分类讨论在导数中的应用.doc

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分类讨论在导数中的应用

含参数导数问题的三个基本讨论点

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。

随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。

由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：

他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。

一、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

例1（07高考山东理科卷改编）设函数，其中，求函数的极值点

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

例2（2008高考浙江卷理科）已知是实数，函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设为在区间上的最小值。

三、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例3（2007年高考天津理科卷）已知函数，其中。

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。

因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。

当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

课堂练习

1.（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）已知函数

（II）当时，讨论的单调性.

2.（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。

例1：

当时，有唯一极小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点；

当时，无极值点。

例2：

（1）当时，的单调递增区间为。

当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为

（2）

例3：

（Ⅱ）当时，在区间，内为减函数，在区间为增函数。

在处取得极小值；函数在处取得极大值。

当时，在区间，内为增函数，在区间为减函数。

故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。

练习1：

当时，函数在（０，１）上单调递减；在（１，＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0，+∞）上单调递减；

当时，函数在（0，1）上单调递减；在上单调递增；上单调递减，

练习2：

当a≥0时，f（x）在（0,+）单调增加；

当a≤－1时，f（x）在（0,+）单调减少；

当－1＜a＜0时，f（x）在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.

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