数竞平面几何四点共圆讲义教师版.docx

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高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班

平面几何（四点共圆）冲刺讲义

________班_______号姓名________________

一、知识准备

以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：

1.欧拉线：

的垂心，重心，外心三点共线.

此线称为欧拉线，且有关系：

2.九点圆定理：

三角形的三条高的垂足、三边的中点，

以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，

共九点共圆。

此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.

①的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点

②九点圆的半径是的外接圆半径的.

3.三角形内心与旁心的性质：

的内心为，而边外的旁心分别为；

分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交于，则：

①三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直；

②，；

③（角平分线定理）；

④（“鸡爪”定理）.

二、例题分析

例1.是的外接圆的直径，过作圆的切线交于，连接并延长分别交、

于、，求证：

.

证明：

过作的平行线分别交、于、，则.

取中点，连接、、、.

，四点共圆.

，而由，有.

，四点共圆.

，而，，.

而是的中点，是的中点，.

.

例2.等腰梯形中，∥，，分别是，的内心，是直线上的一点，，的外接圆交的延长线于.

证明：

．

证明：

，故共圆，

则，因此，

而，

所以，，由此，．

例3.在中，，内心为，内切圆在，边上的切点分别为，，设是

关于点的对称点，是关于点的对称点.

求证：

四点共圆.

证明：

设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记

的中点为，则．设点在直线上的射影为，

由于则半周长，

于是，

又

所以∽，且相似比为，

熟知：

。

又∽，

所以，即是的中点

进而，

所以都在以为圆心的同一个圆周上．

Z

例4.设A、B为圆Γ上两点，X为Γ在A和B处切线的交点，在圆Γ上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CA⊥BD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点．证明：

X、F、G、H四点共圆．

证明：

设O为圆心，AB∩XO=M．

∵△XOA∽△XAM，∴OX·XM=XA2=XC·XD．

∴O、M、C、D四点共圆．

∴∠XMO=∠OCD=∠ODC=∠OMC．

∴∠CMG=∠GMD．

在CM上选取一点E使MX∥DE，则MD=ME．

．

在GX上取点X′，使∠GFD=∠DFX′，在X′F上取W使CF∥GW．

由得CG·X′D=X′C·GD．

由上面两式得=，故X=X′．∴∠GFD=∠XFD．

又∵=<1和∠XPB=∠CDF<1．∴H和B在CX的同一侧．

设H′为直线BF与△GFX外接圆的交点，则

∠H′XG=∠H′FG=∠H′FX=∠H′GX．

∴H′G=H′X，∴H′=H．

∴X、F、G、H四点共圆，得证．

注：

上述证法比较麻烦，本题实质如下：

易知为调和点列，又，

可得为的平分线，

设外接圆交于点，

由“鸡爪”定理知，从而在的中垂线上，

本题得证.

例5.△ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P，O、H分别为三角形的外心与垂心．求证：

AP⊥OH．

证明：

由∠BMC=∠BNC=90°知B、C、N、M四点共圆．

∴AM·AB=AN·AC．

又AE=AB,AF=AC，∴AM·AE=AN·AF，即E、F、N、M共圆．

注意到由∠AMH=∠ANH=∠AEO=∠AFO=90°知

AH、AO分别为△AMN、△AEF外接圆的直径．

过AH中点H′与AO中点O′分别为△AMN与△AEF的外心，且易知O′H′∥OH．

∴只需证AP⊥O′H′，只需证A、O为△AMN、△AEF外接圆的等幂点即可．

注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知PM·PN=PE·PF．

故P也为等幂点．

综上所述，原命题成立．

例6.设△ABC内接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S．证明：

若QR=ST，则PQ=UT．

证明：

过O作OK⊥PU=K，OF⊥BU=F，连结AK延长交⊙O于另一点E，

过C作CH∥PU交AE于G，交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE．

由垂径定理知BF=FC,QK=KT，且QR=ST．

∴RK=KS即K是RS的中点，且CH∥PU．

∴==⇒==1⇒HG=GC．

由中位线定理知FG∥BH．

∴∠FGE=∠BAE=∠BCE⇒F、G、C、E共圆．

∴∠EFC=∠EGC=∠AGH=∠UKG．

∴∠EFO+∠OKE=∠OFC+∠CFE+∠OKE

=90°+（∠UKG+∠OKE）

=90°+90°=180°．

∴K、O、F、E四点共圆…①

又∵∠OKU+∠OFU=2×90°=180°，

∴K、O、F、U四点共圆…②

结合①②知K、O、F、E、U五点共圆，∴∠KUO=∠KEO．

又∵PA为⊙O切线⇒OA⊥PA，且OK⊥PU⇒∠KEO=∠KAO．

∴∠KPO=∠KUO⇒OP=OU．

又∵OK⊥PU，∴PK=UK．

而QK=TU，∴PQ=UT，得证．

例7.AB、AC为⊙O切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、O、P三点共线，⊙P为以P点为圆心、PD为半径的圆．证明：

