上海高考数学理科真题含解析.doc
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2016年上海高考数学（理科）真题
一、解答题（本大题共有14题，满分56分）
1.设，则不等式的解集为________________
【答案】
【解析】，即，故解集为
2.设，其中为虚数单位，则_________________
【答案】
【解析】，故
3.:
:
则的距离为__________________
【答案】
【解析】
4.某次体检，位同学的身高（单位:
米）分别为，则这组数据的中位数是___
（米）
【答案】
5.已知点在函数的图像上，则的反函数____________
【答案】
【解析】，故，
∴
∴
6.如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，
则该正四棱柱的高等于____________________
【答案】
【解析】,
7.方程在区间上的解为________________
【答案】
【解析】，即
∴
∴
∴
8.在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于_______________
【答案】
【解析】，
通项
取
常数项为
9.已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于________________
【答案】
【解析】，
∴
∴
10.设，若关于的方程组无解，则的取值范围是_____________
【答案】
【解析】由已知，，且，∴
11.无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大
值为___________
【答案】
12.在平面直角坐标系中，已知,,是曲线上一个动点，则的取值范围
是____________
【答案】
【解析】设,，,
13.设,，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组
的组数为______________
【答案】
【解析】（i）若
若，则； 若，则
（ii）若，若，则；若，则
共组
14.如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是_______________
【答案】
【解析】
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15.设，则“”是“”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【答案】A
16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】时，达到最大
17.已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（）
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【解析】,,
，即
若，则，不可能成立
若，则，B成立
18.设是定义域为的三个函数，对于命题:
①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）
A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
,
②
前两式作差，可得
结合第三式，可得,
也有
∴②正确
故选D
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧
（1）求三棱锥的体积
（2）求异面直线与所成角的大小
【解析】
（1）连，则
∴为正三角形
∴
∴
（2）设点在下底面圆周的射影为，连，则
∴为直线与所成角（或补角）
连
∴
∴
∴为正三角形
∴
∴
∴
∴直线与所成角大小为
20．（本题满分14分）
有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。
于是，菜
地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和
的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，
点的坐标为，如图
（1）求菜地内的分界线的方程
（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。
设是上
纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并
判断哪一个更接近于面积的经验值
【解析】
（1）设分界线上任一点为，依题意
可得
（2）设，则
∴
∴设所表述的矩形面积为，则
设五边形面积为，则
∴五边形的面积更接近的面积
21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率
【解析】
（1）由已知,
取，得
∵,
∴
即
∴
∴渐近线方程为
（2）若，则双曲线为
∴,
设,，则
,
∴
（*）
∵
∴
∴代入（*）式，可得
直线的斜率存在，故
∴
设直线为，代入
得
∴，且
∴
∴
∴直线的斜率为
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
已知，函数
（1）当时，解不等式
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求
的取值范围
【解析】
（1）
∴不等式的解为或
（2）依题意，
∴ ①
可得
即②
当时，方程②的解为，代入①式，成立
当时，方程②的解为，代入①式，成立
当且时，方程②的解为
若为方程①的解，则，即
若为方程①的解，则，即
要使得方程①有且仅有一个解，则
综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或
（3）在上单调递减
依题意，
即
∴，即
设，则
当时，
当时，
∵函数在递减
∴
∴
∴的取值范围为
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
若无穷数列满足：
只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质.且,,,,，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，
，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知，求证：
“对任意，都具有性质”的充要条
件为“是常数列”.
【解析】
（1）
∴
∴
∴
∴
∴
（2）设的公差为，的公差为，则
∴
∴
∴
∴
∴
∵,
而,
但
故不具有性质
（3）充分性：
若为常数列，设
则
若存在使得，
则,
故具有性质
必要性：
若对任意，具有性质
则
设函数,
由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点
∴一定能找到一个，使得
∴
∴
故
∴是常数列
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