电子科大研究生图论课件——第1-2章基本概念-树(11.3).ppt
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电子科技大学应用数学学院电子科技大学应用数学学院张先迪张先迪1.1图论简介现实生活中许多问题都可归结为由点和线组现实生活中许多问题都可归结为由点和线组成的图形的问题，例如，铁路交通图，公路成的图形的问题，例如，铁路交通图，公路交通图，市区交通图，自来水管网系统，甚交通图，市区交通图，自来水管网系统，甚至电路图在研究某些问题时也可简化为由点至电路图在研究某些问题时也可简化为由点和线组成的图形，如：
和线组成的图形，如：
图论就是研究这些由点和线组成的图形的问题图论就是研究这些由点和线组成的图形的问题图论就是研究这些由点和线组成的图形的问题图论就是研究这些由点和线组成的图形的问题图论起源于图论起源于图论起源于图论起源于1818世纪，是一门较为年青的数学世纪，是一门较为年青的数学世纪，是一门较为年青的数学世纪，是一门较为年青的数学分支。
但在历史上遗留了许多著名的图论问题，分支。
但在历史上遗留了许多著名的图论问题，分支。
但在历史上遗留了许多著名的图论问题，分支。
但在历史上遗留了许多著名的图论问题，例如：
例如：
例如：
例如：
1.1.七桥问题七桥问题七桥问题七桥问题1818世纪东普鲁士有一个城市称为个普尼斯世纪东普鲁士有一个城市称为个普尼斯世纪东普鲁士有一个城市称为个普尼斯世纪东普鲁士有一个城市称为个普尼斯堡，它位于普雷格尔河畔，河中有两个小岛，堡，它位于普雷格尔河畔，河中有两个小岛，堡，它位于普雷格尔河畔，河中有两个小岛，堡，它位于普雷格尔河畔，河中有两个小岛，通过七座桥彼此相联（如图）。
当时有人提出：
通过七座桥彼此相联（如图）。
当时有人提出：
通过七座桥彼此相联（如图）。
当时有人提出：
通过七座桥彼此相联（如图）。
当时有人提出：
能否从某个地点出发经过每个桥一次且仅一次能否从某个地点出发经过每个桥一次且仅一次能否从某个地点出发经过每个桥一次且仅一次能否从某个地点出发经过每个桥一次且仅一次然后返回出发点？
然后返回出发点？
然后返回出发点？
然后返回出发点？
ABCDEuler的解：
解：
2.Hamilton周游世界问题1859年年Hamilton提出这样一个问题：
提出这样一个问题：
一个正十二面体有一个正十二面体有20个顶点，它们代表个顶点，它们代表世界上世界上20个重要城市。
正十二面体的每个重要城市。
正十二面体的每个面均为五边形，若两个顶点之间有边个面均为五边形，若两个顶点之间有边相连，则表示相应的城市之间有航线相相连，则表示相应的城市之间有航线相通。
通。
Hamilton提出提出“能否从某城市出发能否从某城市出发经过每个城市一次且仅一次然后返回出经过每个城市一次且仅一次然后返回出发点？
发点？
”1840年数学家茂比乌斯（年数学家茂比乌斯（Mbius）提出一提出一个猜想：
个猜想：
任何平面地图，总可以把它的一个国任何平面地图，总可以把它的一个国家用四种颜色的一种着染，使相邻国家着不同家用四种颜色的一种着染，使相邻国家着不同色。
色。
这就是著名的这就是著名的四色猜想四色猜想。
如：
。
如：
18901890年希五德（年希五德（年希五德（年希五德（HeawoodHeawood）指指指指出出出出“4“4换为换为换为换为5”5”猜想成立。
猜想成立。
猜想成立。
猜想成立。
19761976年两位数学家在三台百万年两位数学家在三台百万年两位数学家在三台百万年两位数学家在三台百万次的电子计算机上花了次的电子计算机上花了次的电子计算机上花了次的电子计算机上花了12001200小时证明了猜想成立。
猜想小时证明了猜想成立。
猜想小时证明了猜想成立。
猜想小时证明了猜想成立。
猜想成为定理。
成为定理。
成为定理。
成为定理。
3.四色问题四色问题4.中国邮路问题19621962年中国数学家管梅谷提出：
一年中国数学家管梅谷提出：
一个邮递员从邮局出发递送邮件，要求个邮递员从邮局出发递送邮件，要求对他所负责的辖区的每条街至少走一对他所负责的辖区的每条街至少走一次，问如何选取路程最短次，问如何选取路程最短的路线？