C点在△BMP外接圆与⊙P的根轴上．

证明：

作PR⊥AC，其延长线交BC延长线于S．

∵∠OMA=∠OBA=∠OCA=90°，

∴A、C、O、M、B五点共圆．

∴∠BMP=∠BMA+90°=∠BCA+90°=180°－∠RSC．

∴B、M、P、S四点共圆．

∴C对△BMP外接圆的幂为－CB·CS=－2CA·CR．

而C对⊙P的幂为

CP2－PD2=CP2－（AP2－AD·AE）=CP2－AP2+AC2

=CR2+RP2－PR2－AR2+AC2

=CR2－（CR+CA）2+CA2

=－2RC·CA．

∴C点对⊙P的幂等于C点到△BMP外接圆的幂．

∴C点在上述两圆根轴上，得证．

例8.设H为△ABC的垂心，D、E、F为△ABC的外接圆上三点，使AD∥BE∥CF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点．求证：

S、T、U、H四点共圆．

证明：

先证引理：

ABC外接圆⊙O与它的九点圆⊙V关于△ABC的垂心H位似，且位似比为．

引理的证明：

设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F，交⊙O于D′、E′、F′．

易知HD=HD′,HE=HE′,HF=HF′．

∴△D′E′F′与△DEF关于H位似，位似比为．

∴△D′E′F′外接圆与△DEF外接圆关于H位似，

即⊙O与⊙V关于H位似，位似比为．

回到原题：

设BC、CA、AB中点分别为X、Y、Z，过D作DP∥BC，交⊙O于P，

设PH中点为W．

易知SD⊥BC，设PS交BC于X′，则由SD关于BC对称知SX′=X′D．

∴X′为BC中点，即X与X′重合，即P与S关于X对称．

同理P与U、T分别关于Z、Y对称．

∴四边形USHT与四边形ZYWX对称．

由引理知Z、X、Y、W四点共圆．

∴U、T、H、S四点共圆，得证．

例9.给定锐角△ABC，过A作BC的垂线，垂足为D，记△ABC的垂心为H，在△ABC的外接圆上任取一动点P，延长PH交△APD的外接圆于Q．求Q点的轨迹．

解：

Q点轨迹为△ABC的九点圆．

如图，取AH、BH、PH的中点M、N、K，

延长AD交△ABC外接圆于G．

则熟知HD=DG，

连接KN、MN、KD、PB、PG．

因为各取中点有

∠NKD=∠BPG,∠NMD=∠BAG．

∴K、N、M、D四点共圆．

又Q在△APD的外接圆上，

∴PH·HQ=AH·HD，即2KH·HQ=2MH·HD．

∴KH·HQ=MH·HD．

于是有K、D、Q、M、N五点共圆．

又△DMN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上．

反之，在如上所述九点圆上任取一点Q′，设Q′H延长线交△ABC外接圆于P′，取P′H中点R，同上可证R在九点圆上．

故2RH·HQ′=2MH·HD，即P′H·HQ′=AH·HD．

因此Q′在△AP′D外接圆上．得证．

例10.在△ABC中，D是BC边上的一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆的圆心．求证：

O′D⊥BC⇔AD恰好经过△ABC的九点圆心．

证明：

连AO1、BO1、AO2、CO2，作AB、AC垂直平分线交于点O．

∵∠AO2C=2∠ADB=∠AO1B,AO1=BO1,AO2=CO2，

∴△AO1B∽△AO2C．∴△AO1O2∽△ABC．

∴∠AO1O=180°－∠AO1B=180°－∠AO2C=180°－∠AO2O．

故O在⊙O′上，O是△ABC的外心，故△AO′O∽△AO1B．

又∠ADB=∠1,∠O1AB=∠O′AO=∠O′OA．

∴O′D⊥BC⇔∠BAO1=∠ADO′⇔∠ADO′=∠O′DA

⇔A、O′、O、D共圆

⇔∠AO′O=180°－∠ADO=∠ADB+∠ODC

⇔∠ADB=∠ODC（∵∠AO′O=2∠ADB）

如图，设OH与AD交于点K，作BC中垂线OM，交AD延长线于点M，OM与BC交于点L．

由∠ADB=∠ODC⇔DL=LM⇔OM=2OL=AH

⇔△AKH≌△MKO⇔OK=KH

⇔K为九点圆心⇔AD经过△ABC的九点圆心．

综上所述，命题得证．

例11.内接于,自作的切线,又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；

则四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心.

以下，我们仍按情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）

证明:

、如图,设的平分线交于，因，

则点关于直线对称，又因在上,

则，因此共圆,

由于为的切线，则，又由，

所以

，

因此为的内心.

、据条件知，为矩形,设角平分线交直线于，连，

由

（1）知,点关于直线对称，故，

则为的外角平分线，因此为边外的旁心.

、设的外角平分线交直线于，由，则共圆.

故共线,因此为边外的旁心.

、设的外角平分线交直线于，连，因

故共圆..

所以共线,即是的外角平分线,因此为边外的旁心．

例12.三角形中，是的中点，分别是边上的点，

且△的外接圆交线段于若点满足：

证明：

证明：

在圆中，由于弦故圆周角

，