完整word版正弦函数和余弦函数图像与性质docWord文件下载.docx
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【问题驱动
2】——如何作出正弦函数
ysinx,xR、余弦函数y
cosx,xR的函数
图象？
2、正弦函数ysinx,x
R的图像
（1）y
sinx,x0,2
的图像
【方案1】——几何描点法
步骤1：
等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；
步骤2：
描点——平移定点，即描点x,sinx；
步骤3：
连线——用光滑的曲线顺次连结各个点
小结：
几何描点法作图精确，但过程比较繁。
【方案2】——五点法
列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；
描点——定出五个关键点；
连线——用光滑的曲线顺次连结五个点
y
sinx,x
0,2的五个关键点是0,0
、
1、,0
3
0、2,0
。
2
（2）y
由sin2k
sinx,k
Z，所以函数y
sinx在区间2k
2k
kZ,k
上的图像与在区间
0,2
上的图像形状一样,只是位置不同.
于是我们只要将函数ysinx,x
0,2的图像向左、右平行移动
（每次平行移动
个单位长度），就可以得到正弦函数y
R的图像。
3、余弦函数ycosx,x
cosx,x
图像平移法
由sin
cosx，可知只须将y
sinx,xR的图像向左平移
即可。
三、例题举隅
例、作出函数y1sinx,x0,2的大致图像；
【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像
【解】
①列表
sinx
y1sinx
②描点
在直角坐标系中，描出五个关键点：
0,1、
2、
1、3,0
、2,1
③连线
、作出函数y
0,2的大致像
二、性质
1．定域：
正弦函数、余弦函数的定域都是数集R［或（－∞，＋∞）］，分作：
y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R
2．域
因正弦、余弦的度小于或等于位的半径的度，所以｜sinx｜≤1，
｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是，正弦函数、余弦函数的域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx，x∈R
①当且当x＝＋2kπ，k∈Z，取得最大1
②当且当x＝－＋2kπ，k∈Z，取得最小－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且当x＝2kπ，k∈Z，取得最大1
②当且当x＝（2k＋1）π，k∈Z，取得最小－1
3．周期性
由sin（x＋2kπ）＝sinx，cos（x＋2kπ）＝cosx（k∈Z）知：
正弦函数、余弦函数是按照一定律不断重复地取得的。
一般地，于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定域内的每一个
，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做个函数的周期。
由此可知，2π，4π，⋯⋯，－2π，－4π，⋯⋯2kπ（k∈Z且k≠0）都是两个函数
的周期
对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。
4．奇偶性
由sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx
可知：
y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数
∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
5．单调性
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－
＋2kπ，
＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－
1增大到
1；
在每一个闭区间［
＋2kπ，
＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从
1减小到－
1。
余弦函数在每一个闭区间［到1；
（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增加
2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1
y=sinx
y=cosx
图象
定义域
R
值
域
[1,1]
[
1,1]
当且仅当x＝
＋2k
当且仅当
x＝2kπ，k∈Z
最
时，取得最大值
x＝（2k＋1）π，k
π，k∈Z时，取得最大值
∈Z时，取得最小值－1
当且仅当x＝－
π，k∈Z时，取得最小值－1
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在闭区间［－
在闭区间［（2k－1）π，2k
π］（k∈Z）上单调递增；
＋2kπ］（k∈Z）
π，
在每一个闭区间［2kπ，
上单调递增，；
在闭区
间［
＋2kπ，3
＋
（2k＋1）π］（k∈Z）上单调
2kπ］（k∈Z）上单调递
递减
减
典型例题（3个，基础的或中等难度）
例1：
求使下列函数取得最大值的自变量
x的集合，并说出最大值是什么。
（1）y＝cosx＋1，x∈R；
（2）y＝sin2x，x∈R
解：
（1）使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R
取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝。
∴函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2。
（2）令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大
值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ
24
即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝
4
∴函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1。
例2：
求下列函数的单调区间
（1）y＝－cosx
（2）y=1
sin（4x-
）
（3）y=3sin（-2x）
（1）由y＝－cosx的图象可知：
单调增区间为［
2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）
单调减区间为［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）
（2）当2kπ-
≤4x-
≤2kπ+
，
[k
，k
+5
∴函数的递增区间是
-
24
]（k∈Z）
当2kπ+≤4x-
≤2kπ+3
∴函数的递减区间是
k
+11
（3）当2kπ-
≤
-2x≤2kπ+
时，函数单调递减，
∴函数单调递减区间是
[kπ-
，kπ+5
12
当2kπ+
-2x≤2kπ+3
时，函数单调递增，
∴函数单调递减区间是[kπ+5
，kπ+11
例3：
求下列三角函数的周期：
（1）y=sin（x+）
（2）y=cos2x（3）y=3sin（
+
5
（1）令z=x+
而sin（2
+z）=sinz
即：
f（2+z）=f（z）
f[（x+2
）+
]=f（x+
）∴周期T=2.