这的路线？
这个问题称为中国邮路问题。
个问题称为中国邮路问题。
该问题可用专门的算法来求解。
该问题可用专门的算法来求解。
图论的应用范围很广，它不但能应用于自然图论的应用范围很广，它不但能应用于自然科学，也能应用于社会科学。
它非但广泛应用科学，也能应用于社会科学。
它非但广泛应用于电信网络、电力网络、运输能力开关理论、于电信网络、电力网络、运输能力开关理论、编码理论、控制论、反馈理论、随机过程、可编码理论、控制论、反馈理论、随机过程、可靠性理论、化学化合物的辨认、计算机的程序靠性理论、化学化合物的辨认、计算机的程序设计、故障诊断、人工智能、印刷电路板的设设计、故障诊断、人工智能、印刷电路板的设计、图案识别、地图着色、情报检索，也应用计、图案识别、地图着色、情报检索，也应用于语言学、社会结构、经济学、运筹学、遗传于语言学、社会结构、经济学、运筹学、遗传学等。
学等。
图论作为一个数学分支，有一套完整图论作为一个数学分支，有一套完整图论作为一个数学分支，有一套完整图论作为一个数学分支，有一套完整的体系和广泛的内容，在这里我们的体系和广泛的内容，在这里我们的体系和广泛的内容，在这里我们的体系和广泛的内容，在这里我们只准备介绍图论的初步知识，其目只准备介绍图论的初步知识，其目只准备介绍图论的初步知识，其目只准备介绍图论的初步知识，其目的是今后在其它有关学科的学习和的是今后在其它有关学科的学习和的是今后在其它有关学科的学习和的是今后在其它有关学科的学习和研究时，可以用图论的基本知识作研究时，可以用图论的基本知识作研究时，可以用图论的基本知识作研究时，可以用图论的基本知识作为工具。
为工具。
为工具。
为工具。
1.11.1图和简单图图和简单图一图的定义一图的定义定义定义1一个图一个图G定义为一个有序对定义为一个有序对（V,E），记为，记为G=（V,E），其中，其中
（1）V是一个非空集合，称为顶点集或点集，其元素称是一个非空集合，称为顶点集或点集，其元素称为顶点或点；为顶点或点；
（2）E是由是由V中的点组成的无序点对构成的集合，称为中的点组成的无序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在边集，其元素称为边，且同一点对在E中可出现多次。
中可出现多次。
第一章第一章图的基本概念图的基本概念符号说明符号说明:
图图G的顶点集也记为的顶点集也记为V（G）,边集也记为边集也记为E（G）。
图。
图G的顶点数（或阶数）和边数可分别用符号的顶点数（或阶数）和边数可分别用符号n（G）（或或|V（G）|）和和m（G）表示。
表示。
例例11设设V=v1,v2,v3,v4，E=v1v2,v1v2,v2v3，则，则G=（V,E）是一个是一个4阶图。
阶图。
若用小圆点代若用小圆点代表点，连线代表边，表点，连线代表边，则可将一个图用则可将一个图用“图形图形”来表示来表示,如如例例1中的图可表为中的图可表为v1v2v3v4注注:
也可记边也可记边uv为为e，即，即e=uv。
v1v2v3v4e1e2e3e4e5例例22设设V=v1,v2,v3,v4，E=e1,e2,e3,e4,e5，其中其中e1=v1v2，e2=v2v3，e3=v2v3，e4=v3v4，e5=v4v4则则G=（V,E）是一个图。
是一个图。
相关概念相关概念:
（1）若边若边e=uv,此时称此时称u和和v是是e的的端点端点;并称并称u和和v相相邻邻，u（或或v）与与e相关联相关联。
若两条边有一个共同的端点，则。
若两条边有一个共同的端点，则称这两条称这两条边相邻边相邻。
（2）特殊点、边）特殊点、边孤立点：
孤立点：
不与任何边相关联的点；不与任何边相关联的点；环：
环：
两端点重合的边；两端点重合的边；重边：
重边：
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数重数。
重数大于重数大于1的边称为重边。
的边称为重边。
（4）既没有环也没有重边的图称为既没有环也没有重边的图称为简单图简单图。
其他所有的图。
其他所有的图都称为都称为复合图。
复合图。
