2018年高考南通市数学学科基地密卷(6).doc

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2018年高考模拟试卷（6）

南通市数学学科基地命题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合，，则=▲．

2．已知复数z＝－i3，其中i虚数单位，则z的模为▲．

Y

N

开始

S←0，n←100

n<20

S←S+n

n←n–1

输出S

结束

（第5题）

3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为▲．

4．在平面直角坐标系中，若抛物线上

纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的

焦点到准线的距离为▲．

5．执行如图所示的流程图，则输出S的值为▲．

6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为，则该三棱柱的体积是▲．

7．将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线

对称，则的最小值为▲．

8．两人约定：

在某天一同去A地，早上7点到8点之间在B地会合，但先到达B地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A地概率是▲．

9．在平面直角坐标系中，已知圆与直线相交于

，两点．若△为等边三角形，则实数的值为▲．

10．设正△ABC的边长为1，t为任意的实数．则|＋t|的最小值为▲．

11．若函数（且）没有最小值，则的取值范围是▲．

12．数列{an}满足a1＝，a2＝，且a1a2+a2a3+…+anan+1＝na1an+1对任何正整数n成立，则

＋＋…＋的值为▲．

13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范

围是▲．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，

且，则实数的取值范围是▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．

15．（本小题满分14分）

已知向量，．

（1）若，，且，求实数的值；

（2）若，求的最大值．

16．（本小题满分14分）

B

A

（第16题）

B1

A1

C1

M

C

F

D

D1

在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，，平面BB1C1C⊥底面ABCD，点、F

分别是线段、BC的中点．

（1）求证：

AF⊥DD1；

（2）求证：

AD//平面．

17．（本小题满分16分）

如图，设椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0），离心率e＝，F为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P在轴的上方，且PF⊥x轴，线段PF＝．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆右焦点F的直线（不经过P点）与椭圆交于A，B两点，当的平分线为时，求直线AB的方程．

F

0

B

P

A

l

y

x

18．（本小题满分16分）

某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB，AC方向修建两条小路，

休息亭P与入口的距离为米（其中a为正常数），过P修建一条笔直的鹅卵石健身步

行带，步行带交两条小路于E、F处，已知，．

（1）设米，米，求y关于x的函数关系式及定义域；

AO

BO

CO

PO

（17题图）

F

E

（2）试确定E，F的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．

19．（本小题满分16分）

已知函数.

（1）当时,求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，且,求证:

；

（3）设，对于任意时,总存在，使成立,求实数的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，公比为q（q≠1）．令A＝{k|ak＝bk，k∈N*}．

（1）若A＝{1，2}，

①当an＝n，求数列{bn}的通项公式；

②设a1＞0，q＞0，试比较an与bn（n≥3）的大小？

并证明你的结论．

（2）问集合A中最多有多少个元素？

并证明你的结论．

2018年高考模拟试卷（6）

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．

A．[选修4-1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

A

B

C

D

P

O

·

（第21题（A）

如图，圆O内接四边形ABCD，直线PA与圆O相切于点A，与CD的延长线交于点P，AD·BC＝DP·AB，求证：

AD＝BC．

B．[选修4-2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

二阶矩阵M对应的变换将△ABC变换成△A1B1C1，其中△ABC三个顶点坐标分别为

A（1，－1）、B（－2，1），C（2，2），△A1B1C1中与A、B对应的两个坐标分别为

A1（－1，－1）、B1（0，－2）．求C1点的坐标．

C．[选修4-4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin（θ＋）＝1与ρ＝2sin（θ＋），它们相交于A、B

两点，求线段AB的长．

D．[选修4-5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

求证：

对任意x，y∈R,不等式x2＋xy＋y2≥3（x＋y－1）总成立．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．