（2）令z=2x
∴f（x）=cos2x=cosz=cos（z+2）=cos（2x+2
）=cos[2（x+）]
f（x+
）=f（x）∴周期T=
则
（3）令z=+
25
f（x）=3sinz=3sin（z+2
）=3sin（
+2）=3sin（
x4
）=f（x+4）
∴周期T=4
注：
y＝Asin（ωx＋φ）的周期T=
|
（四）课堂练习（
2个，基础的或中等难度）
1、求使下列函数
y=3-cos
x取得最大值的自变量
当cosx=-1，即x=2k
，k∈Z，∴{x|x=4k+2
，k∈Z}，
x取得最大值。
2、求y=
sin2
x的周期。
∵y=1
x=
（1-cos2x）=
1-1
cos2x，∴T=。
3、求函数y=3cos（2x+
）的单调区间。
当2kπ≤2x+
≤2kπ+时，函数单调递减，
∴函数的单调递减区间是
，kπ+
]（k∈Z）
6
当2kπ-
≤2x+
≤2kπ时，函数单调递增，
∴函数的单调递增区间是
，kπ-
（五）拓展探究（2个）
1、求下列函数的周期：
（1）y=sin（2x+
）+2cos（3x-
（2）y=|sinx|
（3）y=23sinxcosx+2cos2x-1
（1）y1=sin（2x+
最小正周期T1=
y2=2cos（3x-）最小正周期T2=
63
∴T为T1,T2的最小公倍数2∴T=2
（2）T=
（3）y=3sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=
2、求下列函数的最值：
（1）y=sin（3x+
）-1
（2）y=sin2x-4sinx+5
（3）y=3
cosx
（1）当3x+
=2k
即x=2k
（k
Z）时，ymax=0
当3x+
Z）时，ymin=-2
（2）y=（sinx-2）2
∴当x=2k-
max
+1
Z时，y=10
当x=2k
Z时，ymin=2
（3）y=-1+
当x=2k+
Z时，ymax=2
Z时，ymin=
作业
一、填空题
1、函数y=cos（x-
）的奇偶性是_________________。
2、函数y=-5sinx+1
的最大值是__________，此时相应的
x的值是
________________。
3、函数y=sinxcosx的最小正周期是_________。
4、函数y=sinxcos（x+
）+cosxsin（x+
）的最小正周期是________。
5、函数y=3cos（2x+
）的单调递减区间是___________________。
6、函数y=sinx
和y=cosx都为减函数的区间是
___________________。
7、函数y=sin（
-2x）
的单调递增区间是________________________。
8、已知函数y=f（x）是以
为周期，且最大值为
3，最小值为-1，则这个函数的解读式
可以是________________。
二、选择题
1、函数y=sinx，x∈[
，2
]的值域是
（
（A）[-1，1]
（B）[1
，1]
（C）[1，
]（D）[
3，1]
2、下列函数中，周期是
1的函数是
（A）y=sinx
（B）y=cos2x
（C）y=sin
（D）y=sin4kπ
3、下列函数是奇函数的是（）
（A）y=sin|x|
（B）y=xsin|x|
（C）
y=-|sinx|
（D）y=sin（-|x|）
4*、函数
y=sin（2x+
）+cos（2x+
）的最小正周期和最大值分别为
（）
（A），1
（B），
（C）2
，1
（D）2
三、解答题
1、已知函数
y=acosx-2b
的最小值为
-2，最大值为
4，求
a和
b的值。
2、求函数y=2sin2x+5cosx-1的值域。
3、判断下列函数的奇偶性：
（1）y=cos（2x-5
）；
（2）y=xsinx+cos3x
4、求函数y=sin2x-sinxcosx的单调区间。
1、奇函数；
2、6，{x|x=2kπ-
，k∈Z}；
3、；
4、π；
5、[kπ-
]（k∈Z）；
6、[2kπ+
2kπ+]（k∈Z）
7、[kπ+
，kπ+5
]（k∈Z）；
8
、y=2sin6x+1
（答案不唯一）
二、1、B；
2、D；
3、B；
4、A（y=
3sin2x+
1cos2x+1cos2x-
3sin2x
=cos2x）
1、当a>
0时，
当a<
a
2b
b
2、y=2（1-cos2x）+5cosx-1=-2
（cosx
5）2
33
∵cosx∈[-1,1]，∴y∈[-6
，4]
8
3、
（1）奇函数；
2）偶函数。
4、解：
y=
1cos2x-1sin2x=1-
1（sin2x+cos2x）=
1-
2sin（2x+
≤2
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