完整word版正弦函数和余弦函数图像与性质docWord文件下载.docx

1、【问题驱动2】如何作出正弦函数y sin x, x R 、余弦函数 ycos x, x R 的函数图象？2、正弦函数 y sin x, xR 的图像（ 1） ysin x, x 0,2的图像【方案 1】几何描点法步骤 1：等分、作正弦线将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤 2：描点平移定点，即描点 x,sin x ；步骤 3：连线用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。【方案 2】五点法列表列出对图象形状起关键作用的五点坐标；描点定出五个关键点；连线用 光滑 的曲线顺次连结五个点 ysin x, x0,2 的五个关键点是 0,0、,1 、 ,03,0

2、 、 2 ,0。2（ 2） y由 sin 2ksin x, kZ ，所以函数 ysin x在区间 2k,2kk Z ,k上的图像与在区间0,2上的图像形状一样 , 只是位置不同 .于是我们只要将函数 y sin x, x0,2 的图像向左、右平行移动（ 每次平行移动个单位长度 ） ，就可以得到正弦函数 yR 的图像。3、余弦函数 y cos x, xcos x, x图像平移法由 sincosx ，可知只须将 ysin x, x R 的图像向左平移即可。三、例题举隅例、 作出函数 y 1 sin x, x 0,2 的大致图像；【设计意图】考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像【解】列表sin

3、 xy 1 sin x描点在直角坐标系中，描出五个关键点：0,1 、,2 、,1 、 3 ,0、 2 ,1连线 、 作出函数 y0,2 的大致 像二、性质1定 域：正弦函数、余弦函数的定 域都是 数集 R或 （， ），分 作：y sinx， x R y cosx， x R2 域因 正弦 、余弦 的 度小于或等于 位 的半径的 度，所以 sinx 1，cosx 1，即 1 sinx 1， 1cosx 1也就是 ，正弦函数、余弦函数的 域都是 1，1其中正弦函数 y=sin x， x R当且 当 x 2k， k Z ， 取得最大 1当且 当 x 2k， k Z ，取得最小 1而余弦函数 y cos

4、x， x R当且 当 x2k， kZ ，取得最大 1当且 当 x（2k 1）， k Z ，取得最小 13周期性由sin（x 2k ） sinx， cos（x2k ） cosx （k Z）知：正弦函数 、余弦函数 是按照一定 律不断重复地取得的。一般地， 于函数 f（x），如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定 域内的每一个 ，都有 f（x T） f（x），那么函数 f（x）就叫做 周期函数 ，非零常数 T 叫做 个函数的 周期。由此可知， 2， 4， 2， 4， 2k（k Z 且 k0） 都是 两个函数的周期对于一个周期函数 f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小

5、正数就叫做 f（x）的最小正周期。4奇偶性由sin（ x） sinx， cos（ x） cosx可知： y sinx 为奇函数， y cosx 为偶函数正弦曲线关于原点 O 对称 ,余弦曲线关于 y 轴对称5单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 2k ，2k （k Z）上都是增函数，其值从1 增大到1；在每一个闭区间 2k， 2k （k Z）上都是减函数，其值从1 减小到1。余弦函数在每一个闭区间到 1；（2k 1）， 2k （k Z）上都是增函数，其值从 1 增加2k， （2k 1） （k Z）上都是减函数，其值从 1 减小到 1y=sinxy= cosx图 象定义域R值域 1,

6、11,1当 且 仅 当 x 2k当且仅当x 2k ， k Z最时，取得最大值x （2k 1）， k， k Z 时，取得最大值 Z 时，取得最小值 1当且仅当 x， k Z 时，取得最小值 1周期性奇偶性奇函数偶函数单调性在 闭 区 间 在闭区间 （2k 1） ， 2k （k Z）上单调递增； 2k （k Z），在每一个闭区间 2k ，上单调递增，；在闭区间 2k ， 3（2k 1） （k Z）上单调2k （k Z） 上单调递递减减典型例题（ 3 个，基础的或中等难度）例 1：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。（1） y cosx 1， xR ； （ 2） y sin

7、2x， x R解：（ 1）使函数 y cosx 1，x R 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 ycosx， x R取得最大值的 x 的集合 x x 2k，k Z 。函数 ycosx 1， xR 的最大值是 11 2。（ 2）令 Z 2x，那么 x R 必须并且只需 Z R ，且使函数 y sinZ ， Z R 取得最大值的 Z 的集合是 Z Z 2k， k Z 由 2x Z 2k，得 x k2 4即 使函数 y sin2x， xR 取得最大值的 x 的集合是 x x k， k Z 4函数 y sin2x ， x R 的最大值是 1。例 2：求下列函数的单调区间（ 1）y cosx（ 2）

