届高中数学苏教版 数列求和及综合应用 单元测试 Word版 含答案.docx

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届高中数学苏教版数列求和及综合应用单元测试Word版含答案

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考点23数列求和及综合应用

1、选择题

1.（2017·全国乙卷理科·T12）几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:

已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:

N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是　（　　）

A.440B.330C.220D.110

【命题意图】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项,进行求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.

【解题指南】将已知的数列列举成下列形式,

20　第一行,1个数,求和为21-1

2021　第二行,2个数,求和为22-1

202122　第三行,3个数,求和为23-1

20212223　第四行,4个数,求和为24-1

2021222324　第五行,5个数,求和为25-1

故而可得,第n行,n个数,求和为2n-1,因此前n行,一共有个数,求和为2n+1-n-2.

【解析】选A.由题意得,数列如下:

1,

1,2,

1,2,4,

…

1,2,4,…,2k-1

…

则该数列的前1+2+…+k=项和为S=1+（1+2）+…+（1+2+…+2k）=2k+1-k-2,

要使>100,有k≥14,此时k+2<2k+1,所以k+2是之后的等比数列1,2,…,2k+1的部分和,即k+2=1+2+…+2t-1=2t-1,

所以k=2t-3≥14,则t≥5,此时k=25-3=29,

对应满足的最小条件为N=+5=440,故选A.

【光速解题】选A.前14行,有105个数,求和为215-16,当N=110时,求和为215-16+25-1=215+17≠2n,

前20行,有210个数,求和为221-22,当N=220时,求和为221-22+210-1=221+210-23≠2n,

前25行,有325个数,求和为226-27,当N=330时,求和为226-27+25-1=226+25-28≠2n,

前29行,有435个数,求和为230-31,当N=440时,求和为230-31+25-1=230,故选A.

2、解答题

2.（2017·全国乙卷文科·T17）记Sn为等比数列的前n项和,已知S2=2,S3=-6.

（1）求的通项公式.

（2）求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.

【命题意图】本题主要考查等差、等比数列的基本性质及证明数列为等差数列的方法.

【解析】

（1）设公比为q,因为S2=2,S3=-6,

所以S3-S2=a3=-6-2=-8,

又S2=a1+a2=2,可得q2+4q+4=0,所以q=-2.

又a3=a1q2=-8,所以a1=-2,

所以an=a1·qn-1=（-2）n.

（2）由

（1）得Sn===[（-2）n-1],

则Sn+1=[（-2）n+1-1],Sn+2=[（-2）n+2-1],

所以Sn+1+Sn+2=[（-2）n+1-1]+[（-2）n+2-1]

=[2（-2）n-2],

又2Sn=[（-2）n-1],即Sn+1+Sn+2=2Sn,

所以Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.

3.（2017·全国丙卷·文科·T17）设数列满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n.

（1）求的通项公式.

（2）求数列的前n项和.

【解析】

（1）由已知可得:

a1+3a2+…+（2n-1）an=2n,

所以当n>1时有a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）,

所以两式作差可得:

（2n-1）an=2,

即an=（n>1,且n∈N*）,

又因为n=1时,a1=2符合,

所以an=（n∈N*）.

（2）设bn=,则bn==-,

所以数列的前n项和为

Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-

=1-

=.

4.（2017·全国甲卷文·T17）已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.

（1）若a3+b3=5,求{bn}的通项公式.

（2）若T3=21,求S3.

【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质以及数列求和,通项公式,意在考查学生的方程思想的运用和求解运算能力.

【解析】

（1）设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+（n-1）d,bn=qn-1.由a2+b2=2得,d+q=3,①

（1）由a3+b3=5得,2d+q2=6　②

联立①和②解得（舍去）,

因此{bn}的通项公式bn=2n-1.

（2）由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.

解得q=-5或q=4,

当q=-5时,由①得d=8,则S3=21;

当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.

5.（2017·北京高考文科·T15）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.

（1）求{an}的通项公式.

（2）求和:

b1+b3+b5+…+b2n-1.

【命题意图】本题主要考查等差与等比数列的基本运算,意在培养学生计算能力.

【解析】

（1）设等差数列{an}公差为d,因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,所以d=2.所以an=2n-1.

