上海市青浦区高考数学二模试卷含答案解析.doc

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2017年上海市青浦区高考数学二模试卷

一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=　　．

2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=　　．

3．函数f（x）=的最小正周期是　　．

4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=　　．

5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为　　cm3（结果精确到0.1cm3）

6．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是　　．

7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是　　．

8．已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=　　．

9．设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为Tn，则=　　．

10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=　　．

11．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为　　．

12．对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是　　．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）

13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

14．如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（　　）

A．①②③④ B．①③ C．①④ D．②④

15．如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（　　）

A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1

16．设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有xm+m≤xn+n成立的不同排列的个数为（　　）

A．512 B．256 C．255 D．64

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．

（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小

（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．

18．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB=），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC=θ

（1）若θ=，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；

（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？

并求出最大面积．

19．已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．

（1）求抛物线方程，并证明：

•的值与直线l倾斜角的大小无关；

（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．

20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，其中m＜n，同时满足：

①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．

则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”，区间[m，n]称为“保值区间”．

（1）求证：

函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”．

（2）若函数f（x）=2+﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．

（3）对

（2）中函数f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

21．已知数列{an}中，已知a1=1，a2=a，an+1=k（an+an+2）对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn．

（1）若{an}是等差数列，求k的值；

（2）若a=1，k=﹣，求Sn；

（3）是否存在实数k，使数列{am}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列？

若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．

2017年上海市青浦区高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=　（﹣1，2）　．

【考点】交集及其运算．

【分析】根据交集的运算性质计算即可．

【解答】解：

A={x|x＞﹣1，x∈R}，B={x|x＜2，x∈R}，

则A∩B=（﹣1，2），

故答案为：

（﹣1，2）．

2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=　1　．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数模的计算公式计算．

【解答】解：

由（2﹣3i）z=3+2i，得，

∴|z|=|i|=1．

故答案为：

1．

3．函数f（x）=的最小正周期是　π　．

【考点】三角函数的周期性及其求法．

【分析】利用行列式的运算，同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．

【解答】解：

函数f（x）==sin2x﹣4cos2x=1﹣5cos2x=1﹣5•=﹣﹣cos2x的最小正周期是=π，

故答案为：

π．

4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=　3　．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=2，解可得a的值，即可得答案．

【解答】解：

根据题意，双曲线的方程为：

﹣=1（a＞0），

则其渐近线方程为：

y=±x，

若其一条渐近线方程为y=2x，则有=2，

解可得a=3；

故答案为：

3．

5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为　5.1　cm3（结果精确到0.1cm3）

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】由圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形知该圆柱的高为4，底面周长为4，由此求出底面圆的半径r，再计算该圆柱的体积．

【解答】解：

∵圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，

∴该圆柱的高h=4，

底面周长2πr=4，

底面半径r=；

∴该圆柱的体积为：

V=πr2h=π••4==≈5.1（cm3）．

故答案为：

5.1

6．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是　3　．

【考点】简单线性规划．

【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可

【解答】解：

由已知不等式组得到平面区域如图：

目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，

此直线经过图中B时在y轴截距最大，

由得到B（1，1），

所以z的最大值为2+1=3；

故答案为：

3．

7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是　2　．

【考点】直线的参数方程；椭圆的参数方程．

【分析】直线与曲线的参数方程，化为普通方程，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，即可得出结论．

【解答】解：

直线（t为参数）与曲线（θ为参数），普通方程分别为x+y﹣1=0，=1，

联立可得13x2﹣18x﹣27=0，△=（﹣18）2﹣4×13×（﹣27）＞0，

∴交点个数是2，

故答案为：

2．

8．已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=　﹣1　．

【考点】反函数．

【分析】由题意，x≤0，2x=，求出x，即可得出结论．

【解答】解：

由题意，x≤0，2x=，∴x=﹣1，

∴f﹣1（）=﹣1．

故答案为﹣1．

9．设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为Tn，则=　　．

【考点】数列的极限；二项式定理．

【分析】根据题意，分析可得，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…Cn1，进而可求得则Tn，代入，计算可得答案．

【解答】解：

根据题意，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…Cn1，

则Tn=1+C21+C31+…+Cn1=1+2+3+…+n=；

则，

故答案为．

10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=　0.03　．

【考点】相互独立事件的概率乘法公式．

【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出p的值．

【解答】解：

∵生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，

每道工序产生废品相互独立，

经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，

∴由题意得：

（1﹣0.01）（1﹣p）=0.9603，

解得p=0.03．

故答案为：

0.03．

11．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为　[3，+∞）　．

【考点】分段函数的应用．

【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：

满足条件有的函数为凸函数，

f（x）=，作出函数f（x）的图象，

由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，

若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，

则a≥3即可，

故实数a的取值范围是[3，+∞），

故答案为：

[3，+∞）

12．对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是　（0，2）　．

【考点】函数的图象．

【分析】根据题意得：

以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，1为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于2，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于2，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

【解答】解：

根据题意得：

|OC|＜1+1=2，

设C（x，），

∵|OC|=≥，

∴＜2，即0＜k＜2，

则k的范围为（0，2）．

故答案为：

（0，2）．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）

13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．即可判断出结论．

【解答】解：

由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．

∴“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的必要而不充分条件．

故选：

B．

14．如图