8、y= 1sin（4x -）（ 3） y=3sin（-2x）（ 1）由 y cosx 的图象可知：单调增区间为2k， （2k 1） （k Z）单调减区间为 （2k 1）， 2k （k Z）（ 2）当 2k - 4x- 2k+， k， k+ 5函数的递增区间是-24 （k Z）当 2k + 4x- 2k + 3函数的递减区间是,k+ 11（ 3）当 2k-2x 2k +时，函数单调递减， 函数单调递减区间是 k -， k+ 512当 2k +-2x 2k + 3时，函数单调递增， 函数单调递减区间是 k + 5， k+ 11例 3：求下列三角函数的周期：（1） y=sin（x+ ） （2） y=c

9、os2x （3） y=3sin（+5 （ 1）令 z= x+而 sin（2+z）=sinz即： f（2 +z）=f （z）f（x+2）+=f（x+） 周期 T=2 .（2） 令 z=2x f （x）=cos2x=cosz=cos（z+2 ）=cos（2x+2）=cos2（x+ ） f （x+）=f （x）周期 T=则（3） 令 z= +25f （x）=3sinz=3sin（z+2）=3sin（+2 ）=3sin（x 4）=f （x+4 ）周期 T=4注： y Asin（ x ）的周期 T=|（四）课堂练习（2 个，基础的或中等难度）1、求使下列函数y=3 -cosx 取得最大值的自变量当 co

10、s x =-1 ，即 x =2k， k Z ， x|x=4k +2， k Z ，x 取得最大值。2、求 y=sin 2x 的周期。 y= 1x =（1-cos2x ）=1 - 1cos2x， T= 。3、求函数 y=3cos（2x+）的单调区间。当 2k 2x+ 2k+ 时，函数单调递减， 函数的单调递减区间是， k + （k Z ）6当 2k - 2x+2k时，函数单调递增， 函数的单调递增区间是， k -（五）拓展探究（ 2 个）1、求下列函数的周期：（ 1）y=sin（2x+）+2cos（3x-（2） y=|sinx|（ 3） y=2 3 sinxcosx+2cos 2x- 1（ 1）

11、y1 =sin（2x+最小正周期 T 1=y2 =2cos（3x- ） 最小正周期 T2=6 3T 为 T 1 ,T2 的最小公倍数 2 T=2（2） T=（ 3） y= 3 sin2x+cos2x=2sin（2x+ ） T=2、求下列函数的最值：（ 1） y=sin（3x+）- 1（2） y=sin 2x- 4sinx+5（ 3） y= 3cos x（ 1）当 3x+=2k即 x= 2k（kZ） 时， ymax=0当 3x+Z） 时， ymin=- 2（ 2） y=（sinx - 2）2当 x=2k -max+1Z 时， y =10当 x=2kZ 时， ymin= 2（ 3） y=- 1+当

12、 x=2k +Z 时， ymax=2Z 时， ymin=作业一、填空题1、函数 y=cos（x -）的奇偶性是 _ 。2 、 函 数 y=-5sinx+1的 最 大 值 是 _ ， 此 时 相 应 的x 的 值 是_ 。3、函数 y=sinxcosx 的最小正周期是 _。4、函数 y=sinxcos（x+）+cosxsin（x+）的最小正周期是 _。5、函数 y=3cos（2x+） 的单调递减区间是 _ 。6、函数 y=sinx和 y=cosx 都为减函数的区间是_ 。7、函数 y=sin（-2x）的单调递增区间是 _ 。8、已知函数 y=f（x） 是以为周期，且最大值为3，最小值为 -1 ，

13、则这个函数的解读式可以是 _ 。二、选择题1、函数 y=sinx ， x， 2的值域是（ A ） -1 ，1（ B ） 1， 1（ C） 1 ， （ D） 3 ，12、下列函数中，周期是1 的函数是（ A） y=sin x（ B）y=cos2x（ C） y=sin（ D） y=sin 4k3、下列函数是奇函数的是 （ ）（ A ） y=sin|x|（B ） y=xsin|x|（ C）y= -|sinx|（D ） y=sin（ -|x| ）4* 、函数y=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（ ）（ A ） ， 1（B ） ，（C） 2， 1（D ） 2三、解答题1、已知

14、函数y=acosx-2b的最小值为-2 ，最大值为4，求a 和b 的值。2、求函数 y=2 sin 2 x +5cosx -1 的值域。3、判断下列函数的奇偶性：（ 1）y=cos（2x - 5） ；（2） y=xsinx+cos3x4、求函数 y= sin 2 x -sinxcosx 的单调区间。1、 奇函数；2、 6， x|x=2k -， k Z ；3、 ；4、；5、 k - （k Z）；6、 2k +, 2k + （k Z）7、 k +， k + 5（k Z）； 8、 y=2sin6x+1（答案不唯一）二、 1、 B；2、 D；3、B ；4、 A （ y=3 sin2x+1 cos2x+ 1 cos2x-3 sin2x=cos2x ）1、当 a0 时，当aa2bb2、 y=2（1 - cos2 x ）+5cosx-1=-2（cos x5） 233 cosx -1,1 ， y -6，483、（ 1）奇函数；2）偶函数。4、解： y=1 cos 2x - 1 sin2x= 1 -1 （sin2x+cos2x）=1 -2 sin（2x+2