四川省巴中市届高三第一次诊断性考试数学理试题PDF版Word文档格式.docx
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∴AB平面PAD·
·
2分
又PN平面PAD
∴ABPN·
3分
由PAPD,NAND得：
PNAD·
4分
∵ABADA,AB,AD平面ABCD
∴PN平面ABCD·
6分证法二
又AB平面ABCD
∴平面ABCD平面PAD·
3分
4分∵平面ABCD平面PADAD,PN平面PAD
∴PN平面ABCD·
6分
（2）解法一：
向量方法
由APPD，NAND，AB2,AD4得：
NANDPNNE2
取BC的中点E，连结NE，则NE//AB，故NEAD
由
（1）知：
PNNA,PNNE,NENA·
7分
以N为原点，NA，NE，NP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，于是，有：
z
NA,B（2,2,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2）
（0,0,0）,（2,0,0）
P
∴NP（0,0,2）,CB（4,0,0）,CP（2,2,2）·
8分
设平面NPC的一个法向量为m（x,y,z）
mNP0,z0,
C
D则由得：
2x2y2z0.
mCP0.N
y
E
取y1得：
m（1,1,0）·
9分
A
B
x
一诊考试理科数学参考答案第1页共9页
设平面BPC的一个法向量为u（a,b,c）
uCB0,a0,
则由得：
2a2b2c0.uCP0.
取b1得：
u（0,1,1）·
10分
∴cos,11
mu·
11分
mu
|m||u|22
∴二面角BPCN的余弦值为1
解法二：
．·
12分
如右图，连结CN，DE，由已知，得：
四边形NECD为正方形
∴DECN·
PN平面ABCD，又DE平面ABCD
zP
∴PNDE
又PNCNN，PN,CN平面PNC
∴DE平面PNC，即DE为平面PNC的法向量·
Q·
连结PE，取PE的中点Q，连结NQ
由已知及
（1）可得：
PNBC,NEBC
∴BC平面PNE
∴BCNQ
由PN＝NE得：
NQPE，又PEBCE
x
B
∴NQ平面PBC，即NQ为平面PBC的法向量·
以N为原点，NA，NE，NP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
则有：
1（）（0,1,1）
NQNENP，DEDNDC（2,2,0）·
2
NQDE
∴cos,21
NQDE·
|NQ||DE|222
解法三：
综合法
取BC的中点E，连结NE，则NE//AB，NEAD,且NE2EC
取NC的中点F，连结EF，则EFNC
过F作FGPC，垂足为G，连结EG
PN平面ABCD，故PNEF
∴EF平面PNC
又PC平面PNC
G
∴EFPC·
又EFFGF
F∴PC平面EFG
∴PCEG·
8分由EG平面PBC，FG平面PNC
∴EGF为二面角BPCN的平面角·
在直角△ENC中，NE2EC
∴NC22,EFNEEC2，CFCE2EF22·
10分
NC
在直角△PNC中，由NC22,PN2得：
PC23
由△CFG∼△CPN得：
FGCF，故6
PNCP3
FG
∴2226
EGEFFG
3
∴cos1
EGF·
FG
GE2
一诊考试理科数学参考答案第2页共9页
即二面角BPCN的余弦值为1
解法四：
取BC的中点E，连结NE
PNNA,PNNE,NENA
由已知，得：
PNNDNE2
以PN,ND,NE为棱将四棱锥PNECD补形为正方体NECDPGHM，如图·
7分
连结NG,NC,DE
M
H
在正方体NECDPGHM中，由正方体的性质易知：
DE平面PNC，NG平面PEC·
9分
即DE，NG分别为平面PNC，平面PEC的法向量·
连结DH，EH，则由正方体的性质知：
NG//DH，△DEH为等边三角形D
∴HDE60·
11分
∴DE与NG的夹角为60
∴二面角BPCN的余弦值为1B
．·
218．（12分）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足4Sn（an）（nN*）．
1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设2an
ba，求数列{bn}的前n项和Tn．
nn
（1）由4
（1）2（*）
SnanN知：
n
当n1时，有4a1（a11）,a10，解得a11·
1分
22
由1
4Sn（an1）,4Sn（an1）两式想减，得：
22220
4an1（an1）（an1），化简得：
a1a1aa·
1nnnn
变形得：
（an1an）（an1an2）0·
∵对nN*，有an0
∴an1an2，即an1an2·
故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列·
5分∴an2n1·
6分
（2）解法一
∵2an
ba，an2n1
∴b2n122n1·
∴Tn（132n1）（2232522n1）·
8分
nnn
nnn21n2
[1（21）]2（14）2422+32
21433
∴
T
2n12
23n2
·
解法二
由
（1）及已知，得：
Snn2·
记2an
c，数列{cn}前n项和为An，则TnSnAn·
c
∵12,n14
c
∴数列{cn}是以2为首项，4为公比的等比数列·
2（14）2212
143
一诊考试理科数学参考答案第3页共9页
19．（12分）“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”
已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容．某
班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长
0.20
频率
组距
情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：
cm），经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21），
0.10
[21,23），[23,25），[25,27），[27,29），[29,31]分成6组，制
成如图所示的频率分布直方图．据当地柏树苗生长规律，高度
2a
a
不低于27cm的为优质树苗．
019212325272931cm
（1）求图中a的值；
（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
A试验区B试验区合计
优质树苗20
非优质树苗60
合计
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X，求X的分布列和数学期望EX．附：
参考公式与参考数据：
2n（adbc）
K
（ab）（cd）（ac）（bd）
PK2…k0.0100.0050.001
（）
其中nabcd
k6.6357.87910.828
（1）根据频率直方图数据，有2（a22a0.1020.20）1，解得：
a0.025.·
（2）根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120（0.1020.0252）30·
列联表如下：
5分
优质树苗102030
非优质树苗603090
合计7050120
可得；
2120（10302060）7210.310.828
K·
705030907
所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系·
注：
也可由
2120（10302060）7210.28610.828
K得出结论
（3）用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为30
120
4
X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知：
X服从二项分布，即X∼（4,1）
413
∴PXk4k·
（）C（）（）（0,1,2,3,4）
kkk4
44
13811327即：
PXC004；
113
（0）（）（）P（X1）C（）（）；
442564464
1327133PX；
331
（2）C（）（）P（X3）C（）（）；
222
441284464
131440
P（X4）C（）（）．
44256
∴X的分布列为：
X0123
81
256
27
64
128
一诊考试理科数学参考答案第4页共9页
∴数学期望为（）411
EX·
12分
（或（）08112722733411
EX）．
2566412864256
评分说明：
13分布列的表示有解析法、列表法和图象法三种，本题若只写出PXk4k，
（）C（）（）（0,
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