《线性代数》课程教学大纲.docx

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《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

一、使用说明

（一）课程性质

《线性代数》是高等学校经济、管理类专业核心课程经济数学基础之一，是研究变量间线性关系的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。

《线性代数》作为一学期的课程，是为经济类、管理类、工学类等非数学专业本科生开设的，制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解，为进一步学习专业课打下坚实的基础。

本课程属于专业基础课。

（二）教学目的

随着现代科学技术，尤其是计算机科学的发展，线性代数这门课程的作用与地位显得格外重要。

通过教学，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。

通过本课程的学习，使学生不仅能较好地掌握行列式、矩阵特有的分析概念，并在一定程度上掌握用行列式、矩阵解决问题的方法，而且能使他们对线性代数的基本概念、基本方法、基本结果有所了解，并能运用其解决实际问题中的一些简单课题。

（三）教学时数

本课程共68学时，4学分。

（四）教学方法

本课程将采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（五）面向专业

经济学、管理学各本科专业。

二、教学内容

第一章矩阵

（一）教学目的与要求

[教学目的]

本章内容是线性代数理论的一个重要组成部分，通过学习n阶行列式的定义，培养学生的抽象概括能力与逻辑思维能力。

矩阵是线性代数的一个主要研究对象，是数学及其它科学技术的一个重要工具。

它在本课程中起着承上启下的作用，尤其是对以下几章的学习有重要作用。

[基本要求]

1、熟练掌握矩阵加、减、乘法和数乘的运算法则，了解其经济背景，熟练掌握矩阵的行列式的有关性质。

2、了解矩阵分块的原则，掌握分块矩阵的运算法则。

3、理解可逆矩阵的概念及其性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆，熟练掌握用初等行变换的方法求矩阵的逆。

4、了解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。

5、理解n阶行列式的定义及其性质。

6、掌握用行列式的定义、性质和有关定理去计算较简单的n阶行列式的方法。

（二）教学内容

矩阵，矩阵的运算，方阵的行列式，几种特殊的矩阵，分块矩阵，逆矩阵，初等矩阵。

教学重点和难点：

n阶行列式定义；行列式按行（列）展开；矩阵乘法运算；逆矩阵的定义及其运算。

第一节矩阵的概念

一、引出矩阵概念的实际背景

二、矩阵的概念

1、矩阵的定义。

2、矩阵的表示法。

三、几种特殊的矩阵

1、对角矩阵。

2、数量矩阵。

3、上（下）三角矩阵。

4、对称矩阵与反对称矩阵。

第二节矩阵的运算

一、矩阵的加法

1、矩阵加法的定义。

2、矩阵加法满足的运算法则。

二、数与矩阵乘法

1、数与矩阵相乘的定义。

2、数与矩阵相乘满足的运算法则。

三、矩阵的乘法

1、矩阵与矩阵相乘的定义。

2、矩阵与矩阵相乘满足的运算法则及其计算要领。

3、矩阵的幂。

四、矩阵的转置

1、矩阵转置的定义。

2、矩阵转置满足的运算法则。

第三节方阵的行列式

一、二阶行列式

1、二阶行列式的引入。

2、二阶行列式的定义。

二、n阶行列式的定义

1、余子式和代数余子式的概念。

2、n阶行列式的定义。

3、n阶行列式的简单计算。

三、行列式的性质

1、行列式的五个性质、三个推论。

2、行列式的按行（列）展开定理。

四、行列式的计算

1、三角形法。

2、降阶法。

3、公式法。

4、范德蒙（Vandermonde）行列式。

5、数学归纳法。

*五、Laplace定理

Laplace定理（不证明）。

第四节矩阵的分块

一、矩阵分块的概念

二、矩阵分块的运算

第五节逆矩阵

一、逆矩阵的定义及其性质

二、用伴随矩阵计算逆矩阵

第六节矩阵的初等变换

一、矩阵的初等变换与初等矩阵

二、求逆矩阵的初等变换法

第七节矩阵的秩

一、矩阵秩的定义

二、阶梯形矩阵

三、用初等变换求矩阵的秩

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

20学时。

第二章线性方程组

（一）教学目的与要求

[教学目的]

本章在理论上彻底解决了线性方程组有解的判定、解的个数与求法，它在理论上、方法上都是学习以后几章的重要基础，是本课程的重点内容之一。

[基本要求]

1、理解向量的概念；熟练掌握向量的加法和数乘运算。

2、理解向量组的线性相关、线性无关、向量组的秩和矩阵的秩等概念；掌握求向量组的极大无关组和矩阵的秩的方法。

3、掌握线性方程组有解的判定定理，了解线性方程组的特解、导出组的基础解系和一般解的关系。

4、熟练掌握用矩阵初等变换的方法求线性方程组的一般解。

（二）教学内容

解线性方程组，矩阵的初等行变换，线性方程组有唯一解、无穷多解和无解的讨论，齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件；n维向量，向量组的线性相关性，向量组的秩，向量组的极大线性无关组；矩阵的行秩与列秩，矩阵的秩，阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩；线性方程组解的一般理论，线性方程组有解判定定理，齐次线性方程组解的结构，非齐次线性方程组解的结构。