简单图简单图非非简单简单图图例例33平凡图平凡图（3）点集与边集均为有限集合的图称为点集与边集均为有限集合的图称为有限图有限图，本书只讨，本书只讨论有限图。
只有一个顶点而无边的图称为论有限图。
只有一个顶点而无边的图称为平凡图平凡图。
边集为。
边集为空的图称为空的图称为空图空图。
二图的同构二图的同构定义定义2设有两个图设有两个图G1=（V1,E1）和和G2=（V2,E2），若在其顶，若在其顶点集合之间存在双射，即存在一一对应的关系，使得边之点集合之间存在双射，即存在一一对应的关系，使得边之间有如下的关系：
设间有如下的关系：
设当且仅当当且仅当，；且；且的重数与的重数与的重数相同，则称两图同构，记为的重数相同，则称两图同构，记为G1G2。
，对应为：
，对应为：
例如例如说明：
说明：
（1）两个同构的图均有相同的结构，没有本质上的两个同构的图均有相同的结构，没有本质上的差异差异,差异只是顶点和边的名称不同。
差异只是顶点和边的名称不同。
（2）图同构的几个必要条件：
图同构的几个必要条件：
顶点数相同；顶点数相同；边数边数相同；相同；度数度数相等的顶点个数相同。
相等的顶点个数相同。
定义定义设设v为为G的顶点，的顶点，G中与中与v为端点的边的条数（环计为端点的边的条数（环计算两次）称为点算两次）称为点v的度数，简称为点的度数，简称为点v的的度度，记为，记为dG（v），简记为简记为d（v）。
图中图中d（v1）=5d（v2）=4d（v3）=3d（v4）=0d（v5）=2v1v2v3v4v5例例注：
注：
该图中各点的度数该图中各点的度数之和等于之和等于14，恰好，恰好是边数是边数7的的两两倍倍（3）易证，图的同构关系是一个等价关系。
该关系将所有易证，图的同构关系是一个等价关系。
该关系将所有的图的集合，划分为一些等价类，即相互同构的图作成的图的集合，划分为一些等价类，即相互同构的图作成同一个等价类。
同一个等价类。
（3）在图的图形表示中我们可以不给图的点和在图的图形表示中我们可以不给图的点和边标上符号，称这样的图为边标上符号，称这样的图为非标定（号）图非标定（号）图，否，否则称为则称为标定（号）图标定（号）图。
非标定图实际上是代表一非标定图实际上是代表一类相互同构的图。
类相互同构的图。
不误解时我们也不严格区分标定图与非标定图。
不误解时我们也不严格区分标定图与非标定图。
（4）判定图的同构是很困难的，属于判定图的同构是很困难的，属于NP完全完全问题。
对于规模不大的两个图，判定其是否同问题。
对于规模不大的两个图，判定其是否同构，可以采用观察加推证的方法。
构，可以采用观察加推证的方法。
例例证明下面两图同构。
证明下面两图同构。
证明证明作映射作映射f:
viui（i=1,2.10），易知，易知该映射为双射。
映射为双射。
容易验证容易验证，对，对vivjE（a）,有有f（vivj,）ui,uj,E（b），（1i10,1j10）由图的同构定义知，图由图的同构定义知，图（a）与与（b）是同构的。
是同构的。
例例判断下面两图是否同构。
判断下面两图是否同构。
u1v1解解两图不同构。
两图不同构。
这是因若同构，则两图中唯一的与环关联的两个点这是因若同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1与与v1一定相对应，而一定相对应，而u1的两个邻接点与的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不的两个邻接点状况不同（同（u1邻接有邻接有4度点，而度点，而v1没有）。
没有）。
所以，两图不同构。
所以，两图不同构。
三完全图三完全图，偶图，偶图，补图，补图完全图：
完全图：
任意两点均相邻的简单图称为完全图，任意两点均相邻的简单图称为完全图，在同构意义下，在同构意义下，n阶完全图只有一个，记为阶完全图只有一个，记为Kn。
例例如如K2,K3,K4分别为如下图所示分别为如下图所示。
K2K3K4具有二分类（具有二分类（X,Y）的偶图（或二部图）
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