
（19）（本小题14分）
已知椭圆的离心率为，，，，的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：
为定值.
20.（本小题13分）设数列如果对小于的每一个正整数都有则称是数列的一个”时刻”.记是数列的所有”时刻”组成的集合.
对数列写出的所有元素；
证明：
若数列中存在使得，则；
证明：
若数列满足,则的元素个数不小于.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学答案（理工类）
一、选择题
（1）解析，集合所以选c
（2）解析如图当取点A（1,2）时，取到最大值4
选C
（3）循环一次，，，；
循环二次，，；
循环三次，，，
故答案选B．
4．当与方向相反时，不能得到；
而当时，平方得，即，因此与可以不相等，
因此选既不充分也不必要．
选D
5.【答案】C
【解析】特殊值法：
A取排除，B取排除，D取排除，C由单调性可知移项正确．
（6）A
【解析】三视图还原如右图所示：
则三棱锥的体积
7.【答案】A
【解析】点在函数上，所以，
即，根据平移的原则，有，
根据题意有，结合余弦函数的图像可知满足余弦值等于的最小正角为，故的最小值为．
（8）共两个球时有以下两种情况
甲乙丙
红黑
甲乙丙
黑 红
可排除A和D
四个球时的其中一种情况如下
甲乙丙
红红
黑 黑
可排除C
故：
答案选B
分析：
此题重点考察了选择题的一个重要做题思想：
特值法、排除法．此外，还考察了学生的逻辑思维能力，以及在紧急状态下的应变能力．
二、填空题共6题，每小题5分，共30分．
（9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则___.
解答：
，因为复数在实轴上，所以有．
答案：
（10）在的展开式中，的系数为___.
解答：
其中含有的项为，所以的系数为
答案：
60
（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则___.
解：
，所以可以变形为，可以变形为．因为直线过点，圆的圆心也是，所以交线为直径，又因为，所以
答案：
2
（12）已知为等差数列，为其前项和．若，则___.
解：
为等差数列，，所以，解得．所以
答案：
6
（13）双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则___.
解：
因为两条渐近线是正方形的相邻两边，所以夹角为，可知渐近线的斜率为，所以．因为为该双曲线的焦点，所以，由可得．
答案：
2
（14）设函数
①若，则的最大值___.
②若无最大值，则实数的取值范围是___.
解：
①当时，函数变为．当时，，在单增，在单减．所以时，的最大值是；时，单减，，所以若，则的最大值为．
②函数的最大值只会在三个位置取到——极大值点、端点以及断点．，因为，在单增，存在最大值为，所以，当时，，在上，，所以很有最大值为．而题目要求不存在最大值，所以是无法取到的，所以．
答案：
2，
三、解答题
15.在中，
（3）求的大小．
（4）求的最大值．
解：
（1），，，
（2）在中，，
，所以当时，的最大值为．
16.，，三班共有名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：
小时）；
（Ⅰ）试估计班的学生人数；
（Ⅱ）从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从，，三班中个随机抽取抽取一名学生，题目该周期的锻炼时间分别是，，（单位：
小时），这个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中的数据的平均数记为，试判断和的大小．（结论不要求证明）
解析：
（Ⅰ）设班的学生人数为，
则，解得；
（Ⅱ）记该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长为事件;
由题可知，从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，共有种；
满足条件的有，，，，，，，，
，，，，，，共种；
所以，；
（Ⅲ）．
（提示：
新选出，，的平均数约为；，，的三组数据均为等差数列，平均数分别为，，，整体平均数显然大于）
17.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？
若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解析：
（Ⅰ）证明：
面面，
面面,
∵,面，
∴面，
∵面，
∴，又，
面；
（Ⅱ）取的中点，连结，，
∵,∴,
∵,∴,
以为原点，建立如图坐标系；
易知，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，解得，
设直线与平面所成角为，
；
（Ⅲ）假设存在，使得平面，设，
，，
，，
，得，
，
∵平面，平面的法向量为，
∴，即，解得，
即当时，满足题意．
18.
（1）解析：
，根据题意，有
．
（2）解析：
由
（1），，导函数分母为正，只需考虑分子的符号即可．
构造函数，．
故在上单调递减，在上单调递增，
，即恒成立且不恒为，因此且不恒为．
故在上单调递增，无单调递减区间．
19.【解析】
（1）由题意得，，，又因为解得，，，故方程为
（2）当在左顶点处时，所以,当在下顶点时,,当在上顶点时，不合题意，当不在顶点处，设，则，即，
又因为，，则直线：
，令，得
直线：
，令，得
，，
20.解：
（I）的所有元素：
（II）证明：
不妨设中的最大值第一次出现时为，
则由可得
因此对小于的每个正整数都有，
故，所以；
（III）证明：
①当时，显然成立；
②当时，先证明数列中第一次出现比大的数应属于区间，否则假设第一次出现比大的数为，则，矛盾，故结论成立．
依题
同理数列中第一次出现比大的数时应属于区间，其对应的项也都是数列的“时刻”
若，则至少对应个“时刻”；
若，则第一次出现比大的数时所对应的项数也为数列的“时刻”，则至少会有个“时刻”；
综上，的元素个数不小于
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