2003年全国高中数学联赛试题及解答.doc

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2003年全国高中数学联赛冯惠愚

2003年全国高中数学联合竞赛试卷

第一试

（10月12日上午8:

00-9:

40）

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．（2003年全国高中数学联赛）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是

（A）2046（B）2047（C）2048（D）2049

2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是

3．过抛物线y2=8（x+2）的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于

（A）（B）（C）（D）8

4．若x∈[－，－]，则y=tan（x+）－tan（x+）+cos（x+）的最大值是

（A）（B）（C）（D）

5．已知x，y都在区间（－2，2）内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是

（A）（B）（C）（D）

6．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于

（A）（B）（C）（D）

二．填空题（每小题9分，共54分）

7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．

8．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．

9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，

B={x|21－x+a≤0，x2－2（a+7）x+5≤0，x∈R}

若AÍB，则实数a的取值范围是．

10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若a－c=9，则b－d=．

11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．

12．设Mn={（十进制）n位纯小数0.|ai只取0或1（i=1，2，…，n－1），an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．

三、（本题满分20分）

13．设≤x≤5，证明不等式

2++<2．

四、（本题满分20分）

14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．证明：

曲线

Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t（t∈R）

与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．

五、（本题满分20分）

15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A¢刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A¢取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

加试题

（10月12日上午10:

00-12:

00）

一、（本题50分）

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．

求证：

∠DBQ=∠PAC．

二、（本题50分）

设三角形的三边长分别是正整数l，m，n．且l>m>n>0．

已知==，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．

三、（本题50分）

由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥q（q+1）2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：

图中必存在一个空间四边形（即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形）．

1997年全国高中数学联赛解答

第一试

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是

（A）2046（B）2047（C）2048（D）2049

解：

452=2025，462=2116．

在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．

2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是

解：

曲线方程为+=1，直线方程为y=ax+b．

由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．

由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．

3．过抛物线y2=8（x+2）的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于

（A）（B）（C）（D）8

解：

抛物线的焦点为原点（0，0），弦AB所在直线方程为y=x，弦的中点在y==上，即AB中点为（，），中垂线方程为y=－（x－）+，令y=0，得点P的坐标为．

∴PF=．选A．

4．若x∈[－，－]，则y=tan（x+）－tan（x+）+cos（x+）的最大值是

（A）（B）（C）（D）

解：

令x+=u，则x+=u+，当x∈[－，－]时，u∈[－，－]，

y=－（cotu+tanu）+cosu=－+cosu．在u∈[－，－]时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增．于是u=－时，y取得最大值，故选C．

5．已知x，y都在区间（－2，2）内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是

（A）（B）（C）（D）

解：

由x，y∈（－2，2），xy=－1知，x∈（－2，－）∪（，2），

u=+==1+．

当x∈（－2，－）∪（，2）时，x2∈（，4），此时，9x2+≥12．（当且仅当x2=时等号成立）．

此时函数的最小值为，故选D．

6．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于

（A）（B）（C）（D）

解：

如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1××sin×2=3．

而四面体ABCD的体积=×平行六面体体积=．故选B．

二．填空题（每小题9分，共54分）

7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．

解：

即|x|3－2|x|2－4|x|+3<0，Þ（|x|－3）（|x|－）（|x|+）<0．Þ|x|<－，或<|x|<3．

∴解为（－3，－）∪（，3）．

8．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．

解：

F1（－，0），F2（，0）；|F1F2|=2．

|PF1|+|PF2|=6，Þ|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=

（2）2．故DPF1F2是直角三角形．

∴S=4．

9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，

B={x|21－x+a≤0，x2－2（a+7）x+5≤0，x∈R}

若AÍB，则实数a的取值范围是．

解：

A=（1，3）；

又，a≤－21－x∈（－1，－），当x∈（1，3）时，a≥－7∈（－7，－4）．

∴－4≤a≤－1．

10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若a－c=9，则b－d=．

解：

a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2－y4=9．（x+y2）（x－y2）=9．

∴x+y2=9，x－y2=1，x=5，y2=4．b－d=53－25=125－32=93．

11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．

解：

如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD绕其中心旋转45°而得．设E的射影为N，则

MN=－1．EM=，故EN2=3－（－1）2=2．∴EN=．所求圆柱的高=2+．

12．设Mn={（十进制）n位纯小数0.|ai只取0或1（i=1，2，…，n－1），an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．

解：

由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1．

在每一位（从第一位到第n－1位）小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．

∴Sn=2n－2´0.11…1+2n－2´10－n．

∴=´=．

三、（本题满分20分）

13．设≤x≤5，证明不等式

2++<2．

解：

x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．Þ≤x≤5．

由平均不等式≤≤．

∴2++=+++≤2．

但2在≤x≤5时单调增．即2≤2=2．

故证．

四、（本题满分20分）

14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．证明：

曲线

Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t（t∈R）

与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．

解：

曲线方程为：

Z=aicos4t+（1+2bi）cos2tsin2t+（1+ci）sin4t=（cos2tsin2t+sin4t）+i（acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t）

∴x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t（cos2t+sin2t）=sin2t．（0≤x≤1）

y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a（1－x）2+2b（1－x）x+cx2

即y=（a－2b+c）x2+2（b－a）x+a（0≤x≤1）．①

若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c¹0．于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线．

AB中点M：

+（a+b）i，BC中点N：