22．（本小题满分10分）

如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为

中点，且平面，为线段上一动点，记．

（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；

（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．

23．（本小题满分10分）

设函数fn（x）＝1+x+x2＋…＋xn，n∈N*．

（1）求证：

当x∈（0，＋∞）时，ex＞fn（x）；

（2）若x＞0，且ex＝fn（x）+xn+1ey，求证：

0＜y＜x．

2018年高考模拟试卷（6）参考答案

数学Ⅰ

一、填空题：

1．

2．解：

z＝－i3＝1＋i＋i＝1＋2i，所以|z|＝．

3．348解：

因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，

高一抽到的人数为110，共348人．

4．6解：

由题意抛物线定义可知，，所以，即焦点到准线的距离为6．

5．4860解：

由题设可知，S＝100+99+98+…+20＝4860．

6．6解：

由体积得球半径R＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2．V＝

（2）2×2＝6．

7．解：

将的图象向左平移个单位得到，因为图象关于直线对称，

所以，所以，即，，所以的最小值为．

O

5

5

（60,60）

8．解：

设两人到达A地的时间分别是7点边m分和7点过n分（0≤m、n≤60）．

用数对（m，n）表示两人分别到达A地的时间．则在直角坐标系中，

点（m，n）的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600．

两人能够在当天一同去A地等价于|m－n|≤5．此时，相应点的存在

域是正方形中位于两直线m－n＝±5之间的部分区域（如图），

其面积为3600－552＝575．故所求概率为＝．

9．解：

圆的半径，因为△为等边三角形，所以圆心到直线的距离

．所以，解得．

10．解：

令a＝，b＝．则|a|＝|b|＝1，a、b的夹角为60°．于是，|＋t|2＝|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝t2＋t+1＝（t＋）2＋≥．所以|＋t|≥．

11．或解：

令，则．若，因为没有最大值，所以符合；

若，因为，要使原函数没有最小值，必须，解得．

12．85解法一：

由a1a2+a2a3＝2a1a3及a1＝，a2＝，得a3＝，再由a1a2+a2a3+a3a4＝3a1a4，a4＝．

进一步得a5＝，a6＝，a7＝，a8＝，a9＝，a10＝，故＋＋…＋＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：

由a1a2+a2a3+…+anan+1＝na1an+1①，a1a2+a2a3+…+anan+1+an+1an+2＝（n+1）a1an+2②，②－①得，an+1an+2＝（n+1）a1an+2－na1an+1Þ＝－＝－Þ＝＋，（n≥2），则a1a2+a2a3＝2a1a3Þ＝＋，所以数列{}成等差数列，公差为1，即＝n+3，an＝．代入可得＋＋…＋＝85．

13．解：

由对称性，只需当时，有两解即可.

即在时有两解.设，由得在（0,2）上递减，

在上递增.由图可知，所以．

14．解：

由条件，．因为，所以，

所以，所以．

而，所以．

由，得，即，所以．

二、解答题：

15．解：

（1）当，时，，

又，所以，

若，则，

即，解得．……7分

（2）因为，，所以，

因为，所以，则，

所以，

故当或时，的最大值为6．……14分

16．证明：

（1）∵ABAC，点F是线段BC的中点，

∴AF⊥BC．…………………………………………2分

又∵平面底面，AF平面ABC，

平面底面，

∴AF⊥平面．……………………………………………………………………5分

又CC1平面，∴AF⊥CC1，

又CC1∥DD1，∴AF⊥DD1．………………………………………………………………7分

（2）连结B1C与BC1交于点E，连结EM，FE．

B

A

E

（第15

（2）题图）

B1

A1

C1

M

C

F

D

D1

在斜三棱柱中，四边形BCC1B1是平行四边形，

∴点E为B1C的中点．

∵点F是BC的中点，

∴FE//B1B，FEB1B．…………………………10分

又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点，

∴AM//B1B，AMB1B．

∴AM//FE，AMFE．

∴四边形AFEM是平行四边形．

∴EM//AF．…………………………………………12分

又EM平面MBC1，AF平面MBC1，

∴AF//平面MBC1．……………………………………………………………………14分

17．解：

（1）设右焦点，由轴，设代入椭圆方程，即得，

所以，

联立，…………………3分

解得，

所以椭圆方程为，右准线的方程为.…………………6分

（2）设，则直线的方程为，即，

联立消去，

即得（※），…………………9分

又为方程（※）的一根，所以另一根为，

又点在椭圆上，所以满足，代入另一根即得，

所以.由

（1）知，点

则直线的斜率，直线的斜率，…………………12分

①当的平分线为时，，的斜率，满足，

所以，即，所以，

故直线AB的方程为x－2y－1＝0．……………14分

18．（方法一）

（1）由得，

且

由题可知

所以

得

即

所以

由得定义域为……………………6分

（2）设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为k元/平方米，则（为常数），

所以要使最小，只要使最小

由题可知

定义域为