最新3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用.docx

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最新3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用

3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用

第三章微分中值定理与导数的应用

【考试要求】

1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．

2．熟练掌握洛必达法则求“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”和“«SkipRecordIf...»”型未定式极限的方法．

3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．

4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．

5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点．

6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．

【考试内容】

一、微分中值定理

1．罗尔定理

如果函数«SkipRecordIf...»满足下述的三个条件：

（1）在闭区间«SkipRecordIf...»上连续；

（2）在开区间«SkipRecordIf...»内可导；

（3）在区间端点处的函数值相等，即«SkipRecordIf...»，

那么在«SkipRecordIf...»内至少有一点«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»），使得«SkipRecordIf...»．

说明：

通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若«SkipRecordIf...»，则称点«SkipRecordIf...»为函数«SkipRecordIf...»的驻点．

2．拉格朗日中值定理

如果函数«SkipRecordIf...»满足下述的两个条件：

（1）在闭区间«SkipRecordIf...»上连续；

（2）在开区间«SkipRecordIf...»内可导，

那么在«SkipRecordIf...»内至少有一点«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：

«SkipRecordIf...»．

说明：

当«SkipRecordIf...»时，上式的左端为零，右端式«SkipRecordIf...»不为零，则只能«SkipRecordIf...»，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．

3．两个重要推论

（1）如果函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上的导数恒为零，那么«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上是一个常数．

证：

在区间«SkipRecordIf...»上任取两点«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»（假定«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»同样可证），应用拉格朗日中值公式可得

«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）．

由假定，«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»．

因为«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»上任意两点，所以上式表明«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上的函数值总是相等的，即«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上是一个常数．

（2）如果函数«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»内的导数恒有«SkipRecordIf...»，则这两个函数在«SkipRecordIf...»内至多相差一个常数，即«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»为常数）．

证：

设«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，根据上面的推论

（1）可得，«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»，故«SkipRecordIf...»．

二、洛必达法则

1．«SkipRecordIf...»时“«SkipRecordIf...»”型未定式的洛必达法则

如果函数«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»满足下述的三个条件：

（1）当«SkipRecordIf...»时，函数«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»都趋于零；

（2）在点«SkipRecordIf...»的某个去心邻域内«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»都存在且«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»存在（或为无穷大），

那么«SkipRecordIf...»．

说明：

这就是说，当«SkipRecordIf...»存在时，«SkipRecordIf...»也存在且等于«SkipRecordIf...»；当«SkipRecordIf...»为无穷大时，«SkipRecordIf...»也是无穷大．

2．«SkipRecordIf...»时“«SkipRecordIf...»”型未定式的洛必达法则

如果函数«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»满足下述的三个条件：

（1）当«SkipRecordIf...»时，函数«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»都趋于零；

（2）当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»都存在且«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»存在（或为无穷大），

那么«SkipRecordIf...»．

说明：

我们指出，对于«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时的未定式“«SkipRecordIf...»”，也有相应的洛必达法则．

3．使用洛必达法则求“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型极限时的注意事项

（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：

«SkipRecordIf...»就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故«SkipRecordIf...»．

（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．

（3）洛必达法则是求“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：

求«SkipRecordIf...»时，可先用«SkipRecordIf...»进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故

«SkipRecordIf...»．

（4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：

求«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子«SkipRecordIf...»和分母上的因子«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时极限均为«SkipRecordIf...»，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．

（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当«SkipRecordIf...»不存在时（等于无穷大的情况除外），«SkipRecordIf...»仍可能存在．例如：

极限«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»极限是不存在的，但是原极限是存在的，«SkipRecordIf...»．

4．其他类型的未定式

除了“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”及“«SkipRecordIf...»”型等．对于“«SkipRecordIf...»”和“«SkipRecordIf...»”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“«SkipRecordIf...»”或“«SkipRecordIf...»”型；对于“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”及“«SkipRecordIf...»”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“«SkipRecordIf...»”型，然后再转化成“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型未定式．

三、函数单调性的判定法

1．单调性判定法

设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，在«SkipRecordIf...»内可导，

（1）如果在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»，那么函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调增加；

（2）如果在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»，那么函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调减少．

说明：

①如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立；

②若判定法中«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内只有有限个点上«SkipRecordIf...»，而在其余点上恒有«SkipRecordIf...»（或«SkipRecordIf...»），则函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上仍然是单调增加（或单调减少）的．

2．单调区间的求法

设函数«SkipRecordIf...»在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数«SkipRecordIf...»的单调性的步骤如下：

（1）求出函数«SkipRecordIf...»的定义域；

（2）求出函数«SkipRecordIf...»的导数«SkipRecordIf...»，并令«SkipRecordIf...»求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得«SkipRecordIf...»分母为零的点）；