（2）设{bn}的公比为q,b2·b4=a5⇒qq3=9,所以q2=3,

所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q'=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+…+b2n-1==.

【答题模版】1.看到求等差、等比数列的通项公式,想到利用基本元素首项与公差、公比,充分利用题目中条件求解.2.看到求和,想到求数列和的几种类型是分组,还是错位相减,还是并项求和,裂项相消.

6.（2017·北京高考理科·T20）设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}（n=1,2,3,…）,其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.

（1）若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列.

（2）证明:

或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

【命题意图】本题主要考查数列的综合.意在培养学生的计算能力及分类意识.

【解析】

（1）当n≥1时,c1=max{b1-a1}=max{0}=0,

c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{-1,-1}=-1,

c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2,

所以,对于∀n∈N*且n≥2,都有cn=b1-a1n,只需比较b1-a1n与其他项的大小,当k∈N*且1

（bk-akn）-（b1-a1n）

=[（2k-1）-nk]-1+n=（1-k）n+2（k-1）

=（k-1）（2-n）,

因为k-1>0,且2-n≤0,所以bk-akn≤b1-a1n,

所以对于∀n∈N*且n≥2,cn=b1-a1n=1-n,

所以cn-cn-1=-1,n≥2,

又c2-c1=-1,

所以{cn}是以c1=0为首项,d=-1为公差的等差数列.

（2）设{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则bi-ain=b1+（i-1）d2-[a1+（i-1）d1]n=（d2-nd1）i+b1-d2-a1n+nd1（i=1,2,…,n）.

当d1>0时,则存在正整数m,当n≥m时,d2-d1n<0,此时bi-ain随i的增大而减小,所以cn=b1-a1n（n≥m）,即cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

当d1=0时,bi-ain=b1-d2-na1+d2i,①若d2≤0,则bi-ain随i的增大而不增,所以cn=b1-a1n是等差数列,②若d2>0,则bi-ain随i的增大而增大,所以cn=bn-ann=b1-d2+（d2-a1）n是等差数列.

所以当d1=0时,存在m=1,c1,c2,c3…是等差数列.

当d1<0时,则存在正整数m,当n≥m时,d2-d1n>0,此时bi-ain随i的增大而增大,

所以当n≥m时,cn=bn-ann,所以=-an=+d2-a1+d1-d1n=+B-d1n,其中A=b1-d2,B=d2-a1+d1.

取正整数m1>|A|,则当n≥m1时,>-1,取正整数m2>-,

则当n≥m2时,B-d1n>B-d1=M+1.

令m=max{m1,m2},当n≥m时,=+B-d1n>-1+（M+1）=M.

所以当d1<0时,存在正整数m,当n≥m时,>M,

综上所述,或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M,或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

7.（2017·天津高考理科·T18）已知{an}为等差数列,前n项和为Sn（n∈N*）,{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.

（1）求{an}和{bn}的通项公式.

（2）求数列{a2nb2n-1}的前n项和（n∈N*）.

【命题意图】本题综合考查等差等比数列通项公式及复杂数列求和等问题.考查学生灵活应用基本量的能力,考查学生利用“错位相减”进行数列求和的应用能力.

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知得:

b2+b3=12,即b1（q+q2）=12,又b1=2,所以q2+q-6=0,因为q>0,所以q=2,所以bn=2n,由b3=a4-2a1,S11=11b4得,

3d-a1=8,a1+5d=16,

联立解得,a1=1,d=3,所以an=3n-2,

所以,{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=2n.

（2）设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,

由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=（3n-1）×4n,

故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）×4n,

4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n-4）×4n+（3n-1）×4n+1,

上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-（3n-1）×4n+1

=-4-（3n-1）×4n+1

=-（3n-2）×4n+1-8.

得Tn=×4n+1+.

所以,数列{a2nb2n-1}的前n项和为×4n+1+.

【方法技巧】用错位相减法求数列{an·bn}的前n项和

一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后错位作差求解.

8.（2017·天津高考文科·T18）已知{an}为等差数列,前n项和为Sn（n∈N*）,{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.

（1）求{an}和{bn}的通项公式.

（2）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）.

【命题意图】本题综合考查等差等比数列通项公式及复杂数列求和等问题.考查学生灵活应用基本量的能力,考查学生