教学重点和难点：

矩阵的初等变换，线性方程组解的存在性及其解法。

第一节线性方程组

一、克拉默（Cramer）法则

1、克拉默（Cramer）法则及推论。

2、克拉默（Cramer）法则的应用。

二、线性方程组的消元解法

1、线性方程组的消元解法。

2、线性方程组有解的判别定理。

第二节向量及其线性运算

一、n维向量的概念

二、向量的加法和数乘运算

三、n维向量空间

第三节向量间的线性关系

一、向量的线性组合

1、向量的线性组合的概念。

2、向量的线性表示的概念。

二、线性相关与线性无关

1、线性相关性的概念。

2、线性相关、线性无关的一些结论。

第四节向量组的秩

一、向量组的极大线性无关组

1、向量组的极大线性无关组的概念。

2、向量组的等价。

3、向量组的秩。

二、向量组的秩与矩阵的秩的关系

1、矩阵的行秩与列秩，矩阵的秩。

2、矩阵的秩与其子式的关系。

3、初等变换求矩阵的秩。

4、初等变换求向量组的极大线性无关组。

第五节线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

1、齐次线性方程组解的性质。

2、基础解系。

3、齐次线性方程组解的结构。

二、非齐次线性方程组解的结构

1、非齐次线性方程组解的性质。

2、齐次线性方程组解的结构。

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

18学时。

第三章线性空间与线性变换

（一）教学目的与要求

[教学目的]

向量空间的理论是线性代数的主要内容，它的理论和方法在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。

[基本要求]

1、了解向量空间的概念；知道Rn的基、标准正交基、子空间及其维数的概念。

知道向量在不同基下的过渡矩阵与坐标变换。

2、了解线性空间的基、坐标、内积、长度、正交的定义，掌握线性无关向量组的正交化方法。

3、了解正交矩阵的定义，知道其主要性质。

（二）教学内容

的标准正交基，向量空间的基、坐标、内积、长度、正交，正交矩阵；线性空间的基，坐标，子空间及其维数。

教学重点和难点：

重点是线性空间的概念，向量空间的基、坐标、内积、长度、正交。

难点是向量的正交化与正交矩阵。

第一节的标准正交基

一、的标准正交基

1、的基与坐标。

2、内积、长度、正交。

3、的标准正交基。

4、施密特正交化方法。

二、正交矩阵

1、正交矩阵的定义。

2、正交矩阵的性质。

第二节线性空间

一、线性空间的定义

二、线性空间的性质

三、线性空间的维数、基与坐标

四、基变换与坐标变换

五、线性子空间

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

8学时。

第四章矩阵的特征值和特征向量

（一）教学目的与要求

[教学目的]

矩阵的特征值与特征向量是线性代数研究的一个主要对象，它对于研讨向量空间中向量和向量之间、矩阵与矩阵的内在联系起着重要的作用。

[基本要求]

1、了解矩阵特征值、特征向量等概念及有关性质。

熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法。

2、了解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角形矩阵的条件。

3、掌握将实对称矩阵化为对角阵的方法。

（二）教学内容

特征值与特征向量的定义；特征方程；特征值，特征向量的求法及有关性质；矩阵的迹；相似矩阵的定义和性质；矩阵可对角化的条件；实对称矩阵特征值的性质；对称矩阵化为对角阵的方法。

教学重点和难点：

矩阵的相似、特征值、特征向量等基本概念，特征值、特征向量和矩阵可对角化的理论和方法。

第一节矩阵的特征值和特征向量

一、矩阵的特征值、特征向量的概念和计算方法

1、特征值与特征向量的定义。

2、特征多项式、特征方程。

3、特征值和特征向量的简单性质。

4、特征值和特征向量的计算方法。

二、特征值和特征向量的性质

1、特征值和特征向量的性质。

2、矩阵的迹。

第二节相似矩阵与矩阵可对角化的条件

一、相似矩阵的定义和性质

1、相似矩阵的定义。

2、相似矩阵的性质。

二、矩阵可对角化的条件

1、矩阵可对角化的条件。

2、矩阵可对角化的方法。

三、矩阵的若尔当（Jordan）形简介

第三节实对称矩阵的特征值和特征向量

一、实对称矩阵特征值的性质

二、实对称矩阵对角化的方法

1、实对称矩阵对角化的方法。

2、实对称矩阵对角化的典型问题。

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

12学时。

第五章二次型

（一）教学目的与要求

[教学目的]

二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关教材的深入与提高，也是线性代数的一个具体应用。

[基本要求]

1、了解二次型的定义；掌握二次型的矩阵表示方法。

2、会用配方法化二次型为标准形；掌握用正交变换法化二次型为标准形的方法。

3、了解正定二次型、正定矩阵的定义和有关性质。

（二）教学内容

二次型的定义，矩阵表示方法，二次型的标准形，二次型的规范形，正定二次型，正定矩阵的定义和有关性质。

教学重点和难点：

化二次型为标准形的方法，正定二次型、正定矩阵的定义和有关性质。

第一节基本概念

一、二次型及其矩阵

1、二次型的定义。

2、二次型的矩阵。

3、二次型与实对称矩阵之间的关系。

二、矩阵合同

1、合同的定义。

2、合同的性质。

第二节二次型的标准形与规范形

一、二次型的标准形

1、二次型为标准形的概念。

2、用正交替换法化二次型为标准形。

3、用配方法化二次型为标准形。

4、用初等变换法化二次型为标准形。

二、二次型的规范形

1、规范形的概念。

2、惯性定理。

第三节二次型和对称矩阵的有定性

一、正定二次型和正定矩阵

1、二次型和对称矩阵正定性的概念。

2、实二次型和实对称矩阵正定的判定。

二、二次型和对称矩阵的负定性的判定

*第四节正定矩阵的应用

一、多元函数的极值问题

二、二次曲面的标准形

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

8学时。

三、考核方式

闭卷笔试。

四、教材选用

《线性代数》．李振东主编．科学出版社．2010年8月第1版.

注：

打“*”的章节为学生课后选学内容。