（3）用函数«SkipRecordIf...»的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．

3．用单调性证明不等式

函数«SkipRecordIf...»的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：

（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为«SkipRecordIf...»，根据要证明的式子找出不等式成立的«SkipRecordIf...»的范围«SkipRecordIf...»；

（2）求«SkipRecordIf...»的导数«SkipRecordIf...»，判断«SkipRecordIf...»在上述«SkipRecordIf...»范围内的符号（即正负）；

（3）根据范围«SkipRecordIf...»的边界值与«SkipRecordIf...»的情况，导出所需要证明的不等式即可．

例如：

试证明当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．

证明：

原不等式即为«SkipRecordIf...»，故令«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，

则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»，因此在«SkipRecordIf...»上«SkipRecordIf...»单调增加，从而当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，又由于«SkipRecordIf...»，故«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»，亦即«SkipRecordIf...»．

四、函数的凹凸性与拐点

1．函数凹凸性的定义

设函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上连续，如果对«SkipRecordIf...»上任意两点«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»，恒有

«SkipRecordIf...»，那么称«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有«SkipRecordIf...»，那么称«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．

2．函数凹凸性的判定法

设函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上连续，在«SkipRecordIf...»内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的图形是凹的；

（2）若在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的图形是凸的．

说明：

若在«SkipRecordIf...»内除有限个点上«SkipRecordIf...»外，其它点上均有«SkipRecordIf...»（或«SkipRecordIf...»），则同样可以判定曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上为凹曲线（或凸曲线）．

3．曲线的拐点的求法

一般地，设«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上连续，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的内点（除端点外«SkipRecordIf...»内的点）．如果曲线«SkipRecordIf...»在经过点«SkipRecordIf...»时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点«SkipRecordIf...»为这曲线的拐点．

我们可以按照下述步骤求区间«SkipRecordIf...»上的连续函数«SkipRecordIf...»的拐点：

（1）求«SkipRecordIf...»；

（2）令«SkipRecordIf...»，解出这方程在区间«SkipRecordIf...»内的实根，并求出在区间«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»不存在的点；

（3）对于

（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点«SkipRecordIf...»，检查«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点«SkipRecordIf...»是拐点，当两侧的符号相同时，点«SkipRecordIf...»不是拐点．在«SkipRecordIf...»上单3．基本初等函数的微分公式

说明：

若要求函数«SkipRecordIf...»的凹凸区间，则用

（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间«SkipRecordIf...»分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定«SkipRecordIf...»的符号，若«SkipRecordIf...»，则该部分区间为凹区间，若«SkipRecordIf...»，则该部分区间为凸区间．

五、函数的极值与最值

1．函数极值的定义

设函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»的某邻域«SkipRecordIf...»内有定义，如果对于去心邻域«SkipRecordIf...»内任一«SkipRecordIf...»，有«SkipRecordIf...»（或«SkipRecordIf...»），那么就称«SkipRecordIf...»是函数«SkipRecordIf...»的一个极大值（或极小值）．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．

说明：

函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果«SkipRecordIf...»是函数«SkipRecordIf...»的一个极大值，那只是就«SkipRecordIf...»附近的一个局部范围来说，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的一个最大值，如果就«SkipRecordIf...»的整个定义域来说，«SkipRecordIf...»不见得是最大值．关于极小值也类似．

2．函数取得极值的必要条件

设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处可导，且在«SkipRecordIf...»处取得极值，那么«SkipRecordIf...»．

说明：

这也就是说，可导函数«SkipRecordIf...»的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，«SkipRecordIf...»的导数«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，因此«SkipRecordIf...»是这函数的驻点，但«SkipRecordIf...»却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处不可导，但函数在该点取得极小值．

3．判定极值的第一充分条件

设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处连续，且在«SkipRecordIf...»的某去心邻域«SkipRecordIf...»内可导．

（1）若«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，而«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极大值；

（2）若«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，而«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极小值；

（3）若«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»的符号保持不变，则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处没有极值．

4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤

设函数«SkipRecordIf...»在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下：

（1）求出导数«SkipRecordIf...»；

（2）求出«SkipRecordIf...»的全部驻点与不可导点；

（3）考查«SkipRecordIf...»的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；

（4）求出各极值点的函数值，就得函数«SkipRecordIf...»的全部极值．

5．判定极值的第二充分条件

设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处具有二阶导数且«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，那么

（1）当«SkipRecordIf...»时，函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极大值；

（2）当«SkipRecordIf...»时，函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极小值．

说明：

该极值判定条件表明，如果函数«SkipRecordIf...»在驻点«SkipRecordIf...»处的二阶导数«SkipRecordIf...»，那么该驻点«SkipRecordIf...»一定是极值点，并且可按二阶导数«SkipRecordIf...»的符号来判定«SkipRecordIf...»是极大值还是极小值．但如果«SkipRecordIf...»，则该判定条件失效．事实上，当«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»这三个函数在«SkipRecordIf...»处就分别属于上述三种情况．因此，如果

函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．

6．求«Ski