2015年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc
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2015年安徽省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
2．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．
y=cosx
B．
y=sinx
C．
y=lnx
D．
y=x2+1
3．（5分）（2015•安徽）设p：
1＜x＜2，q：
2x＞1，则p是q成立的（ ）
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
4．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．
x2﹣=1
B．
﹣y2=1
C．
﹣x2=1
D．
y2﹣=1
5．（5分）（2015•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．
若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．
若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．
若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．
若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（ ）
A．
8
B．
15
C．
16
D．
32
7．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
A．
1+
B．
2+
C．
1+2
D．
2
8．（5分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（ ）
A．
||=1
B．
⊥
C．
•=1
D．
（4+）⊥
9．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．
a＞0，b＞0，c＜0
B．
a＜0，b＞0，c＞0
C．
a＜0，b＞0，c＜0
D．
a＜0，b＜0，c＜0
10．（5分）（2015•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．
f
（2）＜f（﹣2）＜f（0）
B．
f（0）＜f
（2）＜f（﹣2）
C．
f（﹣2）＜f（0）＜f
（2）
D．
f
（2）＜f（0）＜f（﹣2）
二.填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）（2015•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是 （用数字填写答案）
12．（5分）（2015•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是 ．
13．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流
程图），输出的n为
14．（5分）（2015•安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，
a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于 ．
15．（5分）（2015•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，
下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是
（写出所有正确条件的编号）
①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．
④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．
三.解答题（共6小题，75分）
16．（12分）（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．
17．（12分）（2015•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：
元），求X的分布列和均值（数学期望）
18．（12分）（2015•安徽）设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn=x12x32…x2n﹣12，证明：
Tn≥．
19．（13分）（2015•安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．
（Ⅰ）证明：
EF∥B1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．
20．（13分）（2015•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
21．（13分）（2015•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．
答案：
1、
解：
=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：
B．
2、
解：
对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；
对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；
对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；
对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；
故选A．
3、
解：
由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，
若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．
由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．
故选A．
4、
解：
由A可得焦点在x轴上，不符合条件；
由B可得焦点在x轴上，不符合条件；
由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；
由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．
故选C．
5、
解：
对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；
对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；
对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；
对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；
故选D．
6、
解：
∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，
∴=8，即DX=64，
数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，
则对应的标准差为==16，
故选：
C．
7、
解：
根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；
∴该几何体的表面积为
S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC
=×2×1+2××+×2×1
=2+．
故选：
B．
8、
解：
因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，
所以，，
所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，
4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；
故选D．
9、
解：
函数在P处无意义，即﹣c＞0，则c＜0，
f（0）=，∴b＞0，
由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，
即函数的零点x=﹣＞0，
∴a＜0，
综上a＜0，b＞0，c＜0，
故选：
C
10、
解：
依题意得，函数f（x）的周期为π，
∵ω＞0，
∴ω==2．（3分）
又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，
∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：
φ=2kπ+，k∈Z，（5分）
∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．（6分）
∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．
f
（2）=Asin（4+）＜0
f（0）=Asin=Asin＞0
又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，
∴f
（2）＜f（﹣2）＜f（0）
故选：
A．
11、
解：
根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1==；
要求展开式中含x5的项的系数，
∴21﹣4r=5，
∴r=4，可得：
=35．
故答案为：
35．
12、
解：
圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．
直线θ=（ρ∈R）化为y=x．
∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，
∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．
故答案为：
6．
13、
解：
模拟执行程序框图，可得
a=1，n=1
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4
不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．
故答案为：
4．
14、
解：
数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，
可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，
∴8=1×q3，q=2，
数列{an}的前n项和为：
=2n﹣1．
故答案为：
2n﹣1．
15、
解：
设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，
①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1
时f
（1）=﹣5，f（﹣1）=﹣1；
并且x＞1或者x＜﹣1时f'（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，
所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实
根；如图
②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f
（1）=0，f（﹣1）=4；如图
③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f
（1）
=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程
x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）
=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增
函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，
b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立
，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只
有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是
①③④⑤．故答案为：
①③④⑤．
16、
解：
∵∠A=，AB=6，AC=3，
∴在△ABC中，由余弦定理可得：
BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．
∴BC=3…4分
∵在△ABC中，由正弦定理可得：
，
∴sinB=，
∴cosB=…8分
∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：
cos∠DAE=cosB，
∴Rt△ADE中，AD===…
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