函数图像过定点问题.docx
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函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究
题1：
求证：
拋物线y=（3—k）x2+（k—2）x+2k—1（k丰3）过定点，并求出定点的坐标.
归纳：
第一步：
对含有变系数的项集中；
第二步：
然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积
的形式；
第三步：
令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程（这时系数如何变化，都“失效”了）；
第四步：
解此方程，得到x的值xO（定点的横坐标），将它代入原函数式（也可以是其变式），即得到一个y的值yo（定点的纵坐标），于是，函数图象一定过定点（xo，yo）；第五步：
反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
题2：
（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总
过的点是（）
A.（1，3）B.（1，0）C.（—1，3）D.（—1，0）
巩固练习：
1无论m为何实数，二次函数y=x2-（2-mx+m的图象总是过定点（）
A.（1，3）B.（1，0）C.（-1，3）D.（-1，0）
2.对于关于x的二次函数y=ax2-（2a-1）x-1（a^0），下列说法正确的有（）
1无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定
点，且两定点之间的距离为:
■:
;③当a>0时，函数在xv1时，y随x的增大而减小；④当
av0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2
3.（2012?
鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx-2mx+3（m^0）的图象发现，随
着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两
个定点，请你写出这两个定点的坐标：
.
4.某数学小组研究二次函救y=mx-3mx+2（m^0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函
数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出这两个
定点的坐标：
.
5.（2009?
宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b-c=2,则这个函数的图象一定经过某一个
定点，这个定点是.
6.无论m为何实数，二次函数y=x2-（2-m）x+m的图象总是过定点.
7.已知一个二次函数具有性质
（1）图象不经过三、四象限；
（2）点（2，1）在函数的图象
上;（3）当x>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函
数解析式：
.
8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3）图像过定点，求出该定点坐标
9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2-6x+1（m是常数）.
⑴求证：
不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
2
nm
10.已知二次函数的顶点坐标为（-昭町，-昭门），与y轴的交点为（0,n-m,其顶点恰
1
好在直线y=x+-（1-m）上（其中mn为正数）.
2
（1）求证：
此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）在x轴上是否存在这样的定点：
不论mn如何变化，二次函数的图象总通过此定点？
若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.
25.（木题满分14分）
己知二次函数y=ax2-\-bx-\~l—1r?
<0,
（1）当f口一2吋，
1若函数图象经过点（b-4）,（-b0）,求gB的值；
2若2a—b=X对于任总不为零的实数小是否存在一条直线仗十p"工0人始终
与函数图象交于不同的两点？
若存在.求出该瓦线的表达式：
若不仔住，试说明理由.
（2）若点/（—Lf），B（叫t—n）（m>0rn>0>足函数图象上的两点，且汕商=如一2人当一10W用时，点/址该函数13彖的最百点，求扭的取值范隔.
函数图像过定点的研究
题1:
求证拋物线尸（3-k）x2+（k-2）x+2k—1（k丰3）过定点，并求出定点的坐标.
审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决
定的，例如，直线y=kx+b（k丰0），当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点（0,b）;物线线y=ax2+bx+c（a工0），当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点（o，c）.本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变
量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标.
解：
整理抛物线的解析式，得
y=（3-k）x2+（k-2）x+2k-1
=3x2-2x-1-kx2+kx+2k
=3x2-2x-1-k（x2-x-2）（k工3），
上式中令x—x—2=0，得X1=-1，X2=2.
将它们分别代入y=3x2-2x-1-k（x2-x-2），
解得y1=4，y2=7，
22
把点（一1,4）、（2，7）分别代入y=3x-2x-1-k（x-x-2），
无论k取何值，等式总成立，
即点（-1,4）、（2，7）总在抛物线y=（3-k）x2+（k-2）x+2k-1（k工3）上,
即拋物线y=（3-k）x2+（k-2）x+2k-1（k工3）过定点（-1,4）、（2，7）.
归纳：
第一步：
对含有变系数的项集中；
第二步：
然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积
的形式；
第三步：
令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程（这时系数如何变化，都“失效”了）；
第四步：
解此方程，得到x的值x0（定点的横坐标），将它代入原函数式（也可以是其变式），即得到一个y
的值y0（定点的纵坐标），于是，函数图象一定过定点（X。
，y。
）;
第五步：
反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤.
题2：
（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数
的图像总过的点是（）
A.（1,3）B.（1,0）
C.（-1,3）D.（-1,0）
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解法一、特殊值法
可见这是一个抛物线群。
如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。
解：
任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2
则函数解析式变为：
联立方程组
中，无论m为何值，等式总成立。
所以，抛物线群
故应选A
解法二、变换主元法
依据：
一元一次方程
中所有的抛物线恒经过定点（1，3）
的解有三种情形：
（1）当aM0时，方程有惟一解：
；
（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；
（3）当a=0,bM0时，方程无解。
这里所求定点坐标与m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b（a、b为含x、y的代数式）中，a=b=0时的情形。
解：
将其二次函数整理变形为：
令
所以，无论m为何值时，（1,3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1,3）
故应选A
巩固练习：
1•无论m为何实数，二次函数y=x2-（2-m）x+m的图象总是过定点（）
A.（1，3）B.（1，0）C.（-1，3）D.（-1，0）
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2.对于关于x的二次函数y=ax2-（2a-1）x-1（a^0）,下列说法正确的有（
①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定
点，且两定点之间的距离为：
；
3当a>0时，函数在xv1时，y随x的增大而减小；④当av0时，函数图象截x轴
所得的线段长度必大于2.
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.（2012?
鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx-2mx+3（0）的图象发现，随
着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：
.
4.某数学小组研究二次函救y=mx-3mx+2（m^0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函
数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出这两个定点的坐标：
.
5.（2009?
宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b-c=2,则这个函数的图象一定经过某一个
定点，这个定点是.
2、,
6.无论m为何实数，二次函数y=x-（2-m）x+m的图象总是过定点.
7.已知一个二次函数具有性质
（1）图象不经过三、四象限；
（2）点（2，1）在函数的图象上;（3）当x>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：
.
8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3）图像过定点，求出该定点坐标
9.已知函数y=mx2—6x+1（m是常数）.
⑴求证：
不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
解：
⑴当x=0时，y1.
所以不论m为何值，函数ymx26x1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）.
⑵①当m0时，函数y6x1的图象与x轴只有一个交点；
②当m0时，若函数ymx26x1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx26x10有两个相等
的实数根，所以（6）24m0，m9.
综上，若函数ymx26x1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.11.已知二次函数的10.顶点坐标为（-时“，-时门），与y轴的交点为（0,n-m,其顶点恰好在直线y=x42：
（1-m）上（其中mn为正数）.
（1）求证：
此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）在x轴上是否存在这样的定点：
不论mn如何变化，二次函数的图象总通过此定点？
若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.
分析：
1in2
（1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+丄（1-m）得-」-+丄（1-m）=-迺一，整理后利用因式分解
2nrl-n2nr+n
得到（m-n）（m+1）=0，则m=n或m=-1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（-丄，-£），与y轴
22
的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向
上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）由
（1）得到抛物线的对称轴为直线x=-二，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），利用对称性
2
得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）
（1）证明：
把（-」，
2
-）
代入
y=x+二（1-m）得-
12+_（1-m）=-，
nd-n
m+n
\2
m+ri|2rrr+n
整理得m2-mn+m-n=0，
'/（m-n）（m+1）=0，
--m=n或m-1（舍去），
•••二次函数的顶点坐标为（-
1
-丄）,
与y轴的交点为（
0，0），
2
2
•••m为正数，
••
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